全等三角形难题题型归类及解析.doc
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全等三角形难题题型归类及解析
一、角平分线型
角平分线是轴对称图形,所以我们要充分的利用它的轴对称性,常作的辅助线是:
一利用截取一条线段构造全等三角形,二是经过平分线上一点作两边的垂线。
另外掌握两个常用的结论:
角平分线与平行线构成等腰三角形,角平分线与垂线构成等腰三角形。
1.如图,在ΔABC中,D是边BC上一点,AD平分∠BAC,在AB上截取AE=AC,连结DE,已知DE=2cm,BD=3cm,求线段BC的长。
2.已知:
如图所示,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,判断PM与PN的关系.
3.如图所示,P为∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,∠OAP+∠OBP=180°,若OC=4cm,求AO+BO的值.
4.已知:
如图E在△ABC的边AC上,且∠AEB=∠ABC。
(1)求证:
∠ABE=∠C;
(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,设AB=5,AC=8,求DC的长。
.
5、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证:
2∠M=(∠ACB-∠B)
6、如图,已知在△ABC中,∠BAC为直角,AB=AC,D为AC上一点,CE⊥BD于E.
(1)若BD平分∠ABC,求证CE=BD;
(2)若D为AC上一动点,∠AED如何变化,若变化,求它的变化范围;若不变,求出它的度数,并说明理由。
7、如图:
四边形ABCD中,AD∥BC,AB=AD+BC,E是CD的中点,求证:
AE⊥BE。
8、如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,
求证:
AC=AE+CD.
二、中点型
由中点应产生以下联想:
1、想到中线,倍长中线
2、利用中心对称图形构造8字型全等三角形
3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线
4、三角形的中位线
1、△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE⊥DF,试判断DE、DF的数量关系,并说明理由.
2、已知:
如图,中,,于,平分,且于,与相交于点是边的中点,连结与相交于点.
(1)求证:
;
(2)求证:
3、如图,△ABC中,D是BC的中点,DE⊥DF,试判断BE+CF与EF的大小关
系,并证明你的结论。
4、如图,已知在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上的一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
E
F
C
D
B
A
三、多个直角型
在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等,而最难找的是锐角相等,所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要,它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。
1、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
2、如图,已知:
AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF.求证:
AC=EF.
3、如图,∠ABC=90°,AB=BC,BP为一条射线,AD⊥BP,CE⊥PB,若AD=4,EC=2.求DE的长。
4、如图,ΔABC的两条高AD、BE相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由。
(1)∠DBH=∠DAC;
(2)ΔBDH≌ΔADC。
5.如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2、5cm,DE=1.7cm,求BE的长
6.如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由.
7.如图
(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E
(1)试说明:
BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕A点旋转到图
(2)位置时(BD为什么?
(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?
请直接写出结果,不需说明.
(4)归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。
用简洁的语言加以说明。
四、等边三角形型
由于等边三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形,另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答,同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质,因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。
1、如图,已知为等边三角形,、、分别在边、、上,且也是等边三角形.
(2)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的;
(3)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?
写出变化过程.
2、已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的大小。
3、如图,D是等边△ABC的边AB上的一动点,以CD为一边向上作等边△EDC,连接AE,找出图中的一组全等三角形,并说明理由.
E
D
C
B
A
4、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上.求证:
BE=AD
5、已知P是等边△ABC内的一点,的度数为多少?
6、已知P是正方形ABCD内的一点,PA∶PB∶PC=1∶2∶3,的度数为多少?
.
五、等腰三角形型
由于等腰三角形是轴对称图形,所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形,另外等腰三角形又具有旋转对称性,所以经常利用旋转全等的知识进行解答
1、如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
A
E
B
M
C
F
求证:
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
2.在△ABC中,,AB=AC,在AB边上取点D,在AC延长线上取点E,使CE=BD,连接DE交BC于点F,求证DF=EF.
3.如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明.
折叠型
23、如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①,△AEM的周长=_____cm;
②求证:
EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?
请说明理由.