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《高等数学》练习测试题库

一．选择题

1.函数y=

是（）

A.偶函数B.奇函数C单调函数D无界函数

2.设f（sin

）=cosx+1,则f（x）为（）

A2x

－2B2－2x

C1＋x

D1－x

3．下列数列为单调递增数列的有（）

A．，，，B．

，

，

，

C．{f（n）},其中f（n）=

D.{

}

4.数列有界是数列收敛的（）

A．充分条件B.必要条件

C.充要条件D既非充分也非必要

5．下列命题正确的是（）

A．发散数列必无界B．两无界数列之和必无界

C．两发散数列之和必发散D．两收敛数列之和必收敛

6．

（）

.0C2

7．设

e

则k=（）

.2C6

8.当x

1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（）

B.x

-1C.（x-1）

（x-1）

（x）在点x=x0处有定义是f（x）在x=x0处连续的（）

A.必要条件B.充分条件

C.充分必要条件D.无关条件

10、当|x|<1时，y=（）

A、是连续的B、无界函数

C、有最大值与最小值D、无最小值

11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：

x=0连续，则应补充定义f（0）为（）

A、B、eC、-eD、-e-1

12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）

A、xarctan1/xB、arctan1/x

C、tan1/xD、cos1/x

13、设f（x）在点x0连续，g（x）在点x0不连续，则下列结论成立是（）

A、f（x）+g（x）在点x0必不连续

B、f（x）×g（x）在点x0必不连续须有

C、复合函数f[g（x）]在点x0必不连续

D、在点x0必不连续

14、设f（x）=在区间（-∞,+∞）上连续，且f（x）=0，则a,b满足（）

A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0

C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜0

15、若函数f（x）在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）

A、B、

C、tan[f（x）]D、f[f（x）]

16、函数f（x）=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）

A、[0,л]B、（0,л）

C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）

17、在闭区间[a,b]上连续是函数f（x）有界的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

18、f（a）f（b）＜0是在[a,b]上连续的函f（x）数在（a,b）内取零值的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

19、下列函数中能在区间（0,1）内取零值的有（）

A、f（x）=x+1B、f（x）=x-1

C、f（x）=x2-1D、f（x）=5x4-4x+1

20、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）

A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/2

21、若直线y=x与对数曲线y=log

x相切，则（）

A、eB、1/eC、exD、e1/e

22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）

A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=0

23、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）

A、±1B、±л/2C、±（л/2+1）D、±（л/2-1）

24、设f（x）为可导的奇函数，且f`（x0）=a，则f`（-x0）=（）

A、aB、-aC、|a|D、0

25、设y=㏑，则y’|x=0=（）

A、-1/2B、1/2C、-1D、0

26、设y=（cos）sinx，则y’|x=0=（）

A、-1B、0C、1D、不存在

27、设yf（x）=㏑（1+X），y=f[f（x）],则y’|x=0=（）

A、0B、1/㏑2C、1D、㏑2

28、已知y=sinx，则y（10）=（）

A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx

29、已知y=x㏑x，则y（10）=（）

A、-1/x9B、1/x9C、x9D、x9

30、若函数f（x）=xsin|x|，则（）

A、f``（0）不存在B、f``（0）=0C、f``（0）=∞D、f``（0）=л

31、设函数y=yf（x）在[0，л]内由方程x+cos（x+y）=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）

A、-1B、0C、л/2D、2

32、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）

A、-1B、0C、1D、2

33、函数f（x）在点x0连续是函数f（x）在x0可微的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

34、函数f（x）在点x0可导是函数f（x）在x0可微的（）

A、充分条件B、必要条件

C、充要条件D、无关条件

35、函数f（x）=|x|在x=0的微分是（）

A、0B、-dxC、dxD、不存在

36、极限

的未定式类型是（）

A、0/0型B、∞/∞型C、∞-∞D、∞型

37、极限

的未定式类型是（）

A、00型B、0/0型C、1∞型D、∞0型

38、极限

=（）

A、0B、1C、2D、不存在

39、xx0时，n阶泰勒公式的余项Rn（x）是较xx0的（）

A、（n+1）阶无穷小B、n阶无穷小

C、同阶无穷小D、高阶无穷小

40、若函数f（x）在[0,+∞]内可导，且f`（x）＞0，xf（0）＜0则f（x）在[0,+∞]内有（）

A、唯一的零点B、至少存在有一个零点

C、没有零点D、不能确定有无零点

41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）

A、2B、1/2C、1D、0

42、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）

A、0B、1/2C、1D、2

43、若函数f（x）在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）

A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对

44、若∫f（x）dx=2ex/2+C=（）

A、2ex/2B、4ex/2C、ex/2+CD、ex/2

45、∫xe-xdx=（D）

A、xe-x-e-x+CB、-xe-x+e-x+C

C、xe-x+e-x+CD、-xe-x-e-x+C

46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P（x）（x-1）-ndx（）

A、不含有对数函数B、含有反三角函数

C、一定是初等函数D、一定是有理函数

47、∫-10|3x+1|dx=（）

A、5/6B、1/2C、-1/2D、1

48、两椭圆曲线x2/4+y2=1及（x-1）2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）

A、лB、2лC、4лD、6л

49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）

A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/15

50、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）

A、B、2C、31/2D、21/2

51、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）

A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=2

52、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）

A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线

53、方程=0所表示的图形为（）

A、原点（0，0，0）B、三坐标轴

C、三坐标轴D、曲面，但不可能为平面

54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（）

A、X轴B、Y轴C、Z轴D、任一条直线

55、方程3x2-y2-2z2=1所确定的曲面是（）

A、双叶双曲面B、单叶双曲面C、椭圆抛物面D、圆锥曲面

56、设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）

ｘ

１１１

A.１－──B.１+──C.────D.ｘ

ｘｘ１－ｘ

１

57、ｘ→0时，ｘｓｉｎ──＋１是（）

ｘ

A.无穷大量B.无穷小量C.有界变量D.无界变量

58、方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）

A.平行于ｘｏｙ面的平面

B.平行于ｏｚ轴的平面

C.过ｏｚ轴的平面

D.直线

59、下列函数中为偶函数的是（）

A.ｙ＝ｅ^xB.ｙ＝ｘ^3＋１

C.ｙ＝ｘ^3ｃｏｓｘD.ｙ＝ｌｎ│ｘ│

60、设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ_1〈ｘ_2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）

A.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）

B.ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

C.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）

D.ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）

61、设ｆ（X）在X＝Xo的左右导数存在且相等是ｆ（X）在X＝Xo可导的（）

A.充分必要的条件

B.必要非充分的条件

C.必要且充分的条件

D既非必要又非充分的条件

二、填空题

1、求极限

（x2+2x+5）/（x2+1）=（）

2、求极限

[（x3-3x+1）/（x-4）+1]=（）

3、求极限

x-2/（x+2）1/2=（）

4、求极限

[x/（x+1）]x=（）

5、求极限

（1-x）1/x=（）

6、已知y=sinx-cosx，求y`|x=л/6=（）

7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2，求dρ/dψ|ψ=л/6=（）

8、已知f（x）=3/5x+x2/5，求f`（0）=（）

9、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）

10、函数y=x2-2x+3的极值是y

（1）=（）

11、函数y=2x3极小值与极大值分别是（）

12、函数y=x2-2x-1的最小值为（）

13、函数y=2x-5x2的最大值为（）

14、函数f（x）=x2e-x在[-1,1]上的最小值为（）

15、点（0，1）是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有b=（）c=（）

16、∫xx1/2dx=（）

17、若F`（x）=f（x），则∫dF（x）=（）

18、若∫f（x）dx=x2e2x+c，则f（x）=（）

19、d/dx∫abarctantdt=（）

20、已知函数f（x）=

在点x=0连续，则a=（）

21、∫02（x2+1/x4）dx=（）

22、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

23、∫031/2adx/（a2+x2）=（）

24、∫01dx/（4-x2）1/2=（）

25、∫л/3лsin（л/3+x）dx=（）

26、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

27、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

28、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

29、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

30、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

31、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

32、∫49x1/2（1+x1/2）dx=（）

33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为（）

34、设f（x）=[x]+1，则f（л+10）=（）

35、函数Y=|sinx|的周期是（）

36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）

37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）

38、心形线r=a（1+cosθ）的全长为（）

39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）

40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是

（）

41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）

42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是（）

43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）

44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）

45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）

46、函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ^2＋──────的定义域为

_________

√１－ｘ^2

_______________。

47、函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处的切线方程是______________。

48、设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是

____________。

ｘ

49、∫─────ｄｘ＝_____________。

１－ｘ^4

１

50、ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。

x→∞Ｘ

51、设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。

三、解答题

1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大并求出其最大值。

2、求函数y=x2-54/x.（x＜0＝的最小值。

3、求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率半径。

4、相对数函数y=㏑x上哪一点处的曲线半径最小求出该点处的曲率半径。

5、求y=x2与直线y=x及y=2x所围图形的面积。

6、求y=ex，y=e-x与直线x=1所围图形的面积。

7、求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

8、求过点（4，-1，3）且平行于直线（x-3）/2=y=（z-1）/5的直线方程。

9、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

10、求曲线y=sinx，y=cosx直线x=0，x=л/2所围图形的面积。

11、求曲线y=3-2x-x2与x轴所围图形的面积。

12、求曲线y2=4（x-1）与y2=4（2-x）所围图形的面积。

13、求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，3）和（3，0）得的切线所围成的图形的面积。

9/4

14、求对数螺线r=eaθ及射线θ=-л，θ=л所围成的图形的面积。

15、求位于曲线y=ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积。

16、求由抛物线y2=4ax与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。

17、求曲线y=x2与x=y2绕y轴旋转所产生旋转体的体积。

18、求曲线y=achx/a，x=0，y=0，绕x轴所产生旋转体的体积。

19、求曲线x2+（y-5）2=16绕x轴所产生旋转体的体积。

20、求x2+y2=a2，绕x=-b，旋转所成旋转体的体积。

21、求椭圆x2/4+y2/6=1绕轴旋转所得旋转体的体积。

22、摆线x=a（t-sint）,y=a（1-cost）的一拱，y=0所围图形绕y=2a（a＞0）旋转所得旋转体体积。

23、计算曲线上相应于的一段弧的长度。

24、计算曲线y=x/3（3-x）上相应于1≤x≤3的一段弧的长度。

25、计算半立方抛物线y2=2/3（x-1）3被抛物线y2=x/3截得的一段弧的长度。

26、计算抛物线y2=2px从顶点到这典线上的一点M（x,y）的弧长。

27、求对数螺线r=eaθ自θ=0到θ=ψ的一段弧长。

28、求曲线rθ=1自θ=3/4至θ4/3的一段弧长。

29、求心形线r=a（1+cosθ）的全长。

30、求点M（4，-3，5）与原点的距离。

31、在yoz平面上，求与三已知点A（3，1，2），B（4，-2，-2）和C（0，5，1）等距离的点。

32、设U=a-b+2c，V=-a+3b-c，试用a,b,c表示2U-3V。

33、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离。

求这动点的轨迹方程。

34、将xoz坐标面上的抛物线z2=5x绕轴旋转一周，求所生成的旋轴曲方程。

35、将xoy坐标面上的圆x2+y2=9绕Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

36、将xoy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9与平面x+z=1的交线在xoy面上的投影方程。

38、求球体x2+（y-1）2+（z-2）2≤9在xy平面上的投影方程。

39、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7x+5z-12=0平行的平面方程。

40、求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程。

41、求过（1，1，1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。

42、一平面过点（1，0，-1）且平行于向量a={2,1,1}和b={1,-1,0}，试求这平面方程。

43、求平面2x-y+2z-8=0及x+y+z-10=0夹角弦。

44、求过点（4，-1，3）且平行于直线（x-3）/2=y=（z-1）/5的直线方程。

45、求过两点M（3，-2，1）和M（-1，0，2）的直线方程。

46、求过点（0，2，4）且与两平面x+2z=1和y-3z=z平行的直线方程。

47、求过点（3，1，-2）且通过直线（x-4）/5=（y+3）/2+z/1的平面方程。

48、求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。

49、求点P（3，-1，2）到直线x+2y-z+1=0的距离。

50、求直线2x-4y+z=0,3X-y-2z=0在平面4x-y+z=1上的投影直线的方程。

51、求ｌｉｍ───────────。

x→4/3３ｘ－４

52、求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

___

53、设ｕ＝ｅx＋√ｙ＋ｓｉｎｚ，求ｄｕ。

xasinθ

54、计算∫∫ｒｓｉｎθｄｒｄθ。

00

55、求过点Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程。

四、证明题

1．证明不等式：

2．证明不等式

3．设

，g（x）区间

上连续，g（x）为偶函数，且

满足条件

证明：

4．设n为正整数，证明

5．设

是正值连续函数，

则曲线

在

上是凹的。

6.证明：

7．设

是定义在全数轴上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，则

8．若

是连续函数，则

9．设

，

在

上连续，证明至少存在一个

使得

10．设

在

上连续，证明：

11．设

在

上可导，且

，证明：