人教版八年级数学竞赛题.docx
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人教版八年级数学竞赛题
八年级数学竞赛题
班级:
姓名:
•选择题（共8小题，每题3分，共24分）
A.x為
B.x<3
1■式的是（
）
C.
x>3
D.
xv3
2.下
、列式子中，属于取简二次根
A.
B•-
C.
D.
1
3•下
、列运算止确的是（
）
236
222
）
x?
x=x
=a+b
1若式子一：
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
A.5
B.6
C.7
D.8
5.下列选项中，
不能用来证明勾股定理的是（
）
B•
D•
5=—
5
4.如图，/AOC=/BOC，点P在0C上,PD丄OA于点D,PE丄OB于点E.若0D=8,
OP=10，贝UPE的长为（）
D
A•
C•
I）
6.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，贝UDG的长为（）
L>
A•.:
;-
7•如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形•甲、乙两人的作法如下：
甲：
连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N，连接AN,CM，则四边形ANCM是菱形.
乙：
分别作/A，/B的平分线AE,BF，分别交BC,
根据两人的作法可判断
A甲正确，乙错误C甲、乙均正确&如图，在矩形纸片
AD于E,F，连接EF,则四边形ABEF是菱形.
（）
B乙正确，甲错误
D甲、乙均错误
ABCD中，AB=8,AD=4，把
D
矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，其中AE交DC于P.有下面四种说法：
①AP=5;②△
③△APD也△CPE;④四边形ACED为等腰梯形，且它的面积为
A.1个
A.1个B2个
二•填空题（共6小题，每题4分，共24分）
9•请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式
APC是等边三角形;
256
C•3个
其中正确的有（
）个厂
D•4个广/
10.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件
成为菱形（只需添加一个即可）
B
第10题
BD
，使ABCD
第12题
第13题
B
2
第11题
中，OC=1,OA=OB，则数轴上点A表示的数是
ABCD内，满足/AEB=90°AE=6,BE=8，则阴影部分的面积是
11.如图，正方形ODBC
12.如图，点E在正方形
13.按如图方式作正方形和等腰直角三角形.若第一个正方形的边长
形的面积和为S1,第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为角形的面积和Sn=.
AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角
S2,…，则第
n个正方形与第n个等腰直角三
14如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线
2
BC上一点，且PC='BC.一只
3
蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是__.
15.如图，在△ABC中，/ABC=90°BD为AC的中线，过点C作CE丄BD于点CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接
三•解答题
16•计算：
（2-二）2012?
（2+二）2013一2」-（■'：
）
E,过点A作BD的平行线，交
第15题
第14题
17.如图，已知：
AB//CD,BE丄AD，垂足为点E,求证：
四边形BECF是平行四边形.
CF丄AD，垂足为点F，并且AE=DF.
18.先化简，再求值：
—
a2-ab
（a+2ab+b：
）.
a
—-—，其中'J：
b="：
fl
ab
19.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E,ZBAC=90°ZCED=45°ZDCE=30°,BE=2匚.求
CD的长和四边形ABCD的面积.
22.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC,DE丄AF，垂足是E,连接DF.
（1）△ABF也△DEA;
求证:
（2）DF是ZEDC的平分线.
D
20.已知点
（1）在函数y=（3m-1）x的图象上,
（1）求m的值，
（2）求这个函数的解析式.
23.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使/DAF=60°连接CF.
（1）如图1,当点D在边BC上时，求证：
①BD=CF;②AC=CF+CD;
（2）如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？
若不成立，请写出AC、
'E
T
参考答案与试题解析
一•选择题（共12小题）
1.（2013?
盐城）若式子丁匚在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A.x為B.x<3C.x>3D.xv3
考点：
二次根式有意义的条件.
分析：
根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.
解答：
解：
根据题意得，x-3为，
解得x绍.
故选A.
点评：
本题考查的知识点为：
二次根式的被开方数是非负数.
2.
（2013?
上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A.B.「C."I
考点：
最简二次根式.
专题：
计算题.
分析：
判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式
分解后再观察.
解答：
解：
A、；i=3,故此选项错误；
B、祈是最简二次根式，故此选项正确；
C、顶=那，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、書生，不是最简二次根式，故此选项错误；
故选：
B.
点评：
本题考查了最简二次根式的定义.在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幕的指数大于或等于2，也不是最简二次根式.
C.（a+b）2=a2+b2D.J="
考点：
二次根式的加减法；同底数幕的乘法；完全平方公式；负整数指数幕.
分析：
根据负整数指数幕、同底数幕的乘法、同类二次根式的合并及完全平方公式，分别进行各选项的判断即可得出答案.
解答：
-1-
解答:
解：
A、51=，原式计算正确，故本选项正确；
5
235
B、x?
x=x，原式计算错误，故本选项错误；
C、（a+b）2=a2+2ab+b2，原式计算错误，故本选项错误；
D、&与^不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，故本选项错误；故选A.
点评：
本题考查了二次根式的加减运算、同底数幕的乘法及完全平方公式，掌握各部分的运算法则是关键.
4.（2012?
梧州）如图，/AOC=/BOC，点P在OC上，PD丄OA于点D,PE丄OB于点E.若OD=8,OP=10,则PE的长为（）
A.5
B.6
C.7
D.8
考点：
角平分线的性质；勾股定理.
分析：
由PD丄OA,OD=8,OP=10，利用勾股定理，
即可求得
PD的长，然后由角平分线的性质，可得
PE=PD.
解答：
解：
•••PD丄OA,
•••/PDO=90°•/OD=8,OP=10,
•PD=&护-0严=，
•••/AOC=/BOC，点P在OC上，PD丄OA,PE丄OB,
•PE=PD=6.
故选B.
点评：
此题考查了角平分线的性质与勾股定理•此题比较简单，注意角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
考点：
勾股定理的证明.
分析：
根据图形的面积得出a,b,c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可.
解答：
解：
A,B,C都可以利用图形面积得出a,b,c的关系，即可证明勾股定理；故A,B,C选项不符合题意;
D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确.
故选：
D.
考点：
平面展开-最短路径问题.
分析：
首先画出圆柱的侧面展开图，根据高BC'=6cm,PC=：
BC，求出PC=:
>6=4cm，在Rt△ACP中，根据勾股
A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（
5cm
3^5d
7cm
A.
33
定理求出AP的长.
解答：
解：
侧面展开图如图所示，
•••圆柱的底面周长为6cm,
/•AC=3cm,
•/pc=2bc
3
PC=—>6=4cm,
3
在Rt△ACP中，
222
AP=AC=+CP,
.AP=$3?
+42=5.
故选B.
点评：
此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图.
7•下列说法正确的有（）
（1）一组对边相等的四边形是矩形；
（2）两条对角线相等的四边形是矩形；
（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形.
A.1B.2C.3D.4
考点：
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定.
专题：
证明题.
分析：
两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形.
解答：
解：
（1）两组对边相等的四边形是平行四边形，故
（1）错误；
（2）两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故
（2）错误；
（3）四条边都相等且对角线相等的四边形是正方形，故（3）错误；
（4）四条边都相等的四边形是菱形，故（4）正确，所以正确的有1个，故选A.
点评：
考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法.
8（2013?
资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足/AEB=90°AE=6,BE=8，则阴影部分的面积是（）
A.48
B.60
C.76
D.80
考点：
勾股定理；正方形的性质.
分析：
由已知得△ABE为直角三角形，
用勾股定理求正方形的边长
AB，用S阴影部分=S正方形ABCD-S^ABE求面积.
解答：
解：
•••/AEB=90°AE=6,BE=8,
222
•••在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,
2'
•-S阴影部分=S正方形ABCD-S^ABE=AB—上>AE>BE
2
=100—丄>6>
2
=76.
故选C.
点评：
本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质•关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式
求解.
9.（2013?
枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E,使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，贝UDG的长为（）
A..■；亠
B.
3_彳5
C.
x/5+l
D.
考点：
正方形的性质；勾股定理.
专题：
压轴题.
分析：
利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DE=DG，所以可以求出DE，进而得到DG的长.解答：
解：
•••四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点，
•DM=丄AD=2dC=1，
22
•CM=亦严+口详徒，
•ME=MC=需，
•/ED=EM-DM=珞-1，
•••四边形EDGF是正方形，
•DG=DE=伍-1.故选D.
点评：
本题考查了正方形的性质和勾股定理的运用，属于基础题目.
10.（2013?
玉林）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形•甲、乙两人的作法如下：
甲：
连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，0，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形.
乙：
分别作/A，/B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断（）
A.甲正确，乙错误
B.乙正确，甲错误
C.甲、乙均正确
D•甲、乙均错误
考点：
菱形的判定.
分析：
首先证明△AOM◎△CON（ASA）,可得
MO=NO,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定判
定四边形ANCM是平行四边形，再由AC丄MN,可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出ANCM是
菱形；四边形ABCD是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF,所以四边形
ABEF是菱形.
解答：
解：
甲的作法正确；
•••四边形ABCD是平行四边形，
•AD//BC,
•/DAC=/ACN,
•/MN是AC的垂直平分线，
•AO=CO,
rZMA0=ZNC0
在厶AOM和厶CON中.
心8,
tZA0M=ZC0N
•••△AOM◎△CON（ASA）,
•••MO=NO,
•四边形ANCM是平行四边形，
•/AC丄MN,
•四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；
/6=/7,
ABC，AE平分/BAD,
/5=/6,
/5=/7,
•/AD//BC,
•••/1=/2,
•/BF平分/
•••/2=/3,
•••/1=/3,
•AB=AF,AB=BE,
•AF=BE
•/AF//BE,且AF=BE,
•四边形ABEF是平行四边形，
•/AB=AF,
•平行四边形ABEF是菱形；
O
C
E
故选：
C.
①菱形定义：
一组邻边相等的平行四边形是
点评：
此题主要考查了菱形形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：
菱形（平行四边形+—组邻边相等=菱形）；
2四条边都相等的四边形是菱形.
3对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）.
11.（2013?
遵义）Pi（，y）P2（x2,y2）是正比例函数y=-丄x图象上的两点，下列判断中，正确的是（）
2
A.yi>y2B.yiy2
考点：
一次函数图象上点的坐标特征.
分析：
\
根据正比例函数图象的性质：
当k<0时，y随x的增大而减小即可求解.
解答：
>
解:
y=-二x,k=-—<0,
22
•y随x的增大而减小.
故选D.
点评：
/
\\
本题考查正比例函数图象的性质：
它是经过原点的一条直线•当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的
增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小.
12.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=8,AD=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，其中AE交DC于P.有下面四种说法：
①AP=5;②△APC是等边三角形；③△APDCPE;④四边形ACED为等腰梯
形，且它的面积为25.6.其中正确的有（）个.
E
B
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
考点：
翻折变换（折叠冋题）.
分析：
分别根据图形翻折变换前后图形对应相等，
以及利用勾股定理全等三角形的判定分别分析即可.
解答：
解：
①•••在矩形纸片ABCD中，AB=8,AD=4，矩形沿直线AC折叠,
•••/BAC=/CAE,
•/CD//AB,
•••/BAC=/DCA,
•••/DCA=/PAC,
•PC=PA,
假设PC=x，则PA=x,
•DP=8-x,
222
…AD+DP=AP,
222
…4+（8-x）=x,
解得：
x=5,
•••①AP=5，故此选项正确；
2•/PC=PA,
•△APC是等腰三角形，故此选项错误；
3•/CE=AD，/EPC=/DPA,
/ADP=/CEP,
•••△APD◎△CPE;故此选项正确；
4作EQ丄AC,
•••可证△EAC◎△DAC,
•两三角形面积相等，
•DE//AC,
•/AD=EC,
•四边形ACED为等腰梯形，
•/PC=5,
•••DP=3AP=5,•••PE=3,
•/EQ>AC=AEXEC,
•EQ=^.,
5
•••△DPEs\CPA,
•更型
•AC帀，
•DE=^H,
5
•梯形面积为：
*xPJ匸），
255
=25.6.
•它的面积为25.6•故此选项正确；
其中正确的有3个.
故选：
C.
E
/
.VB
点评：
此题主要考查了图形的翻折变换，根据等腰三角形的性质以及翻折变换前后对应相等情况是解题关键.
二.填空题（共6小题）
13.（2013?
漳州）如图，正方形ODBC中，0C=1,OA=OB，则数轴上点A表示的数是_-_
BD
1
-2A-101
考点：
勾股定理；实数与数轴.
专题：
压轴题.
分析：
在直角三角形中根据勾股定理求得0B的值，即0A的值，进而求出数轴上点A表示的数
解答：
解：
T0B=—=二，
•OA=OB=近,
•••点A在数轴上原点的左边，
•点A表示的数是-；；•二，
故答案为：
-.
考点：
等腰直角三角形；正方形的性质.
专题：
压轴题；规律型.
分析：
一
观
I]
叽察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的氐，从而发现规律，再根据规律解题即可.
亜倍，分别求得每个正方形的边
2
式求解•找到第n个正方形的边长为（;n-1是解题的关键•
15.（2013?
潍坊）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件OA=OC
使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
解答：
解：
•••第一个正方形的边长为1,
第2个正方形的边长为（
第3个正方形的边长为（
V22丄
1-2-
考点：
I
菱形的判定.
专题：
：
开放型.
分析：
可以添加条件OA=OC，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论.
解答：
f
解:
OA=OC,
■/OB=OD,OA=OC,
•四边形ABCD是平行四边形，
■/AC丄BD,
•••平行四边形ABCD是菱形，故答案为：
OA=OC.
点评：
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理.
16.
则图中阴影部分面积为
（2013?
烟台）如图，正方形ABCD的边长为4,点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA
考点：
正方形的性质；整式的混合运算.
专题：
压轴题.
分析：
设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG,然后根据阴影部分的面积=S扇形abc+S正方形EFGB+SaCEF—Saagf，列式计算即可得解.
解答：
解：
设正方形EFGB的边长为a,贝UCE=4-a,AG=4+a,
阴影部分的面积=S扇形abc+S正方形efgb+Sacef-SaAgf
o
21.1.
=—360~+a+Ea（4-a）-£a（4+a）
2[2c'■2
=4n+a+2aa-2a_—a
22
=4n
故答案为：
4n
点评：
本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，弓I入小正方形的边长这一中间量是解题的关键.
考点：
正比例函数的性质.
分析：
先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过一、三象限确定出k的符号，再写出符合条
件的正比例函数即可.
17.（2013?
钦州）请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式
y=x（答案不唯一）
解答：
解：
设此正比例函数的解析式为y=kx（k用），
•••此正比例函数的图象经过一、三象限，
•k>0,
•符合条件的正比例函数解析式可以为：
y=x（答案不唯一）.
故答案为：
y=x（答案不唯一）.
点评：
本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k旳）中，当k>0时函数的图象经过一、三象限.
18.（2013?
宜宾）如图，在△ABC中，/ABC=90°BD为AC的中线，过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF.若AG=13,CF=6，则四边形BDFG的周长为20.
c
考点：
菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.
专题：
压轴题.
分析：
首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断
四边形BGFD是菱形，设GF=x，贝UAF=13-x,AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值.
解答：
解：
AG//BD,BD=FG,
•••四边形BGFD是平行四边形，
•/CF丄BD,
•CF丄AG,
又•••点D是AC中点，
•BD=DF=?
AC,
2
•四边形BGFD是菱形，
设GF=x，贝UAF=13-x,AC=2x,
222222
在Rt△ACF中，AF+CF=AC，即（13-x）+6=（2x）,
解得：
x=5,
故四边形BDFG的周长=4GF=20.
故答案为：
20.
点评：
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边
形BGFD是菱形.
三.解答题（共9小题）
19.（2013?
济宁）计算：
（2-「；）2012?
（2+2013-2|-*「|-
（二）0
考点：
二次根式的混合运算；零指数幕.
分析：
根据零指数幕、绝对值、整数指数幕、二次根式的混合运算，分别进行计算，再把所得的结果合并即可.
解答：
f
解:
（2-~）2012?
（2+「）2013-2|「八|-（一'迁）0=[（2-「）（2+「）]2012?
（2+「）-「-1
=2+-:
-1
=1.
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