浙江省杭州市西湖高级中学学年高二数学月考试题Word文件下载.docx
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10.l:
ax+2by﹣4=0被圆x2+y2+4x﹣2y+1=0所截弦长为4,则a2+b2的最小值是( )
A.3B.C.2D.
11.已知可导函数f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x),则当a>0时,f(a)和eaf(0)大小关系为( )
A.f(a)<eaf(0)B.f(a)>eaf(0)
C.f(a)=eaf(0)D.f(a)≤eaf(0)
12.设点P是双曲线﹣=1(a>0,b>0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2是双曲线的两个焦点,且2|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为( )
A.13B.C.D.
13.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,( )
A.若任意选择三门课程,选法总数为种
B.若物理和化学至少选一门,选法总数为种
C.若物理和历史不能同时选,选法总数为﹣种
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为﹣种
14.过抛物线x2=2py(p>0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在直线y=﹣上,则( )
A.使△ABC为直角三角形的点C只有一个B.使△ABC为等腰三角形的点C只有一个C.当△ABC等边时,|AB|=pD.当△ABC等边时,|CF|=p
15.已知△ABC中,AB=4,AC=2,若的最小值为2,则△ABC的面积为( )A.B.C.D.
二.填空题(每题4分,共16分)
16.已知复数z=(3+i)2,其中i为虚数单位,若z•(a+i)是纯虚数(其中a∈R),则a= .
17.设数列{an}是公差为d的等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.数列{an}的前n项和Sn取得最大值时,n= .
18.甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师,在本次期末考试中,三人均被安排在第一考场监考,该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试.按照规定,甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目,且不监考自己任教学科,则不同的监考方案共有 种.
19.已知函数f(x)=ax+ln(x)(a>0),若对任意的x1,,都有,则a的最大值为 .
三.解答题(共5小题)
20.已知函数.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;
(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,且△ABC的面积为,求a,b的值.
21.多面体ABC﹣A1B1C1,AA1∥BB1∥CC1,AA1=4,BB1=2,AB=4,CC1=3,AB⊥BB1,C1在平面ABB1A1上的射影E是线段A1B1的中点.
(1)求证:
平面ABC⊥平面ABB1A1;
(2)若C1E=2,求二面角C1﹣AB1﹣A1的余弦值.
22.已知函数f(x)=x2﹣a|x﹣1|﹣1(a∈R).
(1)若f(x)≥0在x∈R上恒成立,求a的取值范围;
(2)求f(x)在[﹣2,2]上的最大值M(a).
23.已知椭圆C:
=1(a>b>0)过点M(1,),左焦点F(﹣,0).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点N(,0)作一条直线交椭圆C于A,B两点,又过点N作直线AB的垂线交直线x=2于P点,求的最小值.
24.已知函数f(x)=.
(Ⅰ)求证:
对于任意x∈(0,+∞),不等式f(x)>x+1恒成立;
(Ⅱ)设函数g(x)=(ex﹣1)ln(x+1)﹣x2,x∈[0,+∞),求函数g(x)的最小值.
杭西高高二年级2019年5月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
【分析】先解出A={x|﹣1<x<1},根据对数函数的单调性即可解出B={x|x≥0},然后进行交集的运算即可.
【解答】解:
A={x|﹣1<x<1};
由lg(x+1)≥0得,lg(x+1)≥lg1;
∴x+1≥1;
∴x≥0;
∴B={x|x≥0};
∴A∩B=[0,1).
故选:
A.
【点评】考查描述法表示集合的概念,对数函数的单调性,以及交集的运算.
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值,再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值.
根据角α的终边与单位圆交于点,可得x=﹣,y=,r==1,
∴cosα==﹣,则cos2α=2cos2α﹣1=﹣,
D.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.
【分析】根据直线和斜率和倾斜角的关系即可求出.
直线的倾斜角为θ,
则tanθ=,
∴θ=60°
,
【点评】本题考查了直线和斜率和倾斜角的关系,属于基础题
【分析】利用共线向量的条件,推出比例关系求出x,y的值.
∵=(2x,1,3)与=(1,﹣2y,9)共线,
故有==.
∴x=,y=﹣.
C.
【点评】本题考查共线向量的知识,考查学生计算能力,是基础题.
【分析】由三视图可知该几何体为平放的三棱柱,其中以左视图为底,然后根据三棱柱的表面积公式进行求解即可.
由三视图可知该几何体为平放的三棱柱,其中以左视图为底,
三棱柱的高为2cm,直角三角形的两个直角边长度分别为1cm和1cm,
∴三棱柱的侧面积为(1+1+)×
,底面积为,
∴三棱柱的表面积为1+4+2.
【点评】本题主要考查三视图的识别和应用,以及三棱柱的表面积公式,比较基础.
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
【分析】当c=0时,a<b⇏ac2<bc2;
当ac2>bc2时,说明c≠0,有c2>0,得ac2<bc2⇒a<b.显然左边不一定推导出右边,但右边可以推出左边.
必要不充分条件
当c=0时,a<b⇏ac2<bc2;
当ac2>bc2时,说明c≠0,
有c2>0,得ac2<bc2⇒a<b.
显然左边不一定推导出右边,但右边可以推出左边,
B.
【点评】本题考查了充分必要条件的判断,本题解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系,本题是一个基础题.
【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线y=2x结合图象可得结论.
作出条件实数x,y满足
所对应的可行域(如图△ABCD),
由,解得B(,),
变形目标函数可得y=2x+z,平移直线y=2x可知:
当直线经过点B(,)时,直线的截距最大,
此时目标函数z取最大值z=﹣2×
=,
【点评】本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.
【分析】在A中,l与α相交或l⊂α;
在B中,由线面垂直的判定定理和性质定理得m⊥n;
在C中,α与β相交或平行;
在D中,m与α相交、平行或l⊂α.
由l,m,n是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,知:
在A中,若l⊥m,l⊥n,m⊂α且n⊂α,则l与α相交或l⊂α,故A错误;
在B中,若α∥β,l⊥α,m∥l且n⊂β,
则由线面垂直的判定定理和性质定理得m⊥n,故B正确;
在C中,若m∥β,n∥β,m⊂α且n⊂α,则α与β相交或平行,故C错误;
在D中,若α⊥β,α∩β=l,m⊥l,则m与α相交、平行或l⊂α,故D错误.
【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
A.B.
C.D.
【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f(x)的图象可能
由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,
则由导函数y=f′(x)的图象可知:
f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,
且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,
【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题.
【分析】根据题意,由圆的方程分析圆心坐标以及半径,进而可得直线l经过圆心(﹣2,1),则有﹣2a+2b﹣4=0,即b=a+2,据此可得a2+b2=a2+(a+2)2=2(a+1)2+2,结合二次函数的性质分析可得答案.
根据题意,圆x2+y2+4x﹣2y+1=0即(x+2)2+(y﹣1)2=4,
圆心为(﹣2,1),半径r=2;
若l:
ax+2by﹣4=0被圆x2+y2+4x﹣2y+1=0所截弦长为4,则直线l经过圆心(﹣2,1),
则有﹣2a+2b﹣4=0,即b=a+2,
则a2+b2=a2+(a+2)2=2(a+1)2+2≥2,
即a2+b2的最小值是2;
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用,注意分析直线经过圆心,属于基础题.
【分析】设函数f(x)=e2x,则导函数f′(x)=2•e2x,显然满足f'
(x)>f(x),由f(a)=e2a,eaf(0)=ea,比较得出结论.
由题意知,可设函数f(x)=e2x,
则导函数f′(x)=2•e2x,显然满足f'
(x)>f(x),
f(a)=e2a,eaf(0)=ea,当a>0时,显然e2a>ea,即f(a)>eaf(0),
【点评】本题考查求复合函数的导数的方法,以及指数函数的单调性,利用构造法求解是我们选择题常用的方法.
【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长,再由已知圆的半径为半焦距,知焦点三角形为直角三角形,从而由勾股定理得关于a、c的等式,求得离心率.
依据双曲线的定义:
|PF1|﹣|PF2|=2a,又∵2PF1|=3|PF2|,
∴|PF1|=6a,|PF2|=4a,
∵圆x2+y2=a2+b2的半径r==c,
∴F1F2是圆的直径,
∴∠F1PF2=90°
在直角三角形F1PF2中
由36a2+16a2=(2c)2,得e==
【点评】本题考查了双曲线的定义,双曲线的几何性质,离心率的求法.
【分析】A.若任意选择三门课程,由组合的概念可知选法总数为种,可判断A错误;
B.若物理和化学至少选一门,由分步乘法计数原理知选法总数为+种,可判断B错误;
C.若物理和历史不能同时选,利用间接法可知选法总数为﹣种,可判断C正确;
D.若物理和化学至少选一门,有3种情况,分别讨论计算,可判断D错误.
对于A.若任意选择三门课程,选法总数为种,故A错误;
对于B.若物理和化学选一门,有种方法,其余两门从剩余的5门中选2门,有种选法,
若物理和化学选两门,有种选法,剩下一门从剩余的5门中选1门,有种选法
由分步乘法计数原理知,总数为++种选法,故B错误;
对于C.若物理和历史不能同时选,选法总数为﹣•=﹣种;
对于D.若物理和化学至少选一门,有3种情况,①只选物理有且物理和历史不同时选,有•种选法;
②选化学,不选物理,有•种选法;
③物理与化学都选,有•种选法,
故总数为•+•+•=6+10+4=20种,故D错误.
【点评】本题考查排列、组合及其简单的计数问题,考查分析运算能力,属于中档题.
A.使△ABC为直角三角形的点C只有一个
B.使△ABC为等腰三角形的点C只有一个
C.当△ABC等边时,|AB|=p
D.当△ABC等边时,|CF|=p
【分析】由题意画出图形,分析A,B错误;
当△ABC等边时,由图可知AB所在直线存在且不为0,设AB:
y=,联立直线方程与抛物线方程,化为关于x的一元二次方程,利用弦长公式求|AB|,求出C的坐标,再由点到直线的距离公式求C到AB的距离,利用等边三角形边与高的关系求得k,进一步求得|AB|,|CF|,则答案可求.
如图,
当过F的直线与y轴垂直时,分别过A,B作直线y=﹣的垂线,垂直为C,则△ABC为直角三角形,故A错误;
分别以A,B为圆心,以2p为半径作圆,与直线y=﹣交于C,可得四个等腰三角形,故B错误;
y=,
联立,可得x2﹣2kpx﹣p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2kp,,
∴AB的中点坐标为(kp,),
∴AB的垂直平分线方程为y﹣=,取y=﹣,可得x=2kp+k3p.
∴C(2kp+k3p,),
|AB|=,C到直线AB的距离d=.
由题意可得:
|AB|=,即,即k2=2.
∴|AB|=6P,|CF|=.
【点评】本题考查直线与抛物线的综合,考查计算能力,是中档题.
15.已知△ABC中,AB=4,AC=2,若的最小值为2,则△ABC的面积为( )
【分析】△ABC中,AB=4,AC=2,==4=f(λ).当cosA=0时,f(λ)=4,舍去.当cosA≠0时,f(λ)=4≥4=2,解得A=.由此能求出△ABC的面积.
∵△ABC中,AB=4,AC=2,
∴==4=f(λ).
当cosA=0时,f(λ)=4,舍去.
当cosA≠0时,f(λ)=4≥4,
∵的最小值为2,∴4=2,
∴cosA=﹣,解得A=.
∴△ABC的面积S==2.
【点评】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积运算性质、二次函数的单调性、分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
二.填空题(共4小题)
16.已知复数z=(3+i)2,其中i为虚数单位,若z•(a+i)是纯虚数(其中a∈R),则a= .
【分析】利用复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义即可得出.
复数z=(3+i)2=8+6i,
若z•(a+i)=(8+6i)(a+i)=8a﹣6+(6a+8)i是纯虚数(其中a∈R),
则8a﹣6=0,且6a+8≠0,
解得a=.
故答案为:
10,.
【点评】本题考查了复数的运算法则、摸的计算公式、纯虚数的定义,考查了推理能力、计算能力,属于基础题.
17.设数列{an}是公差为d的等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.数列{an}的前n项和Sn取得最大值时,n= 20 .
【分析】a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.可得3a1+6d=105,3a1+9d=99,解出可得an.令an≥0,解得n即可得出.
∵a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.
∴3a1+6d=105,3a1+9d=99,
解得a1=39,d=﹣2,
则an=39﹣2(n﹣1)=41﹣2n;
令an≥0,解得n=20+.
∴数列{an}的前n项和Sn取得最大值时,n=20.
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师,在本次期末考试中,三人均被安排在第一考场监考,该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6门科目考试.按照规定,甲、乙、丙3位老师每人监考2门科目,且不监考自己任教学科,则不同的监考方案共有 36 种.
【分析】由题意需要分四类,根据分类计数原理可得.
若甲监考数学和英语,则乙、丙从剩下的4门中任选2门即可,故有C42A22=12种,
若甲监考数学和不监考英语,则甲再从物理、化学、生物选1门,丙从剩下的3门(包含语文不含英语)选2门,剩下的2门乙监考,故有C31C32=9种;
若甲不监考数学和监考英语,则甲再从物理、化学、生物选1门,乙从剩下的3门(包含语文不含数学)选2门,剩下的2门丙监考,故有C31C32=9种;
若甲不监考数学也不监考英语,则甲从物理、化学、生物选2门,乙一定需要监考英语,在剩下的2门(包含语文不含数学)选1门,剩下的2门丙监考,故有C32C21=6种,
根据分类计数原理,共有12+9+9+6=36种,
36.
【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,考查了转化能力,属于中档题.
19.已知函数f(x)=ax+ln(x)(a>0),若对任意的x1,,都有,则a的最大值为 .
【分析】不妨设x1>x2,原不等式转化为f(x1)+≤f(x2)+恒成立,令g(x)=f(x)+,g(x)在[,]上应时减函数,根据导数和函数单调性的关系即可求出.
∵f(x)=ax+lnx,a>0
∴函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∵x1,,不妨设x1>x2,
∴f(x1)>f(x2).
∵,对任意的x1,恒成立
∴f(x1)﹣f(x2)≤2(﹣),
即f(x1)+≤f(x2)+恒成立.
令g(x)=f(x)+,x∈[,],
则g(x)在[,]上应时减函数,
∴g′(x)=a+﹣≤0对x∈[,]恒成立.
即a≤﹣对x∈[,]恒成立,
由y=﹣在[,]为减函数,
∴ymin=,
∴a≤,
故a的最大值为.
.
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,训练了构造函数求变量的取值范围,属于难题.
【分析】
(Ⅰ)利用倍角公式降幂,再由辅助角公式化积,则函数周期可求,再由复合函数的单调性求函数的单调增区间;
(Ⅱ)由求得角C,结合已知三角形面积,由正弦定理及余弦定理列方程组求解a,b的值.
(Ⅰ)∵
∴f(x)的最小正周期T=π;
由,
得,k∈Z.
∴函数f(x)的增区间为;
(Ⅱ)由,得,∴,
∵0<C<π,∴,则,即,
由,得ab=2,①
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,∴=a2+b2﹣ab,②
由①②解得或.
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用,考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质,考查三角形的解法,是中档题.
(Ⅰ)过E作EO∥A1A交AB于O,连接CO,证明四边形OEC1C是平行四边形,推出C1E⊥面ABB1A1,得到CO⊥面ABB1A1,然后证明面ABC⊥面ABB1A1;
(Ⅱ)以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,求出面AB1C1的法向量,底面A1B1BA的法向量,利用空间向量的数量积求解即可.
【解答】
(本小题满分12分)
解:
(Ⅰ)证明:
过E作EO∥A1A交AB于O,连接CO,
由梯形的中位线知:
∴OE=CC1,又OE∥CC1,
故四边形OEC1C是平行四边形,
∴C1E⊥面ABB1A1,则CO⊥面ABB1A1,
又CO在面ABC内,
∴面ABC⊥面ABB1A1;
(Ⅱ)如图以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,CO=C1