浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题.docx
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浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
一．选择题（共7小题）
1．
=（ ）
A．1B．
C．2
D．
2．已知xm=a，xn=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（ ）
A．3a﹣2bB．a3﹣b2C．a3b2D．
3．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2
C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2
4．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（ ）
A．p=0，q=0B．p=﹣3，q=﹣1C．p=3，q=1D．p=﹣3，q=1
5．已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（ ）
A．6B．4C．2D．0
6．设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则
的值等于（ ）
A．3B．
C．
D．2
7．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）
A．52013﹣1B．52013+1C．
D．
二．填空题（共5小题）
8．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 ．
9．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 张，3号卡片 张．
10．4个数a，b，c，d排列成
，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：
=ad﹣bc．若
=12，则x= ．
11．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为 ．
12．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为 ．
三．解答题（共3小题）
13．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．
（1）若p+q=4，求p﹣q的值；
（2）当q2=22n+
﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+
）的大小，并说明理由．
14．归纳与猜想：
（1）计算：
①（x﹣1）（x+1）= ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= ；
（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= （n为整数）；
（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= ；
（5）根据猜想的规律，计算：
226+225+…+2+1．
15．杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
（a+b）0=1
（a+b）1=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是 ；
（2）利用上述规律直接写出27= ；
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 的积．
（4）由此你可以写出115= ．
（5）由第 行可写出118= ．
浙教版七年级数学下册第三单元《整式乘除》
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2012秋•南陵县期末）
=（ ）
A．1B．
C．2
D．
【分析】根据xa•ya=（xy）a，进行运算即可．
【解答】解：
原式=（
×
）2004×
=
．
故选B．
【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，注意式子：
xa•ya=（xy）a的运用．
2．（2001•乌鲁木齐）已知xm=a，xn=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（ ）
A．3a﹣2bB．a3﹣b2C．a3b2D．
【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆运算计算即可．
【解答】解：
∵xm=a，xn=b（x≠0），
∴x3m﹣2n=x3m÷x2n=
．
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键．
3．（2016春•苏州期中）根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（ ）
A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2
C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2
【分析】大长方形的长为3a+2b，宽为a+b，表示出面积；也可以由三个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，以及5个长为b，宽为a的长方形面积之和表示，即可得到正确的选项．
【解答】解：
根据图形得：
（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2．
故选：
D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．
4．（2016秋•简阳市期中）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（ ）
A．p=0，q=0B．p=﹣3，q=﹣1C．p=3，q=1D．p=﹣3，q=1
【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出．
【解答】解：
（x2+px+8）（x2﹣3x+q），
=x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q，
∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，
∴
解得：
．
故选：
C．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．
5．（2015春•房山区期末）已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（ ）
A．6B．4C．2D．0
【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
【解答】解：
4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣（b2+4b+4）+4=（2a）2﹣（b+2）2+4
=[2a+（b+2）][2a﹣（b+2）]+4
=（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4
当2a﹣b=2时，原式=0+4=4，
故选：
B．
【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．
6．（2012•宁波模拟）设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则
的值等于（ ）
A．3B．
C．
D．2
【分析】已知等式变形后利用完全平方公式化简得到关系式，代入所求式子计算即可得到结果．
【解答】解：
m2+n2=4mn变形得：
（m﹣n）2=2mn，（m+n）2=6mn，
∵0＜n＜m，
∴m﹣n＞0，m+n＞0，
∴m﹣n=
，m+n=
，
∴原式=
=
=2
．
故选D．
【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．（2014•金水区校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）
A．52013﹣1B．52013+1C．
D．
【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．
【解答】解：
令S=1+5+52+53+…+52012，
则5S=5+52+53+…+52012+52013，
5S﹣S=﹣1+52013，
4S=52013﹣1，
则S=
．
故选D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2012•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 11 ．
【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：
∵x2+3x+2
=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2=3，
∴a=5，
∵b﹣a+1=2，
∴b﹣5+1=2，
∴b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：
11．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．
9．（2012•杭州模拟）有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张．
【分析】
（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．
【解答】解：
（1）如图所示：
故答案为：
a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；
（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2，
需用2号卡片3张，3号卡片7张．
故答案为：
a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；3；7．
【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．
10．（2015•崇左）4个数a，b，c，d排列成
，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：
=ad﹣bc．若
=12，则x= 1 ．
【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．
【解答】解：
利用题中新定义得：
（x+3）2﹣（x﹣3）2=12，
整理得：
12x=12，
解得：
x=1．
故答案为：
1．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11．（2014春•苏州期末）若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为 y=4（x+1）2+1 ．
【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可
【解答】解：
∵4m+1=22m×4=（2m）2×4，x=2m﹣1，
∴2m=x+1，
∵y=1+4m+1，
∴y=4（x+1）2+1，
故答案为：
y=4（x+1）2+1．
【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．
12．（2015•雅安）若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为 510 ．
【分析】通过m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510从而得到1的个数，由m1+m2+…+m2015=1525得到2的个数．
【解答】解：
∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，
∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510=505，
∵m1+m2+…+m2015=1525，
∴2的个数为（1525﹣505）÷2=510个．
故答案为：
510．
【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律．利用规律解决问题．
三．解答题（共3小题）
13．（2015秋•厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．
（1）若p+q=4，求p﹣q的值；
（2）当q2=22n+
﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+
）的大小，并说明理由．
【分析】
（1）根据已知条件可得a3=2，代入可求p﹣q的值；
（2）根据作差法得到p﹣（a3+
）=2﹣n﹣
，分三种情况：
当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．
【解答】解：
（1）∵a3+a﹣3=p①，a3﹣a﹣3=q②，
∴①+②得，2a3=p+q=4，
∴a3=2；
①﹣②得，p﹣q=2a﹣3=
=1．
（2）∵q2=22n+
﹣2（n≥1，且n是整数），
∴q2=（2n﹣2﹣n）2，
∴q2=22n+2﹣2n，
又由
（1）中①+②得2a3=p+q，a3=
（p+q），
①﹣②得2a﹣3=p﹣q，a﹣3=
（p﹣q），
∴p2﹣q2=4，
p2=q2+4=（2n+2﹣n）2，
∴p=2n+2﹣n，
∴a3+a﹣3=2n+2﹣n③，
a3﹣a﹣3=2n﹣2﹣n④，
∴③+④得2a3=2×2n，
∴a3=2n，
∴p﹣（a3+
）=2n+2﹣n﹣2n﹣
=2﹣n﹣
，
当n=1时，p＞a3+
；
当n=2时，p=a3+
；
当n≥3时，p＜a3+
．
【点评】考查了负整数指数幂：
a﹣p=
（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
14．归纳与猜想：
（1）计算：
①（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ；
②（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ；
（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．
①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x7﹣1 ；
②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x10﹣1 ；
（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）= xn﹣1 （n为整数）；
（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m= x14+x13+x12+…+x2+x+1 ；
（5）根据猜想的规律，计算：
226+225+…+2+1．
【分析】
（1）运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可；
（2）根据
（1）中的计算结果的变换规律进行判断即可；
（3）根据
（1）
（2）中的计算结果总结变换规律即可；
（4）根据（3）中的规律，直接求得m的表达式即可；
（5）根据（3）中的规律列出等式进行变形，求得226+225+…+2+1的值．
【解答】解：
（1）①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣1=x4﹣1；
（2）①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；
②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10﹣1；
（3）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+…+x2+x+1）=xn﹣1（n为整数）；
（4）∵（x﹣1）•m=x15﹣1，
∴m=x14+x13+x12+…+x2+x+1；
（5）∵（2﹣1）（226+225+224+…+22+2+1）=227﹣1，
∴226+225+…+2+1=227﹣1．
【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．计算时按一定的顺序进行，必须做到不重不漏．
15．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
（a+b）0=1
（a+b）1=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是 15 ；
（2）利用上述规律直接写出27= 128 ；
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 11 的积．
（4）由此你可以写出115= 161051 ．
（5）由第 9 行可写出118= 214358881 ．
【分析】观察图表寻找规律：
三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
【解答】解：
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15；
（2）利用上述规律直接写出27=128；
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．
（4）由此你可以写出115=161051．
（5）由第9行可写出118=214358881．
故答案为：
15，128，11，161051，9，214358881．
【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
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