10.解：
对A的元素个数进行分类讨论．
（1）若A＝∅，则B＝{a，b}；
（2）若A＝{a}，则B＝{b}或B＝{a，b}；
若A＝{b}，则B＝{a}或B＝{a，b}；
（3）若A＝{a，b}，则B＝{a}或B＝{b}或B＝{a，b}或B＝∅.
11.解：
由已知可得，B＝{2,3}，C＝{2，－4}，再由A∩B≠∅及A∩C＝∅可知，3∈A，
所以3是方程x2－mx＋m2－19＝0的根，
即9－3m＋m2－19＝0，解得m＝5或m＝－2.
但当m＝5时，A＝{2,3}与已知矛盾；
所以m＝－2，此时A＝{－5,3}．
故m＝－2.
2019-2020年高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.2集合间的基本关系教学设计新人教A版必修1
教学分析
课本从学生熟悉的集合（自然数的集合、有理数的集合等）出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：
在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．
三维目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．
2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．
重点难点
教学重点：
理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：
理解空集的含义．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？
（让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生）欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．
思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：
（1）0____N；
（2）
____Q；（3）－1.5____R.
类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
（答案：
（1）∈；
（2）；（3）∈）
推进新课
（1）观察下面几个例子：
①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；
②设A为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；
③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；
④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．
你能发现两个集合间有什么关系吗？
（2）例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？
（3）结合例子④，类比实数中的结论：
“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？
（4）升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
（5）试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.
（6）已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．
（7）任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？
（8）一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？
（9）与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
活动：
教师从以下方面引导学生：
（1）观察两个集合间元素的特点．
（2）从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：
如果A⊆B，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）．
（3）实数中的“≤”类比集合中的⊆.
（4）把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：
为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
（5）封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．
（6）分类讨论：
当A⊆B时，AB或A＝B.
（7）方程x2＋1＝0没有实数解．
（8）空集记为，并规定：
空集是任何集合的子集，即⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即A（A≠）．
（9）类比子集．
讨论结果：
（1）①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．
（2）例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．
（3）若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
（4）可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
（5）如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.
图1
图2
（6）如图3和图4所示．
图3
图4
（7）不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．
（8）空集．
（9）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若AB，BC，则AC.
思路1
例1某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，C均不是空集．
（1）则下列包含关系哪些成立？
A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.
（2）试用Venn图表示集合A，B，C间的关系．
活动：
学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：
（1）重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．
（2）根据集合A，B，C间的关系来画出Venn图．
解：
（1）包含关系成立的有：
A⊆B，A⊆C.
（2）集合A，B，C间的关系用Venn图表示，如图5所示．
图5
变式训练
课本本节练习3.
点评：
本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．
判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：
先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：
集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.
例2写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活动：
学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．
解：
集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}．真子集为，{a}，{b}.
变式训练
已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 ．1
解析：
集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，
又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．
答案：
A
点评：
本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．
思考：
集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？
多少个真子集？
解：
当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.…
集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有（2n－1）个真子集.
思路2
例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.
活动：
先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．
解析：
∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1（舍去）或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.
答案：
1
点评：
本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．
讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.
变式训练
已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，求实数a的取值范围．
分析：
集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠，由于NM，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．
解：
由题意得M＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝
，又∵NM，∴
∈M.∴
＞2.∴0＜a＜
.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜
，即实数a的取值范围是
.
例2
（1）分别写出下列集合的子集及其个数：
，{a}，{a，b}，{a，b，c}．
（2）由
（1）你发现集合M中含有n个元素，则集合M有多少个子集？
活动：
学生思考子集的含义，并试着写出子集．
（1）按子集中所含元素的个数分类写出子集；
（2）由
（1）总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．
解：
（1）的子集有：
，即有1个子集；
{a}的子集有：
，{a}，即{a}有2个子集；
{a，b}的子集有：
，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；
{a，b，c}的子集有：
，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．
（2）由
（1）可得：
当n＝0时，集合M有1＝20个子集；
当n＝1时，集合M有2＝21个子集；
当n＝2时，集合M有4＝22个子集；
当n＝3时，集合M有8＝23个子集；
因此含有n个元素的集合M有2n个子集.
变式训练
已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
解析：
对集合A所含元素的个数分类讨论．
A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．
答案：
D
点评：
本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.
课本本节练习1,2.
【补充练习】
1．判断正误：
（1）空集没有子集．（ ）
（2）空集是任何一个集合的真子集．（ ）
（3）任一集合必有两个或两个以上的子集．（ ）
（4）若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.（ ）
分析：
关于判断题应确实把握好概念的实质．
解：
该题的4个命题，只有（4）是正确的，其余全错．
对于
（1），
（2）来讲，由规定：
空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．
对于（3）来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．
对于（4）来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．
分析：
区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合的元素，后找真子集．
解：
因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，
即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．
真子集：
，{1}，{2}，{0}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．
3．
（1）下列命题正确的是（ ）
A．无限集的真子集是有限集
B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集
D．{1}是质数集的真子集
（2）以下五个式子中，错误的个数为（ ）
①{1}∈{0,1,2} ②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2} ④∈{0,1,2} ⑤∈{0}
A．5 B．2 C．3 D．4
（3）M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是（ ）
A．aMB．aM
C．{a}∈MD．{a}M
解析：
（1）该题要在四个选择项中找到符合条件的选择项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.
（2）该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．
①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是⊆{0,1,2}，⑤应是⊆{0}．
故错误的有①④⑤.
（3）M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一个元素，
因此{a}是{x|3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.
答案：
（1）C
（2）C （3）D
4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
（1）A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；
（2）A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．
解：
（1）因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，
故A，B都是由奇数构成的，即A＝B.
（2）因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
点评：
此题是集合中较抽象的题目．要注意其元素的合理寻求．
5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值．
解：
因P＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}，当a＝0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝，QP成立．又当a≠0时，Q＝{x|ax＋1＝0}＝
，要QP成立，则有－
＝2或－
＝－3，a＝－
或a＝
.综上所述，a＝0或a＝－
或a＝
.
点评：
这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况，而当Q＝时，满足QP.
6．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R|（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}，要使AP⊆B，求满足条件的集合P.
解：
A＝{x∈R|x2－3x＋4＝0}＝，
B＝{x∈R|（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1,1，－4}，
由AP⊆B知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为
{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．
点评：
要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A，B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．
7．设A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则A与B应具有何种关系？
解：
因A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，
故x为，{0}，{1}，{0,1}，即{0,1}是B中一元素．故A∈B.
点评：
注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素．
8．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：
（1）当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足B⊆A.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立，需
可得2≤m≤3.
综上所得实数m的取值范围为m≤3.
（2）当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
（3）∵x∈R，且A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立．
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B≠，则要满足条件：
或
解之，得m＞4.
综上有m＜2或m＞4.
点评：
此问题解决要注意：
不应忽略；找A中的元素；分类讨论思想的运用．
问题：
已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：
学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1：
写出由集合B和集合C的公共元素组成的集合，得满足条件的集合A；
思路2：
分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．
解法1：
因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：
，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32（个）．
又满足A⊆C的集合A有：
，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16（个）．
其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个：
，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．
解法2：
题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为求B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2,4，组成集合的子集有23＝8（个）．
点评：
有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．
本节课学习了：
①子集、真子集、空集、Venn图等概念；
②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；
③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
课本习题1.1A组 5.
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．
【备选例题】
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？
图6
思路分析：
结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来
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