初中数学《立方根》教案.docx

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初中数学《立方根》教案

初中数学《立方根》教案

　　课题：

2.3立方根

●教学目标

（一）教学知识点

1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.

2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.

3.了解立方根的性质.

4.区分立方根与平方根的不同.

（二）能力训练要求

1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.

2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.

（三）情感与价值观要求

当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.

●教学重点

立方根的概念.

●教学难点

1.正确理解立方根的概念.

2.会求一个数的立方根.

3.区分立方根与平方根的不同之处.

●教学方法

类比学习法.

●教具准备

投影片两张：

第一张：

平方根与立方根的联系与区别（记作2.3A）；

第二张：

补充练习（记作2.3B）.

●教学过程

Ⅰ.新课导入

上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=.

若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？

本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？

Ⅱ.新课讲解

1.［师］请大家先回忆平方根的定义.

［生］若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.

［师］在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？

请大家自己猜想然后讨论得出结果.

［生］因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.

［师］当x4=a时，x叫a的什么根呢？

［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.

［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？

［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.

［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.

［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=，x3=a时，x=也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？

［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是2，所以立方根的个数不正确.

［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（cuberoot；也叫三次方根）如2是8的立方根，记为x=，读作x等于三次根号a.

开立方的定义

［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.

［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.

（2）立方根的性质

［师］2的立方等于多少？

是否有其他的数，它的立方也是8？

［生］2的立方等于8，（－2）3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.

［师］－3的立方等于多少？

是否有其他的数，它的立方也是－27？

［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.

［师］0的立方等于多少？

0有几个立方根？

［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.

［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？

0有几个立方根？

负数有几个立方根？

［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.

［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.

（3）平方根与立方根的区别与联系.

［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.

［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.

［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.

［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为，立方根表示为.

［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.

投影片：

（2.3A）

平方根与立方根的联系与区别.

联系：

（1）0的平方根、立方根都有一个是0.

（2）平方根、立方根都是开方的结果.

区别：

（1）定义不同：

“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”

（2）个数不同：

一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.

（3）表示法不同

正数a的平方根表示为，a的立方根表示为.

（4）被开方数的取值范围不同

中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.

2.例题讲解

［例1］求下列各数的立方根：

（1）－27；

（2）；（3）0.216；（4）－5.

解：

（1）因为（－3）3=－27，所以－27的立方根是－3，即=－3；

（2）因为（）3=，所以的立方根是，即=；

（3）因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6；

（4）－5的立方根是.

［师］请大家思考下列问题.

表示a的立方根，则（）3等于什么？

等于什么？

大家可以先举例后找规律.

［生］∵23=8，=2，（）3=8；

∵（－2）3=－8，

=－2；（）3=－8；

∵（）3=，

∵（－）3=－，

（）3=a.

［师］若x3=a，则x=，x3=（）3=a.

（）3=a.

又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就这两个式子进行练习.

［例2］求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）－；（4）（）3

解：

（1）==－2；

（2）=；

（3）=；

（4）（）3=9.

Ⅲ.课堂练习

（一）随堂练习

1.求下列各式的值：

解：

；

2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？

解：

设正方体的棱长是x厘米，得

x3=833

x3=216

x=6（厘米）

答：

这个正方体的棱长是6厘米.

（二）补充练习

投影片：

（2.3B）

1.求下列各数的立方根：

0，1，－，6，－，0.001

2.求下列各式的值：

3.下列说法对不对？

－4没有立方根；

1的立方根是1；

的立方根是；

－5的立方根是－；

64的算术平方根是8.

1.解：

因为03=0，所以0的立方根为0.

即=0；

因为13=1，所以1的立方根为1.

即=1；

因为的立方根为.

即；

6的立方根为；

∵－的立方根为－，即；

∵0.13=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即=0.1.

2.解：

；

3.答案：

错.因为负数也有立方根；

错.因为1的立方根是1；

错.的立方根是，平方根是；

对.－5的立方根是，－；

对.

Ⅳ.议一议

1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？

解：

设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V=r3得

8r13=r23

8r13=r23

（2r1）3=r23

r2=2r1

即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.

2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？

解：

设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得

na3=b3

b=.

即后来的棱长变为原来的倍.

Ⅴ.课时小结

本节课学了如下内容：

1.立方根的定义.

2.立方根的性质.

3.开立方的定义.

4.平方根与立方根的区别与联系.

5.会求一个数的立方根.

Ⅵ.课后作业

习题2.5.

Ⅶ.活动与探究

1.求下列各式中的x.

（1）8x3+27=0；

（2）（x－1）3－0.343=0；

（3）81（x+1）4=16；

（4）32x5－1=0.

分析：

先把每一个式子都化成x3=的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，

解：

（1）由8x3+27=0.8x3=－27

x3=x=；

（2）由（x－1）3－0.343=0

（x－1）3=0.343

x－1==0.7

x=1.7；

（3）由81（x+1）4=16

（x+1）4=

x+1=

x=－1x=－或x=－；

（4）由32x5－1=0

x5=

x=.

2.求满足+1=x的x的值.

解：

=x－1

x－1=－1或x－1=0或x－1=1

x=0或x=1或x=2

3.计算

（1）－；

（2）.

解：

（1）；

（2）

●板书设计

2.3立方根

一、

（1）立方根开立方的定义

（2）立方根的性质

（3）立方根与平方根的联系与区别

二、例题讲解（求立方根）

三、练习

四、议一议

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

五、小结

我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?

吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:

“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!

”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。

特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:

提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。

根本原因还是无“米”下“锅”。

于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。

所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。

要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。

宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。

六、作业