自动控制理论问题详解孙扬声版.docx
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自动控制理论问题详解孙扬声版
T2-1判断下列方程式所描述的系统的性质：
线性或非线性，定常或时变，动态或静态。
2d2yt1dyt
（1）2yt3t——ut;（3）ytu（t）2；（4）sint——y（t）3u（t）;
dt2出
（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？
解：
先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态）
线性系统（即系统变量间的关系）：
多项式形式，各项变量的哥指数为1;
非线性系统：
多项式形式，各项变量的哥指数不全为1;
定常系统：
系统参数与时间无关；
时变系统：
系统参数与时间有关；
静态系统：
输入到输出没有过渡过程；
动态系统：
输入到输出有过渡过程。
（笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没
有积分或微分。
若有积分或微分，为动态系统；若积分和微分都没有，为静态系统。
）
题号
分析
系统性质
（1）
a、y（t）的哥指数为2,非线性；
d2y（t）
b、变量-20（把因变量或激励量的各阶导数的一次哥看作dt2
一个变量）的系数为3t,是时间的函数，时变；
c、多项式含有微分，动态。
非线性，时变，动态
（3）
、一口1
a、激励量u（t）的哥指数为金，不为1,非线性；
b、各变量的系数均为常数，与时间无关，定常；
c、式中不含微分、积分，静态。
非线性，定常，静态
（4）
a、各变量的哥指数均为1,线性；
线性，时变，动态
b、变量dyt1的系数sint与时间有关，时变;dt
y（t）
u（t）—输入电压；y（t）一输出电压;
c、式中含有微分，动态。
（I）、u⑴0,i⑴0时:
Ldy（t）y（t）1u（t）;
RdtR
（II）、u（t）0,i（t）0时：
y（t）0.
在一个正弦周期，系统非线性、定常、动态。
VI、V2一理想二极管
非线性、定常、动态
T2-2已知动态系统对输入信号u（t）的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：
t2.
（1）y（t）x0u（）d；0t
（2）y（t）3x0u（）d；0t
（3）y（t）etx0etu（）d。
0
解：
先分清x0和ut这两个量：
x0为状态变量（初始状态或初始条件）；ut为输入变量。
零状态线性和零输入线性的判定方法：
（I）当x00时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出yt与输入ut的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；
（II）当ut00时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出yt与初始状态x0的关系是否满
足线性，若满足，则为零输入线性；
（III）当（I）、（II）都满足时，就既满足零状态线性又满足零输入线性。
题号
分析
系统性质
（i）
a、当x00时，为零状态，此时输出yt与输入ut
满足线性关系，故满足零状态线性；
b、当uto0时，为零输入，此时输出yt与初始状
态x0不满足线性关系，故不满足零输入线性；
综上a、b知，系统仅满足零状态线性。
仅满足零状态线性
（2）
分析方法同（D
既满足零状态线性又满足零输入线性
（3）
分析方法同（D
既满足零状态线性又满足零输入线性
T2-3有一线性动态系统，分别用t0时的输入Uit,U2t,U3t,t0,,对其进行试验。
它们的初始状态
都相同，且x00,三种试验中所得输出若为yit,y2t,y3t。
试问下列预测是否正确：
（i）若U3（t）ui（t）U2（t）,则y3（t）yi（t）y2（t）；
（2）若U3（t）Ui（t）/U2（t）,则y3（t）y［（t）/y2（t）；（3）若w（t）2u2（t）,则yi（t）2y2（t）;（4）若ui（t）U2（t）,则yi（t）y2（t）。
如果x00,哪些预测是正确的？
t
解：
因为系统为线性动态系统，所以不妨设：
y（t）x0u（）d
0
x0所处情况
题号
分析
结果
x00,
（i）
采用叠加原理，
/、止确
此时：
t
y（t）x0u（）d
0
tt
y3（t）x0比（）du3…u2⑴x0[u1（）止（）]d
00
t
2x0[u1（）见（）]dy（t）y2（t）,（只因为x0的存在）
0
（2）
系统线性系统同时满足可加性和齐次性；商运算不在其中，故不正确。
不正确
（3）
tt
y2（t）x0同（）du2（t）2u1（t）x02u1（）d
00
t
2x02u1（）d2y1（t）,-（只因为x0的存在）
0
/、止确
（4）
tt
y2（t）x0u2（）du2（t）u1（t）x0u1（）dy（t）,恒等。
00
正确
x00,
（1）
与上一种情况比较
正确
此时：
（2）
同上一种情况
/、止确
ty（t）u（）d0
（3）
与上一种情况比较
正确
（4）
恒等式
正确
T2-8已知线性动态系统的状态方程为
10
?
x01
01
y110x;x（0）010
试求由单位阶跃u1（t）输入所引起的响应y（t）。
解：
依题意，该线性系统的各系数矩阵为
0;x01;0
（sIA）
（sadj（sIA）
查拉氏（Laplace
状态转移矩阵
t
1）（s
0
2）
（s
;det（sI
A）
（s
（si
A）
）变换表得:
L1（siA）
1）（s
0
2）
（s1）
（s1）2
adj（sidet（si
A）
A）
s1s-2
2te
0
2t
e
（其中
1）（s
0
2）
（s
1）（s
（s1）
2）
（s
0
0；
1）2
1
1
1
s1
1
s-2
1
L为拉氏反变换的函数符号）
y（t）c
t
（t）x（0）0c
te
（t）bu（）dt0
te
2ttee
补充：
如何求
n阶矩阵的伴随矩阵?
0
2t
e
第一步：
先找出该n阶矩阵中每一元素在其
0
te
2（t）
e
行列式中所对应的代数余子式Aij;
0e2（t01（）dt1
第二步：
将得到的代数并将此矩阵命名为新矩第三步：
将新矩阵转置如何计算与:
其中Mj为元素的余子式，即在
余子式Aj取代其对应元素所在的位置并写成矩阵的形式
阵；
即得所求伴随矩阵。
Aj-1ijMj（i为该元素所在的行数，j为该元素所在的列数）
该n阶矩阵的行列式中，划去所取的任一元素所在的行和列之后,
剩下的（
n1）阶行列式的值。
以本题为例，同学们检验一下,
看看自己是否已掌握了伴随矩阵的求法。
T2-11已知线性动态系统中
试求系统的彳递函数G（s）。
解：
依题意:
（sI
s
A）0
3
2
det（sIA）s
3；
所求传递函数
s（s2）
adj（siA）（s2）1
s（s2）
Cadj（sIA）B
G（s）
det（sIA）
s（s
230
3s2
s32s23
3s
2）
3
（s
s（s
3s
s2s23
s（s2）3
3s
2）
2）
3
（s2）
s（s2）
3
1
s；
2s
T2-13已知系统的传递函数为
G（s）
32
s7s
14s8
求当a等于何值，系统传递函数将是不完全表征的。
解：
依题意:
G（s）…A）Bdet（sIA）
sa
^~2
s7s14s
系统特征多项式：
系统是三阶的：
n
当a1or2or4时,
2）（s4）;
sdet（sIA）s37s214s8（s1）（s3;
传递函数的特征多项式s为二阶的：
且n
此时系统有零、极点对消，系统传递函数是不完全表征的。
T3-1对图T3-1所示系统，按传递函数方框图变换原则求出下列传递函数:
-丫1-丫2
G1cu；G2c，
图T3-1单输入系统方框图
解：
解题之前，先总结一些方框图的变换规则:
_、一反
①、相加点对万框G:
（逆）移支路
1
G；
前（顺）移支路G
反（逆）移支路
②、分支点对对方框G:
前（顺）移支路
③、方框串联相乘，方框并联代数相加;
④、单环负反馈：
Gc
c
⑤、注意：
相加点、分
（详细介绍请查阅课本第39页）；
1GH
支点之间不能交叉，也不能相互合并
（为避免出现不必要的错误而人为规定的）
因为原系统简化方式有很多，所以笔者就不一一列举了，下面是笔者的一种解法，请参考。
依题意，将原传递函数方框图简化为下图中的形式：
Gic
Yl
U
GiG2G3G4
G1G2G3G4
GiG2G3G4
H4
G©
H2
G1G4
G4
H1）1G3G4H4G2G3H3G1G2G3H2G1G2G3G4Hl
G2c
丫2
Y1工G1G2G3UG41G3G4H4G2G3H3G1G2G3H2G1G2G3G4Hl
T3-3
求出图T3-3所示四输入系统方框图的输入量Y的表达式。
图T3-3四输入量的系统方框图
解：
依题意，将原四输入量的系统方框图简化为下图中的形式:
G1G2R2R4
H（R1-G
1G1G2（2H1）G1
G1
G2（GHR2G1H1R3R4）R3H1）1G2H2G1G2Hl
T3-4（b）已知一个电网络如图T3-4（b）所示。
试指出图中最多可划分为几个无负载效应的环节，求出该图的
传递函数:
G（s）U0sUis
并说明负载效应对传递函数的影响。
RiOHZZUi
h隔离
放大器
——C1
K1C2
—O
Uo
（b）
解：
先介绍几个概念：
负载效应：
信号传递过程的分流效应与损耗。
无负载效应的环节：
环节的输出变量仅决定于输入变量及环节自身的结构与参数,而与环节外部所接负载无关。
隔离放大器的作用：
可消除环节间的负载效应。
依题意，图（b）中最多可划分为3个无负载效应的环节:
G（s）UosUis
sC1
sC2
T3-5（b）已知一个无源网络如图
LsC1
R2
LsC2
T3-5（b）所示，试求传递函数:
K（1sC1R,）（1sC2R2）G（s）UosUis
解：
依题意，图（b）的传递函数:
G（s）
Uos
Uis
R
RsL—sC
sCR
1sCRs2CL
T3-10试根据图T3-10所示传递函数方框图画出对应的信号流图，并根据信号流图求出下列各个传递函数:
-Ys-Es^Ys
GA（s）■GB（s）7rGC⑸入
图T3-10传递函数方框图
解：
（a）先明确Es表示的意思。
Es表示误差信号，是输入信号与反馈信号的差值。
（b）学会画信号流图。
（两节点之间
掌握信号流图的表示方法：
在信号流图中只采用两种图形符号，即节点及节点之间的定向线段
的定向线段又叫支路）。
其中，节点代表变量；支路表示信号的传递；支路上所标示的文字代表传递函数。
根据传递函数方框图画出对应的信号流图的方法：
n,再加1（考虑
1、先确定节点的个数：
数出传递函数方框图（题中给出的图）中相加点数和分支点数的总和
信号输入处有一个节点），即信号流图的节点数N=（n+1）；此时就可以画出从输入到输出的一条通路。
2、根据传递函数方框图上的传递函数以及信号传递方向在该通路的基准上正确表示出来。
以本题为例
确定节点数：
N=3（相加点）+3（分支点）+1=7（个）
画出从输入到输出的一条通路:
将传递函数以及信号传递方向在该通路上表示出来
s
用Mason公式（请参考课本第55~57页）求信号流图中的各传递函数:
根据我们所画的信号流图知，从Rs到Ys只有一条通路：
PiG1;
LiGH;
环路共有三个，它们的环路传输分别为：
L2Gi；
L3H2.
三个环路中，只有
Li与L3不相互接触，特征式:
1（LiL2L3）L1L3；
1.
Gbs
Gcs
T3-11（b）
cYsP1Gi
GaS
Rs1G1H1G1H2G1H1H2
系统从Rs到Es只有一条通路：
P1;11L3；
P111H2
1G1HlG1H2G1H1H2
Ys
RsG1
Es1H
Rs
环路共有三个，它们的环路传输分别为:
L1
L2
L3
解：
依题意，信号流图中从U到Y共有两条通路：
P1G1G2G3；P2G4
G1G2H1；
G2H1；
G2G3H2.
1（L1L2L3）；
三个环路间彼此相互接触，特征式:
1；;
1（L1L2L3）.
P1P22G1G2G3G4（1
G1G2H1G2H1G2G3H2）
T3-12
1G1G2H1
G2H1G2G3H2
已知某控制系统从源点到汇点的总传输为
ah1cfdq1be1dqcf
其中a、b、
c、
d、e、f及q各代表一个支路的传输，试绘制出该系统的信号流图。
〃，、mYah1cfdq
解：
依题意，―
U1be
1dqcf
ah1cfdqP111dqcfbebedq
绘出该系统的信号流图如下:
T3-13已知系统方框图如图
T3-13所示。
试写出x「X2、X2为状态变量的状态方程与输出方程，画出该系
统的状态变量模拟图。
R（s）
图T3-13系统方框图
解：
依题意，画出该系统的状态变量模拟图如下:
sXi（s）X2（s）
系统的状态方程：
sX2（s）
2X2（s）
X3（s）
sX3（s）
KXi（s）X3（s）KR（s）
?
010x1
写成矩阵形式：
x021x2
K01x3
xi
输出方程：
yxi100x2
x3
T3-15已知控制系统的传递函数
G（s）
s22s5
3s36s29s15
试求该系统的可控标准形实现及可观测标准形实现。
G（s）
解：
对传递函数略加变换:
1
3s
2
3s2
5
3s3
1
2
3
5
—
-2
s
s
s
s22s5
3s36s29s15
绘制图形:
s
13
⑴、可控标准实现:
0
式中：
Ac
bc
0；Cc1
（2）、可观测标准实现:
Ax
C°x
bou
00
式中：
A010
01
553
3;b02/3;C0001
213
T4-2已知二阶系统的传递函数为
随着参数
的不同，其一对极点在s平面上有如图T4-2所示①~⑥的6种分布。
若系统输入单位阶跃
信号，试列出与这6对极点相对应的暂态响应曲线的形状特征。
解：
首先明确阻尼比在不同取值围下，暂态响应曲线的是怎样变化的:
阻尼比取值围
①
1
过阻尼
②
1
临界阻尼
③
01
欠阻尼
④
0
无阻尼
⑤
10
⑥
1
暂态响应曲线变化情况
单调衰减
单调衰减
振荡衰减
等幅振荡
振荡发散
单调发散
位于/、含虚
位于/、含虚
位于左半实
位于左半
轴的左半s
位于虚轴
轴的右半s
位于右半
轴线上的2
上的2个
闭环极点位直
个不相等的
实轴线上
平囿上的2
共辗纯虚
平囿上的2
实轴线上
的重极点
个共轲复数
个共轲复数
的重极点
实极点
极点
数极点
极点
极点分布图中①②③④⑤⑥所对应的暂态响应曲线的形状分别如下图所示:
过阻尼时的极点分布酗应
临界阻尼的极点分布麻应
欠阻尼时的极点分布物应
无阻尼时的极点分布和响应
-1时的极点分布和响应
T4-5设有一典型二阶系统
Y（s）
U⑸
2
n
s2ns
为了使系统阶跃输入的响应有5%的过调量和2s的调整时间（允许误差为5%）,求阻尼比和臼然振荡频率n。
解题之前先熟悉几个公式:
2
①、过调量：
Mpe*1为阻尼比；
p
②、5%误差区的调整时间：
ts5%3—为衰减时间常数,
n
③、2%误差区的调整时间：
ts2%4—.
n
n为自然振荡频率；
解:
过调量：
Mpe"125%
依题意，由
5%误差区的调整时间：
ts5%—2s
n
2
In0.05
20.69
ln20.05
2.17rad/s
T4-10一闭环系统的结构如图T4-10所示，若开环传递函数G0（s）与输入信号r（t）为
-10
⑴G。
⑸「⑴10t；
-102
（2）G0（s）;r（t）46t3t；
s（4s）
（3）G0（s）10;r（t）46t3t21.8t3。
s（4s）
试求以上三种情况的稳态误差e
R（s^——
图T4-10单位反馈系统方框图
解：
求解之前，有必要记一下以下这表（对于本题这种题型，这应该是最快最准的解题方法了）
各种类型输入作用下的稳态误差e
系统的型N
单位阶跃输入
Rs1s
积分因子数n=1
积分因子：
1.s
单位斜坡输入
Rs，s
积分因子数n=2
单位抛物线输入
Rs二
3
s
积分因子数n=3
0
11
1KK
（K为比例因子）
注目观祭：
N0n1
注目观祭：
N01n1
注意观察：
N02n1
1
0
注目观祭：
N10n1
1
K
注目观祭：
N1n1
注目观祭：
N12n1
2
0
注意观察：
N20n1
0
注目观祭：
N21n1
1
K
注目观祭：
N2n1
3
0
注意观察：
N30n1
0
注目观祭：
N31n1
0
注意观察：
N32n1
N>3
0
注目观祭：
Nn1
0
注目观祭：
Nn1
0
注目观祭：
Nn1
此表表明：
系统的型N（其中N为开环传递函数Gos的积分因子数）越高，稳态误差越小。
记忆此表的方法（请参考）：
对于输入函数满足rt落小年RsJ时,
（Nn-1）
1
令k1n,由表易知：
e一（Nn-1）.
K
0（Nn-1）
以本题为例
开环传递函数Go（s）
10
s（4s）
10
4
1-
s（1-S）
4
系统为N1型，比例因子K-
4
2.5
比例因子K怎么求：
先把分子和分母中含有形如
（msk）的式子都化为（ms1）的形式,k
最后化得的开环传递函数G0s中的系数即为K.
⑴、
彳~拉氏变换
10t
10
⑵、
（3）、
et
6t
e1
6t
e1
10
K
3t2
3t2
et
10
2.5
拉氏变换
1.8t3
ett
4；
Rs
拉氏变换
ettt
Rs
10.8
4~s
T4-12某具有扰动输入的反馈控制系统如图T4-12所示，如果其参考输入量和扰动量都是单位阶跃信号,
r⑴
d（t）1（t）
R（s）
图T4-12具有扰动的单位反馈系统
试求其频域响应Ys、频域误差Es以及时域的稳态误差e
解：
利用Mason公式知:
Ys
r（t）
K1
s1s3
Rs
1d（t）1（t）,RsDs_
s
Ks1
s（s1）（s3）Ks
1Ks1
ss（s1）（s3）Ks
limsEs
s0
题后小记
K11
为便于理解：
Ys—s—1s3Rss-3Ds
K1,K1
11
s1s3s1s3
特此作出以下推导：
令YsYRsYDs;..…（叠加原理）
其中：
K1
YrssJs3Rs;..…（Yrs表示的是Rs单独作用下，输出对输入的响应）
1巴，s1s3
1
Yds——s3Ds；……（Yds表示的是Ds单独作用下，输出对输入的响应）1区,
s1s3
T4-13某具有扰动输入的反馈系统如图T4-13所示，设R（s）D（s）1/s。
系统中各环节传递函数为
G1（s）
K
0.05s1
G2（s）
G3（s）
1
s5
2.5
要求：
（1）求出系统的稳态误差及调差率；
（2）在扰动点左侧的前馈通路中串入积分因子1/s后，求系统的稳态误差及调差率；
（3）在扰动点右侧的前馈通路中串入积分因子1/s后，求系统的稳态误差及调差率；
（4）在上列
（2）的情况下，拟对扰动加装比例型补偿环节，以使调差率s0.04,试画出补偿方框图。
解：
依题意，Y
YrSYdS
G1sG2s
：
Rs
1G1sG2sG3s
G2s
1G1sG2sG3
⑴、
⑵、
由图知：
E
Yd
yR
limsEs
由图T4
RsG3sY
1
1G1sG2sG3s
G2sG3
s——Ds
1
2.5K
（0.05s1）（s5）
（0.05s1）（s2.5）
s（0.05s1）（s5）2.5Ks
sYDslim
s0sYrs
G?
s
lim——2
s0G1sG2s
1G1sG2sG3s
2.5
s5
2.5K
（0.05s1）（s5）
lim—
s0G1s
lim
s0
1
K
（0.05s1）
图T4-13具有扰动的反馈系统
13
（2）知:
s（0.05s1）（s2.5）
2一一
s（0.05s
s”sE
1）（s5）
0；
2.5Ks
yD
yR
..sYdslim—
s0sYRs
lim;0
G2s
1
—G1sG2s
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