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数学与统计学院2012届毕业论文
分类号O172.2
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毕业论文
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黄褐色，湿，软塑~可塑，含少量粉粒，稍有光泽，无摇振反应，干强度中等，分布于卵石层之上。
稍密，该层有轻微摇震反应，干强度较差，部分地段接近与粉砂。
部分地段分布，主要分布与砂卵石之上19
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本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
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本声明的法律责任由本人承担。
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年月日
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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
摘要：
介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例,说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.
关键词：
黎曼积分;勒贝格积分;可测函数;可积函数.
TheDifferencesandRelationsBetweentheRiemannIntegralandLévesqueIntegral
Abstract:
Inthispaper,thedefinitionsoftheRiemannintegralandLévesqueintegralareintroduced,Comparedwiththeexistencesofconditions,theelementaryproperties,theclassesoftheintegralfunctionandtheassociatedconclusionsofthetwointegrals,ThedifferencesandrelationsbetweentheRiemannintegralandLévesqueintegralaregiven.Meanwhile,theexamplecorrespondingtoeachconclusionisalsoresented.
Keywords:
Riemannintegral;Lévesqueintegral;measurablefunction;integralfunction
目录
1引言 2
1.1微积分的发展史 2
1.2黎曼积分与勒贝格积分的引入 2
2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系 5
2.1黎曼积分和勒贝格积分定义的比较 5
2.2黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较 7
2.3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较 9
2.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类 12
2.5黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较 13
3黎曼积分与勒贝格积分的主要联系 15
4文章总结和展望 16
4.1文章总结 16
4.2文章展望 16
参考文献 18
致谢 19
黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
1引言
1.1微积分的发展史
积分学的历史很早,它起源于求积问题,真正成为积分学萌芽的当属阿基米德的工作,他在《抛物线求积法》中用穷竭法求出抛物线弓形的面积,其方法是逐次做出与该弓形
同底等高的三角形,然后将这些三角形的面积加起来,之后的很多年虽然微积分的奠基工作一直在紧锣密鼓的进行着,但其中还是存在不少的缺陷,直到17世纪下半叶,牛顿和莱布尼茨创立了微积分学,关于积分中怎样理解无穷小的困扰直至柯西,海涅等人的实数理论及一致连续性的提出,才完成了微积分严密化的任务.
牛顿将微分的思想用到积分上,得出积分运算是微分运算在某种意义下的逆运算,也发展了不定积分的思想,莱布尼茨从积分思想看出积分运算是微分运算的逆,得到了牛顿—莱布尼茨公式,即设是的不定积分,则有成立
.
此公式使得积分的计算大为简便,是积分运算系统的处理方法.微积分成了真正可以应用的理论了.
1.2黎曼积分与勒贝格积分的引入
数学史上提出用分割区间,做和式的极限来明确的定义积分的是A.Cauchy,他考察的积分对象是在上的连续函数.并用连续函数的中值性质推导积分的存在性,A.Cauchy所做的积分存在性的证明只适用于函数至多有有限个不连续点的情形,于是对无穷多个不连续点的函数的存在性问题引起很多专家学者的兴趣,对积分发展起推动作用的是J.Fourier关于三角级数的工作,它指出定义在上的函数可表示为
.
其中,
.
.
这一结果虽然缺乏严格的论证,但当时在物理学上的成功应用引起了数学界的极大重视,后来Ddrboux又得出如下结论.
设是定义在上的有界函数,做划分
且,,
下积分,上积分,若有
=
则在上是黎曼可积的.
黎曼积分的重要性是显然的,它对处理诸如逐段连续的函数以及一致收敛的函数是足够的,并至今仍突然是微积分课程的主要内容,然而，随着理论工作的深入,人们越来越多的接触到具有各种“奇特”现象的函数,这对在研究函数的可积性及积分理论出现了很多困难.比如
（1）可积函数的连续性
我们知道,函数的可积性等价于,它涉及分割子区间的长度及函数在其上的振幅两个因素,若上是成立即就是在分割加细时,其振幅不能缩小的那些相应项的子区间的长度之和可以很小,由以前知识,函数振幅的大小与其连续性有关,即函数的不连续点可用长度很小的区间包围,所以黎曼积分的理论基础是以“基本”连续的函数为对象的.
⑵极限与积分交换次序问题
在处理极限与积分交换次序问题中黎曼积分的数学期望不是很高.
例1.1
显然,而.
当,时.
此时,积分与极限不能交换次序,只有当0时,即一致收敛极限与积分才交换.
引理1.1（有界收敛定理）设是定义在上的可积函数.
〈ⅰ〉︳︳;
〈ⅱ〉是定义在上的可积函数且有.
这里极限与积分交换次序不仅受到的限制,而且还必须假定极限函数的可积性.这说明黎曼积分的定义太窄了.以上例子可以看出黎曼积分虽然比较简单,但如果考虑可能在一个零测度集上不连续黎曼可积函数本来就自然的结果很难证明,甚至不成立,尤其是积分号下求极限黎曼可积函数类缺乏完备性.
随着微积分学的发展,人们越来越感觉到它有很大的局限性,尤其是随着集合论的一系列工作的创始,出现一些病态函数,在研究它们的可积性时,黎曼积分迎来新的挑战.
例1.2狄里克雷函数,由定义可证不是黎曼可积的,因此必须扩大积分范围.
⑶关于微积分基本定理
在微积分学基本定理中必须是可积得,但我们知道存在可微且导数有界的函数,其导数不是黎曼可积的,因此限制了微积分基本定理的应用范围.
随着数学的发展,人们发现很多问题在黎曼积分中都得不到圆满的解决,科学的不断前进,积分论再进一步革新,勒贝格在Borel测度思想的指导下,也吸收了Jordan和Peano的思想,建立了测度论,在可测集上定义了可测函数,并证明了在区间上的连续函数都是可测函数,利用黎曼积分对定义域的分割方法,考虑到间断点造成的困难,勒贝格大胆的改变了黎曼积分对定义域的分割方法,而采用对值域的分割,从而缩小振幅,消除了间断点的困难,在二十世纪提出了勒贝格积分,它为现代分析学打开了大门,勒贝格积分的提出是许多问题迎刃而解了.
我们知道勒贝格积分是引入测度来推广长度,与黎曼积分比较,勒贝格积分虽然有很多优点,但任何一种理论都不是十全十美的,它也有缺点,比如在应用时测度比长度就要麻烦,反常积分是不存在的等等.
2黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系
2.1黎曼积分和勒贝格积分定义的比较
定义2.1.1（黎曼积分和勒贝格积分的定义）
黎曼积分的定义是从求曲线下方图形的面积入手的,其定义为:
设在上有界,对做分割,将区间分成n部分,在每个小区间上任取一点,作和
.
称它为属于分割的黎曼和,令,,当→0时,若该式趋于有限极限,则称在上可积记作
.
其精确的数学定义为:
设在上的函数,J是一确定的数,若对任意的总存在,使得上的任意分割T以及任意选取的,只要时,属于T的积分和都满足,则称在上可积,称J为则称在上在上的定积分记作
.
黎曼积分的思想是“分割,求和,近似代替,取极限”,这里的分割是对定义域的分割,对黎曼积分还有另一种定义.
定义2.1.2设在上有界,对做分割,,其中令,,,
若有
则称在上黎曼可积.
定义2.1.3我们已知,测度是长度的推广,启发我们若要将黎曼积分推广可以考虑将区间推广到测度空间,对于被积函数按照黎曼积分的思想,必须使的在分割区间以后在尽可能多的区间上函数振幅足够小,这使得具有较大震荡的函数被排除在外,勒贝格大胆的采用逆向思维的方法,从值域入手,提出勒贝格积分,即
作,其中,,分别为在上的上界和下界,令,若存在,则勒贝格可积.
一般的可测函数的积分定义为:
设在可测集E上可测,若记，,则有,若,不同时为,则在上的积分确定且
.
由简单函数可以逼近可测函数,可先给出简单函数的勒贝格积分定义,再写出其它类型函数的勒贝格积分定义.
定义2.1.4（简单函数的勒贝格积分定义）设是可测集上的非负简单函数,于是有对的划分,,在上的取值为,则,定义的勒贝格积分为,若,则称在上勒贝格可积.
定义2.1.5（非负可测函数的勒贝格积分定义）取上的非负简单函数列,对任意的,都收敛于,则在上勒贝格可积其积分为
.
对一般的函数由于,则
.
若左端的两个积分值都有限时,称在上勒贝格可积.
勒贝格积分是建立在测度论的基础上,可以处理有界或无界的情形,而且函数可以定义在更一般的点集上.由以上两大积的分定义,他们主要的不同是源于他们的划分区域不同,由于勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以凡是黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.
例2.1.1不是黎曼可积的,但它是勒贝格可积的,且积分为0.
可用下面直观的例子说明黎曼积分与勒贝格积分在定义方面的差异.
例2.1.2用硬币兑换纸币.假设有5000枚硬币需要兑换成纸币,每一枚硬币的面值分别为0.01元,0.02元,0.05元,0.1元,0.2元,0.5元,1元中的一个,要兑换需计算总币值,计算总币值有两种方法,第一种是一个个硬币的币值逐个相加,第二种是把所有的硬币按币值分为7类,计算每一类币值再相加.明显的方法一中体现的是黎曼积分的思想,方法二则体现的是勒贝格积分的思想.
黎曼积分是将给定的函数的定义域分小而产生的,而勒贝格积分是通过划分函数的值域而产生的,前者的优点是的度量容易给出,但当分割的细度加细时,函数在的振幅仍可能较大,后者的优点是函数在上的振幅较小,从而扩展了可积函数类,使许多问题迎刃而解,但一般不再是区间,而是可测集,其度量一般不容易给出,对定义域和值域的划分是这两大积分最本质的区别.
2.2黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较
2.2.1黎曼可积的条件
㈠黎曼可积的条件必要条件
定义在上的黎曼可积的必要条件是在上有界.
注任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积.
㈡黎曼可积的充分必要条件
⒈设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为在上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即
设在上有界,为对的任一分割,其中令
,,,,有
.
⒉设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为,总存在某一分割,使得
.
⒊设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为对于任给正数,总存在某一分割,使得属于的所有振幅的小区间的长度总长小于等于.
⒋设是定义在上的有界函数,则黎曼可积的充分必要条件为,总存在某一分割,使得
成立.
⒌定义在上的函数黎曼可积的充分必要条件为在上的一切间断点构成一个零测度集.
注这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.
例2.2.1
这个函数在所有无理点处是连续的,所有有理点处是不连续的,虽然中有无穷多个不连续点,但仍可积,且,事实上,中全体有理数组成一个零测度集,所以是黎曼可积的.
2.2.2勒贝格可积条件
⒈设是定义在可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件为,总存在的某一分割,使得
.
⒉设是定义在可测集上的有界函数,则在上勒贝格可积的充要条件为在上勒贝格可测.
⒊设在上的黎曼反常积分存在,则在上勒贝格可积的充要条件为在上的黎曼反常积分存在,且有
.
⒋设为上的可测函数列,在上的极限函数几乎处处存在,且,则在上勒贝格可积.
⒌设是是定义在可测集上的连续函数,则在上勒贝格可积的充要条件为在上勒贝格可测.
2.3黎曼积分与勒贝格积分的性质比较
2.3.1黎曼积分的性质
⒈（线性性）若是定义在上的黎曼可积函数,为常数,则在上也黎曼可积,且有
.
⒉（线性性）若,是定义在上黎曼可积函数,则
,也在上黎曼可积.
注,但.
⒊（区域可加性）设有界函数在,上都黎曼可积,则在上也黎曼可积,且有
.
⒋（单调性）若,是定义在上黎曼可积,且,则
.
⒌（可积必绝对可积）若在上黎曼可积,则在上也黎曼可积,且有.
注其逆命题不成立.
⒍若在上黎曼可积,则在的任意内闭子区间上也黎曼可积.且其积分值不会超过在上的积分值.
⒎若是上非负且连续的函数,若有,则在上恒等于零.
⒏若,是上的黎曼可积函数,则,在上也黎曼可积.
⒐若在上黎曼可积,在上有定义且有界,则也在上黎曼可积.
2.3.2勒贝格积分的性质
⒈（有限可加性）设是有界可测集上的可积函数,,等均可测且两两互不相交,则有
.
⒉（可加性）设是有界可测集上的可积函数,,等均可测且两两互不相交,则有
.
⒊对于给定的可测函数,与的可积性相同且
.
⒋（单调性）若,在上勒贝格可积,且几乎处处成立,则
.
⒌是上的非负可积函数,则在上是几乎处处有限的.
⒍是上的非负可测函数,若在上几乎处处等于0,则.
⒎（零测集上的积分）若,则.
⒏是上的勒贝格可积函数,在上几乎处处成立,则.
⒐设在上可测,若存在非负函数在可测集上勒贝格可积,几乎处处成立,则在可测集上勒贝格可积.
⒑在可测集上勒贝格可积,是的可测子集,则在上也勒贝格可积.且其积分值不会超过在上的积分值.
⒒（线性性）设,是上的非负可测函数,,为非负常数,则也在上可积,且
.
⒓设在上可测,则的充要条件是在上几乎处处成立.
⒔（绝对连续性）设在有界可测集上勒贝格可积,则对,有,使得当时,有
.
⒕设在可测集上勒贝格可积,则对,有连续函数,使得.
⒖设,均在上勒贝格可积,则,也
在上勒贝格可积.
⒗若与在上几乎处处相等,则也可积,且
.
⒘设在可测集上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数.
⒙设为可测集上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数,使得的
导函数在上几乎处处等于.
⒚设,是可测集上的两列非负简单函数,且对所有的,
都单增收敛于相同的极限,则
.
2.4黎曼可积函数类与勒贝格可积函数类
2.4.1黎曼可积函数类
⒈若在上有定义,且是连续函数,则在上黎曼可积.
⒉若在上有定义,且是只有有限个间断点的有界函数,则在上黎曼可积.
⒊若是在上有定义,且只有有限个第一类间断点的函数,则在上黎曼可积.
⒋若是上的单调函数,则在上黎曼可积.
注单调函数即使有无限间断点,它也是黎曼可积的.（单调函数只能存在有限个间断点,使得函数在其上的振幅超过预先给定的值）.
⒌有界函数在上的不连续点集组成的是收敛数列,则在上黎曼可积.
2.4.2勒贝格可积函数类
⒈是上的非负可测函数,若存在上的非负可积函数使得,,则在上勒贝格可积.
⒉设是在上非负可测且有界的函数,,则在上勒贝格可积.
⒊若可表示为一个简单函数的极限,则在有界可测集上是勒贝格可积的.
⒋黎曼可积的有界函数是勒贝格可积得.
2.5黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较
为了更深刻的刻画黎曼积分与勒贝格积分在相关定理方面的差异,有必要给出一致收敛的概念,然后比较这两大积分在相关定理方面的差异.
定义2.5.1设函数列与函数定义在同一数集上,若对任意给定的正数,总存在某一正数,使得当时,对一切有
.
则称函数列在上一致收敛于.
2.5.1与黎曼积分相关的定理
⒈若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数也在上连续.
⒉（可积性）若函数列在区间上一致收敛,且每一项都连续,
.
⒊（可微性）设为定义在上的函数列,若为的收敛点,且的每一项在上都有连续的导数,在上一致收敛,则
.
⒋有界收敛定理设是定义在上的黎曼可积函数.
⑴.
⑵是定义在上的黎曼可积函数.且.则有
.
2.5.2与勒贝格积分相关的定理
⒈（勒维定理）设可测集上的可测函数列满足如下条件:
,则的积分序列收敛于的积分
.
⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集上的可测函数列满足如下条件:
⑴的极限存在,.
⑵存在可积函数使得那么可积,有
.
⒊设,上的可测函数列满足如下条件:
⑴,可积.
⑵依测度收敛于,那么可积,有
.
⒋设是上的增函数列,且有在上收敛,则
.
通过以上定理的比较我们可以发现,极限运算与勒贝格积分运算交换次序时,只需满足存在一个控制函数或序列单调即可,这些条件比黎曼积分中要求一致收敛要弱得多,这就使得极限与积分运算,微分与积分运算,积分与积分运算很容易交换次序,从而减少计算量.
勒贝格积分的最大成功之处就是在于解决了积分与极限交换次序的条件苛刻的问题,使得极限与积分运算,微分与积分运算,积分与积分运算在勒贝格积分范围比在黎曼积分范围内更为圆满的解决.
3黎曼积分与勒贝格积分的主要联系
⒈设是上黎曼可积,则必勒贝格可积,且两者积分值相等.
注上述结论只对上的有界函数成立,对于无界函数的瑕积分及无穷区间上的反常积分,结论不再成立.
例3.1在上定义函数
其反常积分的值为,但,不是勒贝格可积的.
但对于非负有界函数的黎曼反常积分,若在上黎曼反常积分存在,则必勒贝格可积,且积分值相等.
⒉勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.
例3.2
而黎曼上和等于1,黎曼下和等于0,从而不是黎曼可积的.
⒊勒贝格积分是一定意义下的黎曼积分的推广.（测度是长度的推广,可测函数是连续函数的推广.）
注勒贝格积分并不是单纯的对黎曼积分的推广.如在反常积分理论中,而在勒贝格积分理论中,故在上不是勒贝格可积的.
4总结
4.1总结
现将黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系总结如下
⒈设是上黎曼可积,则必勒贝格可积,且两者积分值相等.
⒉闭区间上的黎曼可积函数一定是可测函数,也一定勒贝格可积.
⒊微积分基本定理的使用范围扩大了,勒贝格提出当有界时,证明微积分基本定理并不难,但在是无界时,只要是可积的,微积分基本定理成立.
⒋勒贝格积分理论作为分析学中的有效工具,尤其在处理三角级数等问题中,得到了广发的应用.
⒌前面提到勒贝格积分是的黎曼积分的推广,但并不是黎曼反常积分的推广,但对于非负有界函数的黎曼反常积分,若在上黎曼反常积分存在,则必勒贝格可积,且积分值相等.
⒍就积分的几何意义来看,勒贝格积分将黎曼积分中的曲边梯形面积推广到高一微的测度.
⒎就可积函数范围来看,勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类要广泛的多.
⒏就某些极限过程来看,勒贝格积分比黎曼积分优越,例对黎曼积分,关于积分序列求极限的问题,要求函数序列一致收敛,而在勒贝格积分中只要满足极限函数有界.
总之,黎曼积分与勒贝格积分都在其相应的时期发挥自己独特的作用,在一定意义下,勒贝格积分可以看作是对黎曼积分的推广,它扩大了可积函数类,解决了许多古典数学中不能解决的问题,但勒贝格积分并没有完全否定黎曼积分,而是在黎曼积分的基础上加以“改造”而成.
4.2展望
勒贝格积分是在二十世纪提出的,它建立在勒贝格提出的可列可加测度论的基础上,被称作是变函数论,在此基础上,各种新的分支相继产生,复变函数论向纵深发展形成复分析,三角级数理论发展成为傅立叶积分…由于处理高维空间中曲线曲面及多变量函数的整体性质的需要,使得拓扑学知识和代数工具的大量使用,形成流行上的分析,使微分几何学和偏微分方程等学科相结合,形成当代数学的主流方向.分析学跃上新高度的标志是泛函分析的产生,巴纳赫空间,希尔伯特空间…已被完全掌握,但是无限维上的微积分学还没有诞生,积分理论仍有待进一步发展.
从黎曼积分到勒贝格积分的发展过程,生动说明了数学的发展是永无止境的,虽然勒贝格积分比黎曼积分优越很多,但是随着函数论等各门学科的发展,勒贝格积分也慢慢的暴露出了一定的局限,勒贝格积分也有待进一步发展.
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251
致谢
本文的是在老师的耐心指导下完成的,在此期间,老师的高度责任心和敬业精神深深地影响了我,从她身上我不仅学到了宝贵的知识和经验,而且学到了做科研该有的一种执着精神,使我在学习和生活上受益匪浅.同时在本课题的研究过程中也要特别感谢李同学的热心帮助,在本文即将脱稿之际,我向你们表示衷心的感谢.
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