最新北师大版七年级数学上册《51认识一元一次方程》学案Word文件下载.docx
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（1）运用性质1时，一定要注意等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，才能保证所得结果仍是等式，这里要特别注意“同时”和“同一个”.
（2）运用性质2时，除了要注意等式两边同时乘（或除以）同一个数，才能保证所得结果仍是等式以外，还必须注意等式两边都不能除以0，因为0不能做除数.
知识点4利用等式的基本性质解一元一次方程
利用等式的基本性质解一元一次方程，就是利用等式的性质把方程ax+b＝0（a≠0）进行变形，最后化为x＝－
的形式，它一般先运用性质1，将ax+b=0变形为ax=－b，然后运用性质2，将ax＝－b变形为x＝－
即可.
课堂检测
基本概念题
1、下列各式是方程的是，其中是一元一次方程的是.
（1）3x－2=7；
（2）4+8=12；
（3）3－x；
（4）2m－3n＝0；
（5）3x2－2x－1＝0；
（6）x+2≠3.
2、小明买4个笔记本和3支圆珠笔一共用了4.7元，已知笔记本每本0.8元，圆珠笔每支多少元（只列方程）?
3、利用等式性质解方程：
（1）
x＝3；
（2）5x－7=8；
（3）3x－4=x.
基础知识应用题
4、若
a2x-1和
ax+2是同类项，则x=.
综合应用题
5、已知关于x的方程3a－x＝
+3的解是x=4，求a2－2a的值.
探索创新题
6、对于有理数a，b，c，d，规定—种运算
=ad－bc，如
1×
（－2）－0×
2=－2.若
，求x的值.
体验中考
方程4x－1＝3的解是（）
A.x＝－1B.x=1C.x＝－2D.x＝2
学后反思
附：
课堂检测及体验中考答案
1、解析：
方程是含有未知数的等式，
（2）虽然是等式，但其中不含未知数，（3）含未知数，但不是等式，（6）表示不等关系，故
（2）（3）（6）不符合方程的概念.（4）含有两个未知数，不是一元一次方程，（5）未知数x的指数是2，不是一元一次方程.
答案：
（1）（4）（5）；
（1）
方法
（1）判断一个式子是不是方程必须看两点：
一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可；
（2）判定一个方程是不是一元一次方程，要看方程是否只含一个未知数并且未知数的指数是1（次）.
2、分析：
本题的等量关系是：
买笔记本的钱+买圆珠笔的钱=总钱数.
解：
设圆珠笔每支x元，由题意得0.8×
4+3x＝4.7.
点拨列方程的关键是根据题意找出题中所给的（或隐含的）等量关系，依据等量关系列出方程.
3、分析：
（1）可直接用等式的性质2，两边同乘2.
（2）、（3）要先用等式的性质1，再用性质2.
（1）等式两边都乘2，得x＝6.
（2）等式两边都加上7，得5x=15，等式两边都除以5，得x＝3.
（3）等式两边都减去x，得2x－4=0，等式两边都加上4，得2x＝4，
等式两边都除以2，得x＝2.
4、分析：
因为两个代数式是同类项，根据同类项的定义可知，相同字母的指数相同，
可得2x－1＝x+2.再运用等式性质可求x的值.
因为
a2x-1与
ax+2是同类项，所以2x－1=x+2.
两边同时减去x，得x－1=2.两边同时加上1，得x＝3.
3
5、分析：
由方程的解的意义可知，x＝4必使方程左右两边相等，可把x＝4代入方程3a－x=
+3，得到关于a的方程，再解方程求出a.
把x＝4代入方程3a－x＝
+3，得3a－4＝
+3，即3a－4＝5，解得a＝3.当a＝3时，a2－2a＝32－2×
3＝3.
6、分析：
根据题中所给的运算列出方程.
根据新运算，得
=0×
5－（－4）×
（3－x）=12－4x，
所以12－4x＝8.方程两边都减去12，得12－4x－12=8－12，即－4x=－4.
方程两边都除以－4，得x＝1.
点拨理解新运算的法则是解本题的关键.
解析：
由等式性质得4x=3+1，所以4x＝4，所以x＝1，故选B.答案：
B
5.2解方程
1.能运用等式性质解一元一次方程.
2.理解移项的概念.
3.能根据解方程的基本步骤，灵活、准确地解一元一次方程.
4.初步体会运用换元法进行转化的数学思想.
1.正确掌握移项的方法求方程的解.
2.灵活掌握和运用解一元一次方程的基本程序.
3.解方程时如何去括号.（①不漏乘括号外的因数②注意括号外为负因数时，去括号后各项的符号都要改变。
）
如图5—2—1所示，天平的两个盘内分别盛有51g和45g的盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内，才能使天平平衡?
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知识点1移项
方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项.
（1）移项的依据是等式的基本性质1，
（2）移项是将方程中的某项从方程的一边移到另一边，而不是方程左边或右边的某些项交换位置，（3）移项时要变号，不变号不能移项.
知识点2解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程的一般步骤：
变形名称
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边同乘各分母的最小公倍数
等式基本性质2
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
去括号法则，分配律
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项要变号）
等式基本性质1
合并同类项
把方程化成ax=b（a≠0）的形式
合并同类项法则
未知数的系数化为1
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=
1、下列解方程的过程中，移项错误的是（）
A.方程2x+6=－3变形为2x=－3+6
B.方程2x－6＝－3变形为2x=－3+6
C.方程3x＝4－z变形为3x+x=4
D.方程4－x=3x变形为x+3x＝4
2、解方程：
－（x－5）=
.
3、解方程：
4、已知
的倒数与
互为相反数，求－a2－1的值.
5、若方程
与关于x的方程
的解相同，求a的值.
关于x的方程4x－3m＝2的解是x=m，则m的值是.
通过移项验证变形是否正确.答案：
A
点拨移项是把方程中的项改变符号后，从方程的一边移到另一边，而A中的6从左边移到右边未变号.
方程两边同乘6，约去分母，再去括号.
去分母得2（2x+1）－6（x－5）=9.去括号，得4x+2－6x+30＝9.
移项得4x－6x＝9－2－30.合并同类项，得－2x＝－23.
系数化为1，得x＝
技巧解一元一次方程的一般步骤为：
去分母，去括号，移项，全并同类项，未知数的系数化为1，但在解题时要根据方程的特点灵活运用求解步骤.
原方程的分母是小数，可以先用分数基本性质把它们都化成整数，原方程就是
（0.17－0.2x）=1，所以可把
的分子、分母都乘10，把
的分子、分母都乘100.
原方程可以化成
.去分母，得30x+140x=21+119.
合并同类项，得170x=140.系数化为1，得x=
警示利用分数基本性质把分子、分母同时扩大相同的倍数，把分母化成整数，与方程两边同乘分母的最小公倍数去分母容易混淆.
由互为相反数的两个数的和为0，可得方程，求得a，再代入－a2－1求值.
由题意，得
，去分母，得a+2a－9＝0，
移项得a+2a=9.合并同类项，得3a＝9.系数化为1，得a=3.
所以－a2－1＝－32－1＝－10.
点拨做题时要认真审题，正确理解倒数、相反数的概念与性质，然后列出方程.
因为两个方程的解相同，即第一个方程的解也是第二个方程的解.只要先求出第一个方程的解，代入第二个方程，便可求得a的值.
由第一个方程得2（1－2x）+4（x+1）=12－3（2x+1），
化简得2－4x+4x+4=12－6x－3，6x=3，所以x=
把x＝
代入第二个方程，得到以a为未知数的方程：
；
即
.解这个方程得a=6.
提示解出第一个方程后，第二个方程中的x便为已知数，再解以a为未知数方程.
由方程的解的定义可知，4m－3m=2，所以m＝2.答案：
2
5.3我变胖了
1.通过分析图形问题中的数量关系，运用方程解决问题.进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，并认识方程的重要性.
2.通过对“变化中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力.
寻找面体积问题中的等量关系。
相关分式—形积变化问题
图5—4—1是一筒状的地膜示意图，其内圆半径和外圆半径分别为r＝10厘米和R=20厘米，高h＝50厘米.如果地膜的厚度是0.005厘米，你能计算出这些地膜的总长度是多少吗?
知识点1相关公式
长方体体积＝长×
宽×
高.
圆柱体积=πr2h（h为圆柱的高，r为底面半径）.
长方形周长=2×
（长+宽），长方形面积=长×
宽.
知识点2形积变化问题
对于这类问题，虽然形状、面积和体积都可能发生变化，但应用题中仍然含有一个相等关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的等量关系找出来，然后根据这个等量关系列出方程.此类问题常见的有以下几种情况：
（1）形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等.
（2）形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后周长相等.
（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.
1、用5.2米长的铁丝围成一个长方形，使得长比宽多0.6米，围成的长方形的长为多少米?
设长方形的宽为x米，可列方程为（）
A.x+（x+0.6）＝5.2B.x+（x－0.6）=5.2
C.2[x+（x+0.6）]=5.2D.2[x+（x－0.6）]＝5.2
2、用两根等长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形边长比圆的半径长2（π－2）m，求两根等长铁丝的长度，并通过计算比较说明谁的面积大.
3、如图5－4－2所示，地面上钉着用一根彩绳围成的直角三角形，如果将直角三角形锐角顶点的一个钉子去掉，并将这根彩绳钉成一个长方形，则所钉成的长方形的长、宽各是多少?
面积是多少?
古尔邦节，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节.如图5—4—3，圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm，现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等.设每人向后挪动的距离为x，根据题意，可列方程（）
A.
B.
C.2π（60+10）×
6＝2π（60+x）×
8
D.2π（60－x）×
8＝2π（60+x）×
6
依据长方形周长公式就可得答案.答案：
C
此题的等量关系为：
正方形周长＝圆周长.
设圆的半径为rm，则正方形边长为[r+2（π－2）]m.由题意得2πr＝4（r+2π－4），
即r＝4.故圆周长是8πm，圆面积是16πm2，正方形面积是4π2m2.
因为16π>
4π·
π，所以圆的面积更大.
答：
铁丝长为8πm，圆的面积大.
规律周长相等的圆和正方形，圆的面积大.
由于直角三角形有两个锐角，所以此题应分两种情况讨论：
去掉顶点A的钉子围成一个长方形，此时BC是长方形的一条边，或去掉顶点B的钉子围成一个长方形，此时AC是长方形的一条边.我们可以把AC或BC分别看做长方形的长，把宽设为x，在图形变化过程中，彩绳的长度保持不变，即等量关系为：
三角形的周长＝长方形的周长.
设长方形的宽为x当去掉顶点A的钉子时，6+8+10＝6×
2+2x，解得x＝6，
所以长方形的长为6，宽为6，S1＝6×
6=36.
当去掉顶点B的钉子时，6+8+10=8×
2+2x，解得x=4，
所以长方形的长为8，宽为4，S2＝8×
4＝32.
所钉成的长方形的长为6，宽为6，面积为36；
或长为8，宽为4，面积为32.
根据挪动前6人之间的距离与挪动后8人之间的距离相等，可列方程为：
.答案：
5.5打折销售
1.能列出一元一次方程解决打折销售问题.
2.了解用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
3.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，培养逻辑思维能力.
1．用列方程的方法解决打折销售问题.
2．准确理解打折销售问题中的利润（利润率）、成本、销售价之间的关系.
打折销售问题中的基本概念—用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
育英中学暑假期间组织该校的三好学生到北京旅游.甲旅行社说：
“带队老师买一张全票，学生可享受半价的优惠.”乙旅行社说：
“包括带队教师在内，全部六折优惠.”若全程票价是240元，你能根据学校的学生数选择一家比较便宜的旅行社吗?
当学生数为多少时，两家旅行社的收费相同?
知识点1与打折销售有关的概念及公式
与打折销售有关的概念:
成本价：
即进价，商店进货时的价格.标价：
在商店出售时所标明的价格.售价：
商品出售时的实际价格.利润率：
商品的利润与成本价的比值.
与打折销售有关的公式：
①利润=售价－成本价（进价）；
②利润率=
×
100％；
③售价；
成本价+利润＝成本价×
（1+利润率）；
④售价＝标价×
打折数.
（1）在解决实际问题时，要认真审题，如不打折时，售价=标价；
打折时，售价=标价×
打折数；
（2）在以上公式中，只要知道其中的两个量，便能求出另一个量.
知识点2用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
（1）审：
审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；
（2）找：
找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系；
（3）设：
设未知数（一般求什么，就设什么为x）；
（4）列：
根据这个等量关系列出需要的代数式，从而列出方程，
（5）解：
解所列出的方程，求出未知数的值；
（6）检：
检验所求解是否符合题意；
（7）答：
写出答案（包括单位）.
1、某商品标价1375元，打8折售出，仍可获利10％，则该商品的进价是元；
（2）某种晶牌电脑的进价为5000元，按物价局定价的9折销售，获利760元，则此电脑的定价为元.
2、超市某种商品的标价是2200元，在“五一”促销活动中，该商品打八折销售，结果仍获利10％，求此商品的进价.
3、某书店一天内销售两种书，甲种书共卖得1560元，为了发展农业，乙种书举行送书下乡活动，共卖得1350元，若按甲﹑乙两种书的成本分别计算，甲种书盈利25％，乙种书亏本10％，试问该书店这一天共盈利（或亏本）多少元?
由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低
，现价为2400元的某款计算机，3年前的价格为.
1、分析：
凡获利，均是在进价的基础上获利，有如下关系：
打折后售价=进价+利润＝进价×
（1+利润率）.
（1）设进价为x元，由题意得1375×
0.8＝（1+10％）x，解得x=1000.
（2）设定价为x元，由题意得0.9x＝5000+760，解得x=6400.
（1）1000
（2）6400
点拨利润=售价－进价.
商品的实际售价－进价=利润，利润＝进价×
利润率，因而商品的实际售价－进价＝进价×
利润率.
设此商品的进价是x元.
由题意得2200×
80％－x=10％·
x，解得x=1600.
该商品的进价是1600元.
方法明确“进价”“打折”“标价”等概念的实际意义是解题的关键.
本题可利用公式：
总销售额－总成本=盈利（或亏本）来做.关键是求出甲、乙两种书的成本.甲种书的成本为
元；
乙种书的成本为
元.
设该书店这一天盈利x元.根据题意，得
1560+1350=x+
.解得x=162.
因为结果为正数，所以这一天盈利.
该书店这一天共盈利162元.
设3年前的价格为x元，则x（1－
）=2400，∴x=3600.
3600元
5.6“希望工程”义演
1.通过分析有关和、差、倍、分问题中已知数与未知数之间的等量关系，列出一元一次方程解应用题.
2.巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤，并能验证解的合理性.
3.借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
1.学会用一元一次方程解决有多个未知量的实际问题.
2.分析等量关系，正确选择适当的未知量设元，列出方程.
列方程解应用题的步骤—如何找等量关系—解的合理性
希望中学七年级一班40名同学参加了学校组织的绿化荒山活动，其中男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，一共种了104棵树，你能求出该班男生、女生各多少人吗?
知识点1如何找相等关系
学会寻找等量关系是列方程的关键.在本节所涉及的和、差、倍、分问题中，要善于利用“总量等于各个分量之和”来确定等量关系，列出方程.
知识点2解的合理性
列方程解应用题所求出的解不同于一般的一元一次方程的解，它必须要符合题目的实际情况，否则就不是应用题的解.
1、某书店将定价为10元和8元的两种畅销书共60本按定价售出后，将所得的书款546元全部捐献给了“希望工程”.问：
定价为10元和8元的书各卖了多少本?
2、某工厂安排600名工人生产A，B型机器共69台，已知7名工人能生产一台A型机器，10名工人能生产一台B型机器.
（1）生产A型机器和B型机器的工人各有多少名?
（2）如果人数不变，能生产这两种机器共70台吗?
3、沿着一条公路栽树，第一棵栽在路的始端，以后每隔50米栽一棵，要求路的末端栽一棵，这样只缺少21棵树；
如果每隔55米栽一棵，要求在路的末端栽一棵，这样只缺少1棵树.求树的棵数和这条公路的长度.
4、甲、乙、丙三个粮仓共存粮食80吨，已知甲、乙两仓存粮数之比是1：
2，乙、丙两仓存粮数之比是1∶2.5，求甲、乙、丙三仓各存粮多少吨?
小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张.设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A.x+5（12－x）=48B.x+5（x－12）＝48
C.x+12（x－5）＝48D.5x+（12－x）＝48
本题存在的等量关系是：
10元的畅销书的本数+8元的畅销书的本数＝60本，10元畅销书所得书款+8元恬销书所得书款=546元.
设定价为10元的书卖了x本，则定价为8元的书卖了（60－x）本.由题意，得10x+8（60－x）＝546，解得x＝33.
60－x=60－33＝27.
定价为10元和8元的书分别卖了33本和27本.
规律列方程解应用题的关键是要从问题中找出等量关系，每一个等量关系表示成等式后，要搞清楚它的左边是什么，右边是什么，然后恰当设未知数，把等式左边和右边的各个量用舍有已知数和未知数的代数式表示.
本题的数量关系是：
生产A，B型机器共69台.
（1）设生产A型机器的工人有x名，则生产B型机器的工人有（600－x）名.
根据题意得
=69.解得x=210.
600－210=390.
所以生产A型机器的工人有210名，生产B型机器的工人有390名.
（2）设生产A型机器的工人有y名，则生产B型机器的工人有（600－y）名.
根据题意，得
=70.解得y=233
因为人数不可能是分数，所以y＝233
不符合题意.
故本题无解，也就是说，如果人数不变，不能生产这两种机器共70台.
点拨解这类问题，应充分挖掘和利用题中的等量关系，并要注意解的合理性.
本题有三个量：
路长、树的棵数和相邻两棵树之间的距离，于是就有了一个等量关系式：
相邻两棵树之间的距离×
（棵数－1）=路长.
设有树x棵，则当每隔50米栽一棵树时，需（x+21）棵树，当每隔55米栽一棵树时，需（x+1）棵树，由题意得方程50（x+21－1）＝55（x+1－1）.
解这个方程得x=200.
把x=200代入50（x+21－1）得50（200+21－1）=11000
有树200棵，这条公路长11000米.
由题意知：
甲仓存粮数∶乙仓存粮数=1∶2，乙仓存粮数：
丙仓存粮数=1∶2.5，为了研究问题方便通常把两个比例式统一起来，将1∶2.5两项同乘2，得2∶5，于是有甲仓存粮数∶乙仓存粮数：
丙仓存粮数=1∶2∶5.本题的等量关系是：
甲仓存粮数+乙仓存粮数+丙仓存粮数=总存粮数.本题适合用间接设未知数的
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