一元函数积分与二元函数积分的区别与联系.doc
《一元函数积分与二元函数积分的区别与联系.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元函数积分与二元函数积分的区别与联系.doc（9页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
一元函数积分与二元函数积分的区别与联系
学生姓名：
李金辉学号：
20105031137
数学与信息科学学院数学与应用数学专业
指导教师：
董丽职称：
讲师
摘要：
本文主要介绍了一元函数积分与二元函数积分的定义、性质和计算，并讨论了定积分与曲线积分、二重积分的区别与联系．
关键词：
不定积分；含参量积分；定积分；曲线积分；二重积分
Thedifferencesandrelationsbetweensinglevariableintegralandbinaryfunctionintegral
Abstract：
Thispapermainlyintroducesthedefinitions，properties，andcalculationsofsinglevariableintegralandbinaryfunctionintegral，anddiscussesthedifferencesandrelationsofdefiniteintegral，curveintegral，anddoubleintegral．
Keywords：
indefiniteintegral；integralwithparameter；definiteintegral；curveintegral；doubleintegral
前言
一元函数积分与二元函数积分有着本质上的区别，但是其性质以及计算过程却有着千丝万缕的联系，作为初学者，我惊叹于其中的联系，在此我浅谈一元函数积分与二元函数积分的性质以及其区别与联系．
1不定积分与含参量积分
1.1不定积分的定义
定义1.1设函数与在区间上有定义．若
则称为在上的一个原函数．
定义1.2函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作
其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量．
1.2不定积分的结果
不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族，其中是任意常数，记作
这时又称c是积分常数．
1.3含参量积分的定义
（1）含参量正常积分
一般地，设为定义在区域上的二元函数，其中为定义在上的连续函数（图一），若对于上每一固定的值，作为的函数在上可积，则其积分值是在上取值的函数，记作
X
Y
O
G
（图一）
（2）含参量反常积分
设函数定义在无界区域上，其中为一个区间，若对每一个固定的反常积分
⑴
都收敛，则它的值是在上取值的函数，记作
称为⑴式定义在上的含参量的无穷限反常积分．
函数对于函数族是集合与元素的关系，含参量积分的存在性与不定积分有较大区别，并且含参量积分的计算是看作定积分来计算的．
2定积分的定义及部分性质
2.1定积分的物理背景
（1）曲边梯形的面积．
（2）变力的功—变力沿x轴由a移动到点b，并设处处平行于x轴．
2.2定积分的定义
核心思想：
做分割，近似求和，取极限．
定义2.1设闭区间上有n-1个点依次为：
它们把分成n个小区间，这些闭子区间或者这些分点构成对的一个分割，记为
小区间的长度，并记称为分割的模．
定义2.2 设是定义在上的一个函数，对于上的任一分割
任取点，并做和式，称此和式为在上的一个积分和，也称黎曼和．
定义2.3 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有
，
则称函数在区间上可积或黎曼可积，数称为在上的定积分或黎曼积分，记作
2.3可积条件
对于定义在区间上的函数：
（1）可积的必要条件：
若在上可积,则在上必定有界．
（2）可积的充要条件：
函数在上可积，使得
（3）可积的充分条件
①连续必可积．
②只有有限个间断点的有界函数可积.
③单调则可积.
2.4定积分的性质
（1）线性性质
①若在上可积,为常数则在也可积，且
②若,都在上可积，则在上可积且
③若,都在上可积，则在上也可积
④若,都在上可积，有
.
（2）不等式性质
①设为可积函数，若，，则
.
②若设为上的可积函数，则在上也可积，且
.
（3）积分第一中值定理：
若，则至少存在一点，使
（4）推广的积分第一中值定理:
若上连续，且不变号，则至少存在一点，使得
3曲线积分的定义及计算
3.1第一型曲线积分的物理背景
设物体的密度函数是定义在上的连续函数．当是直线段时用定积分就能计算得到该物体的质量．当是平面或空间某一可求长度的曲线段时物体的质量时就引入了第一性曲线积分．
3.2第一型曲线积分的定义
核心思想：
做分割，近似求和，取极限．
定义3.1设为平面上可求长度的曲线段，为定义在上的函数．对曲线作分割，它把分成可求长度的小区线段的弧长为分割的细度为，在上取点，若有极限
．
且J的值与分割无关与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分记作
.
3.3第一型曲线积分的性质
①若存在，为常数，则
②积分曲线的可加性：
若曲线由曲线首尾相接而成，且
都存在，则
也存在，且．
③若都存在，且在上则
．
④若存在，则也存在，且
⑤若存在，的弧长为，则存在常数，使得
，．
3.4第一型曲线积分的计算
用参数方程转化为定积分进行计算
设有光滑曲线，函数为定义在上的连续函数，则
．
3.5第二型曲线积分的物理背景
一质点受力的作用沿平面曲线从点A移动到点B，求力F做的功．
3.6第二型曲线积分的性质
性质1若，存在，则也存在，且．其中为常数．
性质2若有向线段L是有向线段首尾相接而成，且，存在，则也存在，且．
3.7第二型曲线积分的计算
转化成定积分来计算．
设平面曲线，其中在上具有一阶连续导函数，且点A与点B的坐标分别为，又设为上连续函数，则沿L从A到B的第二型曲线积分
．
4二重积分
4.1二重积分的物理背景
求曲顶柱体的体积：
即设是定义在可求面积的有界闭域上的非负连续函数．求以为顶的曲顶柱体的体积．
4.2二重积分的定义
核心思想：
做分割，近似求和，取极限．
设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数．J是一个确定的数，若对于任意的正数，总存在某个正数，使得对上的任何分割，当分隔和有
，
则称在上可积，数J称为在D上的二重积分记作
．
4.3二重积分的性质
（1）在上可积
（2）在上可积的充要条件：
对于任意的，存在上的某个分割，使
（3）有界闭域上的连续函数必可积．
（4）设在有界闭域上有界，且其不连续点集是零面积，则在上可积．
此外，二重积分的与定积分的性质完全相同．
4.4二重积分的计算
（1）矩形区域下二重积分的计算：
设在矩形区域上可积，且对每一个，积分存在，则累次积分也存在，且
．
（2）x型（y型）区域积分的计算：
若在图二所示的x型区域D上连续，其中在上连续，则
．
（对于一般的区域可以分割成多个x型区域（y型区域））．
Y
O
X
a
b
（图二）
（3）变量变换之后计算．
5定积分与曲线积分、二重积分的比较
经过以上性质的叙述可以知道，一元函数的定积分与二元函数的曲线积分二重积分有着很多区别和联系．仅从结果上讲定积分与曲线积分、二重积分是相同的，但从意义上讲却有着本质的区别．从一元函数积分到二元函数积分是质的飞跃．
一元函数
二元函数
积分种类
定积分
第一型曲线积分
第二型曲线积分
二重积分
物理
背景
曲边梯形的面积
物体的质量
变力沿曲线的功
曲顶柱体的体积
（被积函数为1是是曲边梯形的面积）
定义域
直线段
没有方向的曲线上
有正方向的曲线上
可求面积的平面上
参考文献
[1]胡适耕，张显文．数学分析原理与方法［M］．北京：
科学出版社，北京，2008．
[2]Ｂ·Ａ·卓里奇．数学分析［M］．北京：
高等教育出版社，2002．
[3]孙清华，孙昊．数学分析内容方法与技巧［M］．武汉：
华中科技大学出版社，2003．
9
升级会员 