泛函分析讲义张恭庆答案.docx
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泛函分析讲义张恭庆答案
泛函分析讲义张恭庆答案
【篇一：
《泛函分析》课程标准】
>英文名称：
functionalanalysis课程编号：
407012010适用专业：
数学与应用数学学分数：
4
一、课程性质
泛函分析属于数学一级科下的基础数学二级学科，在数学与应用数学专业培养方案中学科专业教育平台中专业方向课程系列的一门限选课程。
二、课程理念
1、培育理性精神，提高数学文化素养
基础数学研究数学本身的内在规律，是整个数学学科的基础，它在数学学科其他领域、物理学、工程及社会科学中都有着广泛的应用。
《泛函分析》课程是数学与应用数学本科学生的专业课程之一，是数学分析、高等代数、实变函数等基础课程的后继课程，是研究生学习的基础，。
它不仅在数学学科占有十分重要的地位，而且在其他学科领域也有广泛的应用，掌握泛函分析的方法对学生更好地理解基础课程的理论将有很大的益处。
该课程培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力，体现知识、能力和素质的统一，符合应用型人才培养的目标要求。
2、良好的学习状态，提高综合解题能力
本课程面对的是数学与应用数学专业四年级的学生。
学生刚刚结束教育实习，准备考研的学生进入紧张复习阶段，另一部分学生开始准备找工作。
《泛函分析》这门课内容比较抽象，课时又少，所以，如何让学生安保持良好的学习状态，是本门课要面对的一个重要问题，也是学生要面对的一个具体问题。
需要师生共同努力去正确面对才能顺利完成本门课的教学任务。
为学习研究生课程和现代数学打下必要的基础；进一步提高学生的数学素养。
3、内容由浅入深
本课程的框架结构是根据教学对象和教学任务来安排的：
“度量空间”泛函分析的基本概念之一，十分重要。
首先，引入度量空间的概念，并在引入度量的基础上定义了度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间，对于一般的度量空间，给出了度量空间的完备化定理，并证明了压缩映照原理。
然后，在度量空间上定义线性运算并引入范数，就得到线性赋范空间以及巴拿赫空间。
在赋范空间上定义线性算子及线性泛函，并讨论相关性质。
第三步，在线性赋范空间上定义内积，可以得到内积空间和希尔伯特空间的定义，在内积空间上引入正交以及投影的概念，并建立起相应的几何学，还要讨论希尔伯特空间上的算子，特别是自伴算子、酉算子、正常算子的一些初步性质。
最后，介绍巴拿赫空间中的四个著名定理：
hahn-banach泛函延拓定理，一致有界性定理,逆算子定理和闭图像定理，这些定理充分显示了泛函分析的威力及其广泛应用。
4、理论联系实际，拓展学生知识面
在教学过程中，主要把握以下几点：
将先进的教学思想和教学理念贯穿到课程的内容和体系；强化数学思想方法、加强学生分析解决问题能力和数学素养的培养，让学生接受现代的、新的观念，以启迪学生的创新思维；准确把握课程定位，培养学生掌握扎实的数学基础知识、严密的逻辑思维能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，同时为学生向科研型理论型人才发展留下充足的空间。
课堂教学提倡启发式，采用各种现代化的教学手段，有些内容举一些数学分析中的例子使学生容易理解泛函分析的抽象理论等。
教师通过应用信息技术手段，可以使得授课内容信息量大，学生更能深入泛函分析的内容。
要求学生做到：
将书上的基本知识点吃透，注意咬文嚼字；注意抽象思维能力和逻辑思维能力，要求会做一些理论证明；要求在上课时认真听讲，完成课上训练和课堂作业．课下能够查阅
1
相关文献，了解相关结论。
5、深化考核方式的改进，确保教学质量
本课程主要采用课内外结合的学习方式，即课堂上以教师讲授为主，课下以学生实践为主，通过学习使学生掌握泛函分析基本思想，加深对数学知识的理解，达到学生能力培养的目标，同时为今后学习提供必要的理论基础。
通过本课程的考核，使学生比较系统地了解与掌握度量空间和线性赋范空间、有界线性算子和线性连续泛函、内积空间和巴拿赫空间、巴拿赫空间中的基本定理的基本概念、基本性质，提高抽象思维能力，为今后学习打下必要的基础，并能在较高的理论水平的基础上处理数学分析等课程的有关内容。
在教学过程中应要求学注意联系数学与应用数学专业的基础课程；要充分利用泛函分析的方法进行证明；注意培养学生应用泛函分析能力，提高证明的能力。
三、课程目标
本课程既要注重讲授基本的理论和知识，更要重视对学生的逻辑思维能力的培养和提高。
1、总目标
通过介绍本课程，使学生了解本课程的性质、地位及研究的主要范围、研究方法与该学科的进展；引导学生自觉、主动学习，改变被动式学校的方式，使学生掌握泛函分析的基本知识和基本理论；通过训练学生对一些结论的证明，使学生具备较强的抽象思维能力、逻辑推理能力，从而形成严格而精确的数学素养。
2、分目标
2
四、课程内容
根据课程特点，本课程内容划分为四个教学单元，每一单元的内容进一步划分为基础性内容、提高性内容、拓展性内容三部分。
第一单元度量空间和线性赋范空间1、基础性内容
度量空间的概念和常见例子、度量空间中的极限、稠密集、可分空间、连续映照、柯西点列、完备度量空间、度量空间的完备化定理、压缩映照原理、线性空间、线性赋范空间和巴拿赫空间的基本概念。
2、提高性内容
在具体空间上定义度量，应用压缩映照原理解决具体问题。
3、拓展性内容
文化素质拓展：
泛函分析发展简史。
知识拓展：
把具体度量空间完备化。
第二单元有界线性算子和线性连续泛函1、基础性内容
有界线性算子、线性连续泛函、线性算子空间、共轭空间。
2、提高性内容广义函数大意。
3、拓展性内容
文化素质拓展：
巴拿赫代数简单知识。
知识拓展：
简单度量空间的共轭空间。
第三单元内积空间和巴拿赫空间1、基础性内容
内积空间的基本概念、投影定理、bessel不等式及相关定理、riesz定理、自伴算子、酉算子、正常算子。
2、提高性内容重要定理的证明方法。
3、拓展性内容
文化素质拓展：
泛函分析中著名数学家简介。
知识拓展：
应用本章定理证明一些相关结论。
第四单元巴拿赫空间中的基本定理1、基础性内容
hahn-banach泛函延拓定理、c[a,b]的共轭空间、共轭算子、纲定理、一致有界性定理、强收敛、弱收敛、一致收敛、逆算子定理和闭图像定理2、提高性内容
四个著名定理的证明方法。
3、拓展性内容
文化素质拓展：
专业方向最新动态介绍。
知识拓展：
四个著名定理的具体应用。
五、课程实施1、学时安排
泛函分析是数学与应用数学专业课。
每周安排4课时，共11周44课时，一个学期完成，根据教学要求，安排4-6节课时的讨论教学及习题课，其他以集中讲授为主。
为使教学效果达到比
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较理想的水平，让学生进行有目的的课外学习。
教师的实践性内容安排有作业、小论文、课外阅读资料等。
具体安排如下：
2、教学建议
（1）教学组织与形式
教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。
根据泛函分析课程的特点，尽可能多讲些习题的证明；另外充分利用习题课课时，灵活组织学生进行有利于培养学生发现问题、分析问题与解决问题的能力的各种教学活动。
（2）教学方法和手段
○1本课程的教学要贯彻理论联系实际的原则。
通过对本课程内容的系统分析、讲解及训练，使学生掌握本课程的基本概念，基本理论，基本技能与方法。
并通过综合训练，进一步使学生掌握运用基础知识综合处理数学理论问题，建立数学模型，解决实际问题的能力。
○2本课程采用讲授法与讨论法相结合的教学方式，鼓励学生积
极参与教学活动，充分发挥学生的主观能动性，调动学生的学习兴趣，变被动学习为主动获取。
○3运用网络，将教学内容中那些比较前沿的内容，通过网络，让学生了解最新相关知识。
○4借评讲作业、课堂提问及每次课后辅导的机会，对学生进行学习方法的指导。
（3）能力培养方案
为了培养学生分析问题解决问题的能力，在教学中要注重学生对于理论的兴趣和自我学习的能力，提高学生的理论思维能力。
首先，以教师讲授为主，讲授基本的知识与概念，但同时也要尽可能启发学生的思维，调动学生的积极性。
其次，注重讨论、研究、问题式教学。
要求教师根据教学中的重点、难点设计问题或讨论的话题，组织学生课堂讨论，或课后研究，提交书面总结，然后教师再进行归纳总结。
再次，除布置的课后作业以外，结合重点内容布置若干小论文题目，让学生自己查阅文献分析问题，培养论文写作能力。
最后，鼓励学生自学。
自学不等于放任，自学要与检查、督促、辅导结合起来。
3、学业考核与评定
《泛函分析》为考查课程。
本课程每学期结束安排闭卷考试。
本课程在命题上应充分体现开放性、灵活性。
采用百分制评分，平时成绩：
20分（包括考勤、作业等），期末成绩：
80分（试卷成绩的80%），即期末总成绩=试卷成绩*80%+平时成绩。
4
考核类型分三类：
识记、理解、综合运用。
试题类型为选择、填空、判断、计算、证明等。
填空题与选择题或判断题约占40％，计算题和证明题约占60%。
试卷满分为100分，考试时间为120分钟。
六、教材选用与参考书目1、建议教材
本课程近些年来使用的教材是程其襄等编写，高等教育出版社2006年5月出版的教材《实变函数与泛函分析基础》。
2、教学参考书
[1]张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[m].北京：
北京大学出版社
[2]王声望，郑维行.实变函数与泛函分析概要（第二册）[m].北京：
高等教育出版社[3]刘炳初．泛函分析[m]．北京：
科技出版社公司
[4]johnb.conway.acourseoffunctionalanalysis[m].北京：
世界图书出版公司北京
5
【篇二：
泛函分析教学大纲】
xt>一课程说明
1.课程基本情况
课程名称：
泛函分析
英文名称：
functionalanalysis
课程编号：
2411215
开课专业：
数学与应用数学
开课学期：
第6学期
学分/周学时：
3/3
课程类型：
专业方向选修课
2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是现代数学的一个重要分支。
它综合地运用分析、代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，是将具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行的研究。
随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学、工科技术理论和社会科学的各个领域。
通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其它数学分支以及将其应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理、工程技术等领域有很大帮助。
3．本课程的教学目的和任务
本课程基本要求学生能理解该学科的思想及应用性，掌握基本理论方法，了解定理证明过程。
通过本课程的学习,学生应熟练掌握度量，范数，线性算子，内积，直交投影，谱等概念,熟练掌握纲理论及有界线性算子的基本原理和线性泛函的延拓理论,为今后学习打下坚实基础。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某
些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。
它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。
今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
5．教学时数及课时分配
二教材及主要参考书
1.程其襄等编.《实变函数与泛函分析基础》（下册）（第三版），高等教育出版社，2010年6月.
2.曹广福等编.《实变函数论与泛函分析》（下册）（第三版），高教出版社，2011年6月.
3．张恭庆、林源渠编著，《泛函分析讲义》（上册），北京大学出版社，1987年.
4.夏道行等编.《实变函数与泛函分析》（下册）（第二版），高等教育出版社，2005年.
5．李广民编.《应用泛函分析》.西安电子科技大学出版社，2004.
三教学方法和教学手段说明
《泛函分析》课程的特点是：
基本概念多且非常抽象，理论推证很多而且繁长，教学中极需展示数学思维的活动过程。
采用讲授式的教学方法和自主学习方法相结合，设问解疑，激发学生的求知欲望和培养学生的自学能力。
与此同时，教师要在教材处理和备课上狠下功夫，注重教学研究和教学方法，教师除讲清课程内容外，还经常穿插数学史、数学方法论和某些新成果以及同其他数学分支的联系，激发学生的学习热情和兴趣；课后，除布置适量的作业外，经常给学生布置一些不落俗套思考题、判断题、改错题等。
四成绩考核办法
本课程是一门考试课程，考核以笔试为主,闭卷。
主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。
成绩考核办法按学校教务处的相关规定执行。
五教学内容
第一部分距离空间和赋范线性空间（16学时）
一、教学目的
通过本章的学习使学生了解距离空间中定义及例，距离空间中收敛的概念。
掌握距离空间的完备性，熟练掌握压缩映照原理及应用，为后面学习打下基础。
二、教学重点
距离空间基本概念，压缩映照原理及应用。
三、教学难点
稠密集，距离空间的完备化，可分空间。
四、讲授要求
通过本章的学习使学生掌握具体距离空间中收敛的意义并熟练应用柯西列证明距离空间的完备性；熟练掌握压缩映照原理及应用。
五、讲授要点
距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，柯西点列。
第二部分有界线性算子与连续线性泛函（4学时）
一、教学目的
通过本章的学习使学生理解有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质，掌握共轭空间和有界线性算子空间。
二、教学重点
有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质。
三、教学难点
共轭空间，有界线性算子空间，广义函数。
四、讲授要求
通过本章的学习使学生理解有界线性算子和连续线性泛函的基本概念及性质，掌握共轭空间和有界线性算子空间。
五、讲授要点
有界线性算子，连续线性泛函，共轭空间，有界线性算子空间，广义函数。
第三部分内积空间与hilbert空间（10学时）
一、教学目的
通过学习内积空间的基本概念，理解直交系及三种算子，掌握投影定理与投影算子及其应用。
二、教学重点
内积空间的基本概念，直交与直交系。
三、教学难点
投影定理与投影算子及其应用。
四、讲授要求
通过学习内积空间的基本概念，理解直交系及三种算子，掌握投影定理与投影算子及其应用。
五、讲授要点
内积空间的定义、性质及例子，投影定理，hilbert空间中的规范正交系，hilbert空间上的连续线性泛函，自伴算子、酉算子和正常算子。
第四部分banach空间中的基本定理（14学时）
一、教学目的
通过学习此章，理解共轭算子，纲及baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，掌握banach空间中的几个基本定理：
泛函延拓定理，banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
二、教学重点
共轭算子，纲及baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛。
三、教学难点
banach空间中的几个基本定理：
泛函延拓定理，banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
四、讲授要求
通过学习此章，理解共轭算子，纲及baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，掌握banach空间中的几个基本定理：
泛函延拓定理，banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
五、讲授要点
共轭算子，纲及baire纲定理，强收敛、弱收敛和一致收敛，泛函延拓定理，banach逆算子定理，闭图象定理，共鸣定理。
第五部分线性算子的谱（10学时）
【篇三：
泛函分析教学大纲】
、泛函分析课程说明
（一）课程代码08130013
（二）课程英文名称:
functionalanalysis（三）开课对象:
数学与应用数学专业本科生
（四）课程性质:
泛函分析是数学学科的一门基础理论课程。
本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。
通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。
前期课程：
《数学分析》《高等代数》《实变函数》
（五）教学目的
通过泛函分析的教学，使学生了解和掌握赋泛线性空间，有界线性算子，hilbert空间，banach空间的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础
（六）教学内容
本课程主要包括度量空间和赋范线性空间，有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和hilbert空间，banach空间中的基本定理，线性算子的谱等几个部分。
通过教学的各个环节使学生达到各章的基本要求。
习题是重要的教学环节，教师必须高度重视。
（七）学时、学分数及学时数具体分配教学时数：
72学时学分数：
4学分教学时数具体分配
（八）教学方式
以教师讲解为主的课堂教学方式
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生的出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定。
平时成绩占30％，期末成绩占70％。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章度量空间和赋范线性空间
教学要点:
1泛函分析研究的对象是定义在度量空间之间的映射
2度量空间x的子集y在x中稠密的充分必要条件是y的闭包等于x3有理点集是可数稠密集
4任何度量空间x,都存在完备的度量空间教学时数:
12学时教学内容
第一节度量空间
第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间第三节连续影射
第四节柯西点列和完备度量空间第五节度量空间的完备化第六节压缩映射原理及其应用第七节线性空间
第八节赋范线性空间和banach空间考核要求：
第一节度量空间（识记）
第二节度量空间的极限,稠密集,可分空间（领会与应用）第三节连续影射（领会与应用）
第四节柯西点列和完备度量空间（领会与应用）第五节度量空间的完备化（领会）
第六节压缩映射原理及其应用（领会与应用）第七节线性空间（领会与应用）
第八节赋范线性空间和banach空间（领会与应用）
第二章有界线性算子和连续线性泛函
教学要点:
1掌握赋范线性空间的有界线性映射的概念
2掌握赋范线性空间x到赋范线性空间y上的线性映射的全体也是一个赋范线性空间3掌握线性同构的概念教学时数：
16学时
教学内容
第一节有界线性算子和连续线性泛函第二节有界线性算子空间和共轭空间第三节广义函数
考核要求：
第一节有界线性算子和连续线性泛函（识记、领会、应用）第二节有界线性算子空间和共轭空间（识记、领会、应用）第三节广义函数（领会）
第三章内积空间和hilbert空间
教学要点:
1掌握内积与西尔百特空间中的范数之间的关系2每个hilbert空间x都有完全规范正交系
3hilbert空间x可分的充要条件是x存在一个可数的完全规范正交系教学时数：
20学时教学内容：
第一节内积空间的基本概念第二节投影定理
第三节hilbert空间中的规范正交系第四节hilbert空间上的连续线性泛函第五节自伴算子,酉算子和正常算子考核要求：
第一节内积空间的基本概念（识记，领会，应用）第二节投影定理（领会，应用）
第三节hilbert空间中的规范正交系（领会，应用）第四节hilbert空间上的连续线性泛函（领会，应用）第五节自伴算子,酉算子和正常算子（识记，领会，应用）
第四章banach空间中的基本定理
教学要点:
1理解banach空间三大基本定理
（1）泛函延拓定理
（2）一致有界定理（3）逆算子定理2掌握弱收敛和强收敛的概念3理解baie纲定理教学时数：
16学时教学内容
第一节泛函延拓定理第二节c[a,b]的共轭空间第三节共轭算子
第四节纲定理和一致有界定理第五节强收敛,弱收敛和一致收敛第六节逆算子定理第七节闭图象定理
考核要求：
第一节泛函延拓定理（领会，应用）第二节c[a,b]的共轭空间（领会，应用）第三节共轭算子（识记，领会，应用）
第四节纲定理和一致有界定理（领会，应用）
第五节强收敛,弱收敛和一致收敛（识记，领会，应用）第六节逆算子定理（领会，应用）第七节闭图象定理（领会，应用）
第五章线性算子的谱
教学要点:
1理解赋范线性空间上的有界线性算子t的谱是有限维线性空间中线性变换的特征值的推广
2赋范线性空间上的有界线性算子t的谱是复平面上的非空有界闭集3用全连续算自谱分解理论，可解一类具有对称核的积分算子的积分方程教学时数：
8学时教学内容
第一节谱的概念
第二节有界线性算子谱的基本性质第三节紧集和全连续算子第四节自伴全连续算子的谱论第五节具对称核的积分方程考核要求：
第一节谱的概念（识记，领会）
第二节有界线性算子谱的基本性质（领会，应用）第三节紧集和全连续算子（领会，应用）
第四节自伴全连续算子的谱论（领会，应用）第五节具对称核的积分方程（领会，应用）
三、推荐教材和参考书目
《实变函数与泛函分析》，程其襄等，第二版，高等教育出版社《泛函分析基础》，刘培德，第一版，武汉大学出版社《泛函分析讲义》，张恭庆，第一版，北京大学出版社
《实变函数论与泛函分析》，夏道行等，人民教育出版社
《实变函数论与泛函分析概要》,王声望,第二版，高等教育出版社《实变函数论》，江泽坚，吴智泉，第二版，人民教育出版社introductiontofunctioalanalysis,a.b.tayor,newyork
functionalanalysis.walterrudin,newyork:
mcgraw-hillbookcom
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