河南省洛阳市涧西区洛阳市涧西区东方第二中学学年八年级上学期第一次月考数学试题.docx

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河南省洛阳市涧西区洛阳市涧西区东方第二中学学年八年级上学期第一次月考数学试题

河南省洛阳市涧西区洛阳市涧西区东方第二中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．下列交通标志中，不是轴对称图形的是

A．

B．

C．

D．

2．下列各组条件中，能够判定△ABC≌△DEF的是（）

A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D

C．∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，AC＝DFD．∠A＝∠D，AB＝DF，∠B＝∠E

3．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是（　　）

A．18cm或24cmB．20cm或24cmC．24cmD．26cm

4．如图△BAC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且BC＝5cm，BD＝3cm，则DE等于（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）

A．180°B．360°C．270°D．540°

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）

A．15B．30C．45D．60

7．有下列四种说法：

①两个三角形全等，则它们成轴对称；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③若点A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN；④到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．其中正确的说法有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

8．如图，△ABC中，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠C＝68°，∠DAE的度数（　　）

A．13°B．15°C．20°D．22

9．已知：

如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：

①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．

其中结论正确的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

10．已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（　　）

A．（﹣2016，2）B．（﹣2016，一2）C．（﹣2017，﹣2）D．（﹣2017，2）

二、填空题

11．已知点A（m+1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为_____．

12．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．

13．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角为40°，则此等腰三角形的顶角为_____．

14．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为__．

15．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠BCF的度数为_____．

三、解答题

16．如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．

（1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；

（2）求出A1，B1，C1三点坐标；

（3）求△ABC的面积．

17．在

中，BD是

的角平分线，

，交AB于点E，

，

，求

各内角的度数.

18．如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，DF＝AE，求证AB＝CD．

19．如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE相交于点O，AB＝AC．求证：

OD＝OE．

20．如图，在等边△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E、F两点，求证：

△OEF是等边三角形．

21．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE=1.求BF的长.

22．

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，并连结CN．求证：

AB＝CN+CM．

（2）（类比探究）如图2，在等边△ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，则AB＝CN+CM是否还成立？

若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明．

23．定义：

如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，当∠BAC+∠DAE=180°时，我们称△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，△ABC的边BC上的高线AM叫做△ADE的“顶心距”，点A叫做“旋补中心”.

（1）特例感知：

在图2，图3中，△ABC与△DAE互为“顶补等腰三角形”，AM是“顶心距”．

①如图2，当∠BAC=90°时，AM与DE之间的数量关系为AM=　　DE；

②如图3，当∠BAC=120°，ED=6时，AM的长为　　．

（2）猜想论证：

在图1中，当∠BAC为任意角时，猜想AM与DE之间的数量关系，并给予证明．

（3）拓展应用

如图4，在四边形ABCD中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CA=

，在四边ABCD的内部找到点P，使得△PAD与△PBC互为“顶补等腰三角形”．并回答下列问题．

①请在图中标出点P的位置，并描述出该点的位置为；

②直接写出△PBC的“顶心距”的长为．

参考答案

1．C

【解析】

试题分析：

A、是轴对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．符合题意；

D、是轴对称图形，不符合题意．

考点：

轴对称图形

2．C

【分析】

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL，根据以上定理判断即可．

【详解】

如图：

A．不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

B．不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

C．符合直角三角形全等的判定定理HL，即能推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；

D．不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．

故选C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解答此题的关键，注意：

全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，直角三角形全等还有HL．

3．C

【分析】

题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．

【详解】

∵4+4＝8＜10，

∴等腰三角形的腰为10，底边为4，

∴两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长为4+10+10＝24（cm）．

故选：

C．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

4．A

【分析】

从已知提供的条件利用角平分线的性质进行思考，可得DE＝CD即可解决问题．

【详解】

∵∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E

∴DE＝CD，

∵BC＝5cm，BD＝3cm，

∴CD＝5﹣3＝2cm

∴DE＝2cm

故选：

A．

【点睛】

此题考查了角平分线的性质；解题的关键是利用角平分线的性质，求得CD=DE．

5．B

【解析】

【分析】

根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．

【详解】

如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G．

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：

∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D．

由等量代换，得：

∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°．

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．

6．B

【分析】

由题意可得AP是∠BAC的平分线，然后过点D作DE⊥AB于点E，如图，根据角平分线的性质可得DE的长，再根据三角形的面积求解即可．

【详解】

解：

由题意得：

AP是∠BAC的平分线，

过点D作DE⊥AB于点E，如图，

∵∠C=90°，DE⊥AB，AP是∠BAC的平分线，

∴DE=DC=4，

∴△ABD的面积=

．

故选：

B．

【点睛】

本题考查了角平分线的尺规作图和性质，属于基本题型，由题意得出AP是∠BAC的平分线、熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

7．A

【分析】

根据三角形全等，等腰三角形的性质、对称的性质，角平分线的性质判断即可．

【详解】

①两个三角形全等，但它们不一定成轴对称，错误；

②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，错误；

③若点A、B关于直线MN对称，则MN垂直平分AB，而MN是直线，故错误；

④到角两边距离相等的点应该在角的平分线所在的直线上，错误；

故选：

A．

【点睛】

本题考查了三角形全等，等腰三角形的性质、对称的性质，角平分线的性质，属于基础知识，应重点掌握．

8．A

【分析】

根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠AC，代入∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC求出即可．

【详解】

∵∠B＝42°，∠C＝68°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAC＝

∠BAC＝35°，

∵AE是BC边上的高，

∴∠AEC＝90°，

∵∠C＝68°，

∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝22°，

∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝35°﹣22°＝13°．

故选：

A．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理、三角形的角平分线和高．求角的度数时，经常用到隐含在题中的“三角形内角和是180°”这一条件．

9．D

【分析】

①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；

②由△ABD≌△ACE得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；

③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；

④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=180°．

【详解】

解：

①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，本选项正确；

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

则BD⊥CE，本选项正确；

③∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°，

∵∠ABD=∠ACE

∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；

④由题意，∠BAE＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=360°-90°-90°=180°，本选项正确；

故选D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

10．A

【分析】

根据题意，将M点沿着x轴翻折，再向左平移一个单位长度，所以点M向左平移2018个单位长度，知道M点的横坐标，当翻折次数为奇数时，纵坐标为－2，翻折次数为偶数时，纵坐标为2即可求解.

【详解】

根据题意，将M点沿着x轴翻折，再向左平移一个单位长度，所以点M向左平移2018个单位长度，知道M点的横坐标为－2018＋2＝－2016，当翻折次数为奇数时，纵坐标为－2，翻折次数为偶数时，纵坐标为2，∵2018是偶数，∴M点的坐标为（－2016，2），故答案为A.

【点睛】

本题考查了图形经多次变换后的规律，正确找到规律是解决本题的关键.

11．﹣1

【分析】

根据关于x轴的对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．

【详解】

∵点A（m+1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，

∴m+1＝2，n﹣1＝﹣3，

∴m＝1，n＝﹣2，

∵（m+n）2019＝﹣1，

故答案为：

﹣1．

【点睛】

本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的点的坐标坐标特点．

12．720°．

【解析】

【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．

【详解】这个正多边形的边数为

=6，

所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，

故答案为720°．

【点睛】本题考查了多边形内角与外角：

内角和定理：

（n﹣2）•180（n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．

13．50°或130°

【分析】

作出图形，分①△ABC是锐角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求解即可；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．

【详解】

作AB的垂直平分线交AB于D，交直线AC于F，

当点F在线段AC上，如图1，

∵∠AFD＝40°，

∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°；

当点F在AC的延长线上，如图2，

∵∠AFD＝40°，

∴∠DAF＝90°﹣40°＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°，

综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°．

故答案为50°或130°．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，难点在于分类讨论，作出图形更形象直观．

14．24

【解析】

试题分析：

根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出△CMN的周长

解：

AO、BO分别是角平分线，

∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，

∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，

∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，

∵MN=MO+ON，AC+BC=24，

∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．

故答案为24．

点评：

此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题．

15．30°

【分析】

过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．

【详解】

过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC＝4，AE＝2，

∴EC＝2＝AE，

∴AM＝BM＝2，

∴AM＝AE，

∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM＝AE，

∴E和M关于AD对称，

连接CM交AD于F，连接EF，

则此时EF+CF的值最小，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，AC＝BC，

∵AM＝BM，

∴∠BCF＝∠ECF＝

∠ACB＝30°，

故答案为：

30°．

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．

16．

（1）画图见解析；

（2）A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；

（3）S△ABC=

．

【解析】

试题分析：

（1）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；

（2）根据各点在坐标系中的位置写出A1，B1，C1三点坐标即可；

（3）根据S△ABC=正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．

试题解析：

（1）如图所示：

（2）由图可知，A1（﹣2，﹣3），B1（﹣3，﹣1），C1（﹣1，﹣1）；

（3）S△ABC=2×2﹣

×1×1﹣

×1×2﹣

×1×2

=4﹣

﹣1﹣1

=

．

17．

【分析】

先根据三角形外角性质计算出∠ABD的度数，再根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABD，然后利用平行线的性质由DE∥BC得∠EDB=∠CBD，最后根据三角形内角和定理计算∠BED的度数．

【详解】

解：

∵

，

，

∴

，

∵BD平分

，

∴

，

又∵

，

∴

，

∴

，

∴

各内角的度数分别是

.

【点睛】

本题考查了平行线性质、三角形内角和定理及外角性质，熟知相关性质是解题的关键.

18．见解析

【分析】

首先证明CF＝BE，然后证明△CDF≌△BAE，进而可得CD＝BA．

【详解】

∵CE＝BF，

∴CE﹣EF＝BF﹣EF，

即CF＝BE，

在△CDF和△BAE中

，

∴△CDF≌△BAE（SAS），

∴CD＝BA．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

19．见解析

【分析】

想办法证明△BEO≌△CDO（AAS）即可解决问题．

【详解】

∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，

∵在Rt△ABD和Rt△ACE中

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴AD＝AE，∠B＝∠C，

∴BE＝CD，

又∵在Rt△OBE和Rt△OCD中

∴△BEO≌△CDO（AAS），

∴OE＝OD．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线的性质，把证明线段相等转化为证明三角形全等是常用的思路．

20．见解析

【分析】

根据等边三角形角分线的性质，可得∠OBC＝∠OCB＝30°，由BC的垂直平分线，可知BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，∠OEF＝60°，再证∠OFE＝60°，得出△OEF为等边三角形．

【详解】

∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC＝30°，

∴BE＝OE，∠EBO＝∠EOB＝30°，

∴∠OEF＝∠EBO+∠EOB＝60°，

同理，∠OFE＝∠FCO+∠FOC＝60°，

∴△OEF为等边三角形，

【点睛】

此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

21．6.

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质和中线的性质解答即可．

【详解】

∵△ABC是等边三角形，BD是中线

∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，AD=CD=

AC

∵DE⊥AB于E

∴∠ADE=90°-∠A=30°

∴CD=AD=2AE=2

∴∠CDF=∠ADE=30°

∴∠F=∠ACB-∠CDF=30°

∴∠CDF=∠F

∴DC=CF

∴BF=BC+CF=2AD+AD=6

22．

（1）见解析；

（2）不成立，AB＝CN﹣CM，见解析

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，证明△BAM≌△CAN，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；

（2）仿照

（1）的证明过程解答即可．

【详解】

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，

∵△AMN是等边三角形，

∴AM＝MN＝AN，∠MAN＝∠AMN＝∠ANM＝60°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS）

∴BM＝CN，

∴AB＝BC＝BM+CM＝CN+CM；

（2）解：

AB＝CN+CM不成立，AB＝CN﹣CM，

由

（1）可知，∠BAC＝∠MAN

∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM和△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS）

∴BM＝CN，

∴AB＝BC＝BM﹣CM＝CN﹣CM．

【点睛】

本题为三角形的综合题，涉及知识点有等边三角形性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等．在

（1）、

（2）中证明三角形全等是解题的关键．

23．

（1）①

；②3

（2）AM=

DE（3）

【分析】

（1）①根据全等三角形的判定与性质推出△ABC与△DAE全等，再根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半即可得出答案；②根据题意推出△ADE为等边三角形，推出AB的长度为6，即可得出AM

（2）过点A作AN⊥ED于N,证出∠DAN=

∠DAE，ND=

DE和∠CAM=

∠CAB，再证∠DAN+∠CAM=90°，∠DAN=∠C，推出

△AND≌△AMC，即可得出答案.

【详解】

（1）①

；②3

（2）猜想：

结论AM=

DE.

证明：

过点A作AN⊥ED于N

∵AE=AD，AN⊥ED

∴∠DAN=

∠DAE，ND=

DE

同理可得：

∠CAM=

∠CAB，

∵∠DAE+∠CAB=180°，

∴∠DAN+∠CAM=90°，

∵∠CAM+∠C=90°

∴∠DAN=∠C，

∵AM⊥BC∴∠AMC=∠AND=90°

在△AND与△AMC中，

∴△AND≌△AMC，

∴ND=AM

∴AM=

DE.

（3）①图略；线段AC的中点或（线段AD的垂直平分线与线段AC的交点）或（线段BC的垂直平分线与线段AC的交点）等方法正确均可以给分；

②

PE为所求，由题意知，BC=

AB=

所以PE=

AB=

【点睛】

本题考查的知识点是旋转的性质及四边形综合题，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质及四边形综合题.