八年级上册整式乘除数学组卷.docx

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八年级上册整式乘除数学组卷

八年级下册整式乘除数学组卷

一．解答题（共30小题）

1．如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．

2．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=　　．

3．已知4x2﹣100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．

4．已知多项式4x2+4kx+1恰好是另一个多项式的完全平方，求k的值．

5．已知

，求值：

（1）

（2）

．

6．观察下列等式：

1×32×5+4=72=（12+4×1+2）2

2×42×6+4=142=（22+4×2+2）2

3×52×7+4=232=（32+4×3+2）2

4×62×8+4=342=（42+4×4+2）2

…

（1）根据你发现的规律，12×142×16+4是哪一个正整数的平方；

（2）请把n（n+2）2（n+4）+4写成一个整数的平方的形式．

7．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）

8．多项式x2+x4加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，写出所有可以加上的单项式．

9．已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某一个多项式的平方，求M的表达式．

10．若多项式

是一个完全平方式，求k值是多少？

11．若x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．

12．下列多项式能写成一个整式平方的形式吗？

若不能，请说明理由．

（1）4x2+4x﹣1；

（2）1﹣4x﹣4x2；

（3）﹣4x+4x2+1；

（4）x2+x+1；

（5）﹣x+x2﹣

；

（6）x2+

y2﹣xy．

13．已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．

14．已知：

|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2=0，求a2﹣b2的值．

15．已知x+y=4，xy=2，求x2+y2+3xy的值．

16．已知a2+ab=3，ab+b2=1，试求a2+2ab+b2，a2﹣b2的值．

17．分解因式：

x2﹣120x+3456

分析：

由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：

x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456

=（x﹣60）2﹣144

=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）

=（x﹣48）（x﹣72）

请按照上面的方法分解因式：

x2+86x﹣651．

18．1002﹣992+982﹣972+962﹣952+…+22﹣12．

19．分解因式：

x2﹣2xy+y2﹣9

20．分解因式：

a2﹣b2﹣2a+1

21．求证：

当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．

22．利用分解因式证明：

257﹣512能被120整除．

23．求证：

817﹣279﹣913能被45整除．

24．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．

解：

y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，

∴y2+4y+8的最小值为4．

仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．

25．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．

26．已知a，b，c是△ABC的三条边长，当a2+c2+2b（b﹣a﹣c）=0时，试判断△ABC的形状．

27．先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴（m+n）2+（n﹣3）2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

28．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42．因此4、12、20都是“神秘数”．

（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？

为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？

为什么？

29．已知a、b、c是△ABC的三边且满足a2﹣b2+ac﹣bc=0，请判断△ABC的形状．

30．已知m2+m﹣1=0，求m3+2m2﹣2005的值．

2016年12月22日540660070的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2012秋•闸北区校级期中）如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．

【解答】解：

∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，

∴（m+1）xy=±2•6x•5y，

∴m+1=±60，

∴m=59或﹣61．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

2．（2012春•都江堰市校级期中）如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=　4或﹣2　．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．

【解答】解：

∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，

∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，

∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，

解得k=4或k=﹣2．

即k=4或﹣2．

故答案为：

4或﹣2．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

3．已知4x2﹣100x+m是完全平方式，求m的值并说明理由．

【分析】根据完全平方式的求法：

一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”计算即可．

【解答】解：

m=25．理由如下：

∵4x2﹣100x+m是完全平方式，

∴100x=2×2x×

，

解得m=625．

【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．

4．已知多项式4x2+4kx+1恰好是另一个多项式的完全平方，求k的值．

【分析】根据完全平方式得出4kx=±2•2x•1，求出即可．

【解答】解：

∵多项式4x2+4kx+1恰好是另一个多项式的完全平方，

∴4kx=±2•2x•1，

解得：

k=±1．

【点评】本题考查了完全平方式的应用，解此题的关键是能求出符合条件的所有情况，注意：

完全平方式有两个：

a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．

5．（2011秋•万州区校级期中）已知

，求值：

（1）

（2）

．

【分析】

（1）利用完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2解答；

（2）利用

（2）的结果和完全平方差公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2解答．

【解答】解：

（1）∵x+

﹣3=0，

∴x+

=3，

∴

=（x+

）2﹣2=9﹣2=7，

即

=7；

（2）由

（1）知，

=7，

∴（x﹣

）2=

﹣2=7﹣2=5，

∴x﹣

=±

．

【点评】此题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．

6．（2008春•莱阳市期末）观察下列等式：

1×32×5+4=72=（12+4×1+2）2

2×42×6+4=142=（22+4×2+2）2

3×52×7+4=232=（32+4×3+2）2

4×62×8+4=342=（42+4×4+2）2

…

（1）根据你发现的规律，12×142×16+4是哪一个正整数的平方；

（2）请把n（n+2）2（n+4）+4写成一个整数的平方的形式．

【分析】

（1）通过观察可知，12×142×16+4是正整数[122+4×12+2]的平方；

（2）把题目中的式子用含n的形式分别表示出来，从而寻得规律．

【解答】解：

（1）由题意，可得12×142×16+4=（122+4×12+2）2=1942；

（2）n（n+2）2（n+4）+4=（n2+4n+2）2．

【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．通过观察，分析、归纳，发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．

7．（2015•杭州模拟）一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）

【分析】先化简原式，得到9x2﹣20x+4，由于一个单项式加上多项式9（x﹣1）2﹣2x﹣5后等于一个整式的平方，故这个单项式可能是常数项，可能是一次项，可能是二次项，分三种情况讨论即可．

【解答】解：

①加5，则x2﹣6x+4+5=（x﹣3）2；

②加10x，则x2﹣6x+4+10x=（x+2）2；

③加2x，则x2﹣6x+4+2x=（x﹣2）2．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

8．多项式x2+x4加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，写出所有可以加上的单项式．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．

【解答】解：

多项式x2+x4加上一个单项式后，使它能成为一个整式的平方，

所有可以加上的单项式为﹣2x3，2x3，﹣x4，﹣x2．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

9．已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某一个多项式的平方，求M的表达式．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定M的值．

【解答】解：

∵4x2+M+1=（2x）2+M+12，

∴M=±2•2x•1=±4x．

若M+4x2+1是多项式的平方，

则M=4x4．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

10．若多项式

是一个完全平方式，求k值是多少？

【分析】根据a2+2ab+b2是完全平方式，求出第二个数，即可得出答案．

【解答】解：

∵多项式

是一个完全平方式，

∴

，

∴

．

【点评】本题考查了对完全平方式的应用，注意：

完全平方式有a2+2ab+b2．

11．若x2+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．

【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，这里首末两项是x和5的平方，那么中间项为加上或减去x和5的乘积的2倍．

【解答】解：

∵x2+2（a+4）x+25是完全平方式，

∴2（a+4）=±2×5，

解得a=1或a=﹣9．

故a的值是1或﹣9．

【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．

12．下列多项式能写成一个整式平方的形式吗？

若不能，请说明理由．

（1）4x2+4x﹣1；

（2）1﹣4x﹣4x2；

（3）﹣4x+4x2+1；

（4）x2+x+1；

（5）﹣x+x2﹣

；

（6）x2+

y2﹣xy．

【分析】

（1）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；

（2）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；

（3）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；

（4）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；

（5）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可；

（6）完全平方公式有两个a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，根据公式，看看符合不符合即可．

【解答】解：

（1）不能写成一个整式的平方的形式，因为4x2+4x+1=（2x+1）2，而4x2+4x﹣1不能；

（2）不能写成一个整式的平方的形式，因为1﹣4x+4x2=（1﹣2x）2，而1﹣4x﹣4x2不能；

（3）能写成一个整式的平方的形式，是（1﹣2x）2；

（4）不能写成一个整式的平方的形式，x2+2x+1=（x+1）2，而x2+x+1不能；

（5）不能写成一个整式的平方的形式，﹣x+x2+

=（x﹣

）2，而﹣x+x2﹣

不能；

（6）能写成一个整式的平方的形式，是（x﹣

y）2．

【点评】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：

完全平方公式有两个：

a2+2ab+b2=（a+b）2，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．

13．（2016春•澧县期末）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求x2﹣6xy+9y2的值．

【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．

【解答】解：

∵x2+y2﹣4x+6y+13=（x﹣2）2+（y+3）2=0，

∴x﹣2=0，y+3=0，即x=2，y=﹣3，

则原式=（x﹣3y）2=112=121．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．

14．（2015秋•资阳校级月考）已知：

|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2=0，求a2﹣b2的值．

【分析】首先根据绝对值得性质以及偶次方的性质得出a+b，a﹣b的值，进而将原式因式分解求出即可．

【解答】解：

∵|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2=0，

∴

，

∴a﹣b=3，a+b=2，

a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×3=6．

【点评】此题主要考查了利用平方差公式因式分解求值以及绝对值得性质以及偶次方的性质，熟练掌握平方差公式是解题关键．

15．已知x+y=4，xy=2，求x2+y2+3xy的值．

【分析】首先将原式配方得到原式=（x+y）2+xy，进而求出即可．

【解答】解：

∵x+y=4，xy=2，

∴x2+y2+3xy，

=（x+y）2+xy，

=42+2，

=18．

【点评】此题主要考查了配方法的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．

16．（2014•咸阳模拟）已知a2+ab=3，ab+b2=1，试求a2+2ab+b2，a2﹣b2的值．

【分析】a2+ab，ab+b2，二者相加即可得出a2+2ab+b2，想减即可得出a2﹣b2再代入数值进行计算．

【解答】解：

∵a2+ab=3，ab+b2=1

∴a2+2ab+b2=a2+ab+ab+b2=3+1=4；

a2﹣b2=a2+ab﹣（ab+b2）=3﹣1=2．

【点评】本题考查了代数式求值，关键在于整体思想的应用．

17．（2015春•开封校级期中）分解因式：

x2﹣120x+3456

分析：

由于常数项数值较大，则采用x2﹣120x变为差的平方形式进行分解：

x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+3600﹣3600+3456

=（x﹣60）2﹣144

=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）

=（x﹣48）（x﹣72）

请按照上面的方法分解因式：

x2+86x﹣651．

【分析】按照原题解题方法，进而借助完全平方公式以及平方差公式分解因式得出即可．

【解答】解：

x2+86x﹣651

=（x+43）2﹣2500

=（x+43+50）（x+43﹣50）

=（x+93）（x﹣7）．

【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，熟练利用平方差和完全平方公式是解题关键．

18．1002﹣992+982﹣972+962﹣952+…+22﹣12．

【分析】首先数字分组，从第一个数起两两为一组，一正一负，进一步利用平方差公式分解，化为100+98+96+…+4+2，进一步计算求得结果即可．

【解答】解：

1002﹣992+982﹣972+962﹣952+…+22﹣12

=（1002﹣992）+（982﹣972）+（962﹣952）+…+（22﹣12）

=（100+99）（100﹣99）+…+（2+1）（2﹣1）

=100+99+98+97+96+…+2+1

=（1+100）×100÷2

=5050．

【点评】此题考查利用平方差公式因式分解，把连续整数的平方和与差，转化为连续偶数的和解决问题．

19．（2003•北京）分解因式：

x2﹣2xy+y2﹣9

【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．将a2﹣2ab+b2作为一组，先用完全平方公式，再用平方差公式解答．

【解答】解：

x2﹣2xy+y2﹣9，

=x2﹣2xy+y2﹣9，

=（x2﹣2xy+y2）﹣9，

=（x﹣y）2﹣32，

=（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项完全符合完全平方公式，应考虑前三项为一组．

20．（2005•丰台区）分解因式：

a2﹣b2﹣2a+1

【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组．

【解答】解：

a2﹣b2﹣2a+1，

=（a2﹣2a+1）﹣b2，

=（a﹣1）2﹣b2，

=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．

【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有a的二次项，a的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．

21．求证：

当n为整数时，多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．

【分析】原式利用平方差公式变形，即可做出判断．

【解答】证明：

原式=（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）=2•4n=8n，

∵n为整数，

∴8n被8整除，即多项式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定能被8整除．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

22．（2015春•禅城区校级期末）利用分解因式证明：

257﹣512能被120整除．

【分析】25=52，进而把257整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．

【解答】证明：

257﹣512=（52）7﹣512

=514﹣512

=512×（52﹣1）

=512×24

=511×5×24

=511×120，

∴257﹣512能被120整除．

【点评】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．

23．（2014春•吉州区校级期中）求证：

817﹣279﹣913能被45整除．

【分析】观察817、279、913这三个数，都可以写成底数为3的数：

328、327、326，提取公因式326，整理求证．

【解答】证明：

原式=914﹣99×39﹣913

=328﹣327﹣326

=326（32﹣3﹣1）

=326×5

=324×32×5

=45×324．

所以能被45整除．

【点评】本题是因式分解在学科内的综合运用，难点是整理为底数为3的幂的形式，主要考查了提取公因式法．

24．（2016秋•东宝区校级期中）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．

解：

y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，

∴y2+4y+8的最小值为4．

仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．

【分析】

（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；

（2）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值．

【解答】解：

（1）m2+m+4=（m+

）2+

，

∵（m+

）2≥0，

∴（m+

）2+

≥

．

则m2+m+4的最小值是

；

（2）4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，

∵﹣（x﹣1）2≤0，

∴﹣（x﹣1）2+5≤5，

则4﹣x2+2x的最大值为5．

【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

25．（2016秋•简阳市期中）已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，试判断此三角形的形状．

【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．

【解答】解：

∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0

∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0

（a﹣b）2+（b﹣c）2=0

∴a﹣b=0且b﹣c=0

即a=b=c，故该三角形是等边三角形．

【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，从而判断出该三角形的形状．

26．（2016秋•环翠区期中）已知a，b，c是△ABC的三条边长，当a2+c2+2b（b﹣a﹣c）=0时，试判断△ABC的形状．

【分析】将等式的左边整理，进一步利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质解答即可．

【解答】解：

∵a2+c2+2b（b﹣a﹣c）=0，

∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2=0

配方得：

（a﹣b）2+（b﹣c）2=0

∴a=b=c，

∴△ABC为等边三角形．

【点评】此题考查因式分解的运用，解题的关键是对原式正确的配方．

27．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：

若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．

解：

∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0

∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0

∴（m+n）2+（n﹣3）2=0

∴m+n=0，n﹣3=0

∴m=﹣3，n=3

问题：

（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．

（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？

【分析】

（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；

（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．

【解答】解：

（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0

∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，

∴（x﹣y）2+（y+2）2=0

∴x=y=﹣2

∴

；

（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，

∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，

∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0

∴a=b=c=3

∴三角形ABC是等边三角形．

【点评】此题考查了配方法的应用：

通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．

28．