等差数列求和公式Sn.docx

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等差数列求和公式Sn

等差数列求和公式　　Sn=n（a1+an）/2或Sn=a1*n+n（n-1）d/2注：

an=a1+（n-1）d

　　转换过程：

Sn=n（a1+an）/2=n{a1+[a1+（n-1）d]}/2=n[2a1+（n-1）d]/2=[2na1+n（n-1）d]/2

　　应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n（a1+an）-（n-1）（a1+an-1）]/2=[a1+n*an-（n-1）*an-1]/2=an

　　化简得（n-1）an-1-（n-2）an=a1,这对于任一N均成立

　　当n取n-1时式子变为,（n-3）an-1-（n-2）an-2=a1=（n-2）an-（n-1）an-1

　　得

　　2（n-2）an-1=（n-2）*（an+an-2）

　　当n大于2时得2an-1=an+an-2显然证得它是等差数列

　　和＝（首项＋末项）×项数÷2

　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1

　　首项=2和÷项数-末项

　　末项=2和÷项数-首项

　　末项=首项+（项数-1）×公差

　　性质：

等差数列求是求数列中所有项的和

　　若m、n、p、q∈N

　　①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq

　　②若m+n=2q，则am+an=2aq

二、例题

例1用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

分析∵要求的数去除30、60、75都能整除，

　　∴要求的数是30、60、75的公约数。

　　又∵要求符合条件的最大的数，

　　∴就是求30、60、75的最大公约数。

　　解：

∵

　　（30，60，75）=5×3=15

　　这个数最大是15。

例2一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

分析由题意可知，要求的数是3、4、5的公倍数，且是最小的公倍数。

　　解：

∵［3，4，5］=3×4×5=60，

　　∴用3、4、5除都能整除的最小的数是60。

例3有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？

一共可以截成多少段？

分析∵要截成相等的小段，且无剩余，

　　∴每段长度必是120、180和300的公约数。

　　又∵每段要尽可能长，

　　∴要求的每段长度就是120、180和300的最大公约数.

　　（120，180，300）=30×2=60

　　∴每小段最长60厘米。

　　120÷60+180÷60+300÷60

　　=2＋3＋5=10（段）

　　答：

每段最长60厘米，一共可以截成10段。

例4加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？

分析要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是3、10和5的公倍数.要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍数。

　　［3，10，5］=5×3×2=30

　　∴各道工序均应加130个零件。

　　30÷3=10（人）

　　30÷10=3（人）

　　30÷5=6（人）

　　答：

第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。

例5一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？

分析由题意可知，参加会餐人数应是2、3、4的公倍数。

　　解：

∵[2，3，4]=12

　　∴参加会餐人数应是12的倍数。

　　又∵12÷2+12÷3+12÷4

　　=6+4+3=13（瓶），

　　∴可见12个人要用6瓶A饮料，4瓶B饮料，3瓶C饮料，共用13瓶饮料。

　　又∵65÷13=5，

　　∴参加会餐的总人数应是12的5倍，

　　12×5=60（人）。

答：

参加会餐的总人数是60人。

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

　　解：

十月份共有31天，每周共有7天，

　　∵31=7×4+3，

　　∴根据题意可知：

有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

　　∴这年的10月1日是星期四。

例43月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

　　解：

每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），

　　从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：

16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。

　　一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。

　　当r=0时，我们称a能被b整除。

　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。

例1一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。

分析这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。

　　解：

∵被除数÷除数=商…余数，

　　即被除数=除数×商+余数，

　　∴251=除数×商+41，

　　251-41=除数×商，

　　∴210=除数×商。

　　∵210=2×3×5×7，

　　∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。

例2用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？

　　解：

∵被除数=除数×商+余数，

　　即被除数=除数×40+16。

　　由题意可知：

被除数+除数=933-40-16=877，

　　∴（除数×40+16）+除数=877，

　　∴除数×41=877-16，

　　除数=861÷41，

　　除数=21，

　　∴被除数=21×40+16=856。

　　答：

被除数是856，除数是21。

例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？

　　解：

十月份共有31天，每周共有7天，

　　∵31=7×4+3，

　　∴根据题意可知：

有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。

　　∴这年的10月1日是星期四。

例43月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？

　　解：

每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），

　　从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。

　　这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

”

　　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：

　　方法1：

2×70+3×21+2×15=233

　　233-105×2=23

　　符合条件的最小自然数是23。

例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：

　　方法2：

[3，7]+2=23

　　23除以5恰好余3。

　　所以，符合条件的最小自然数是23。

　　方法2的思路是什么呢？

让我们再来看下面两道例题。

例6一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。

分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。

　　解：

[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。

　　想：

28+[5，6]×？

之后能满足“7除余1”的条件？

　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，

　　又148＜210=[5，6，7]

　　所以，适合条件的最小的自然数是148。

例7一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

　　解：

想：

2+3×？

之后能满足“5除余3”的条件？

　　2+3×2=8。

　　再想：

8+[3，5]×？

之后能满足“7除余4”的条件？

　　8+[3，5]×3=53。

　　∴符合条件的最小的自然数是53。

　　归纳以上两例题的解法为：

逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。

　　解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？

　　解：

2+[5，7]×1=37（个）

　　∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，

　　∴布袋中至少有小球37个。

例969、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。

分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：

　　15除以2余1，19除以2余1，

　　即15和19被2除余数相同（余数都是1）。

　　但是19-15能被2整除.

　　由此我们可以得到这样的结论：

如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。

　　反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。

　　例9可做如下解答：

　　∵三个整数被N除余数相同，

　　∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，

　　∴N是21和35的公约数。

　　∵要求N的最大值，

　　∴N是21和35的最大公约数。

　　∵21和35的最大公约数是7，

　　∴N最大是7。

习题四

　　1.用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16.被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，求除数。

　　2.某数除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？

　　3.某数除以8余3，除以9余4，除以12余7，在1000以内这样的数有哪几个？

　　4.用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？

　　5.57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零.求284被这个自然数除的余数.