开放式基金 规划模型文档格式.docx

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A5

A6

A7

A8

投资额

6700

6600

4850

5500

5800

4200

4600

4500

年利润

1139

1056

727.5

1265

1160

714

1840

1575

上限

34000

27000

30000

22000

23000

25000

请帮该公司解决以下问题：

（1）就表1提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？

（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。

公司咨询有关专家后，得到以下可靠信息：

同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005万元，1018.5万元；

同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045万元，1276万元；

同时投资项目A2，A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353万元，840万元，1610万元，1350万元，该基金应如何投资？

（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。

投资项目总体风险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。

专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

表2

风险率（%）

32

15.5

23

31

35

6.5

42

（4）开放式基金一般要保留适当的现金，降低客户无法兑现的风险。

在这种情况下，将专家的信息都考虑进来，基金该如何决策，使得尽可能降低风险，而一年后所得利润尽可能多？

（5）这个项目投资，是必须资金全部到位才有利润，还是只要第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算？

问题分析

对于问题

（1），可用整数线线规划模型求解，用S表示基金总额，mi表示项目Ai的投资上限，

表示项目Ai每股的投资额，

表示项目Ai每股的预计年利润，

表示对项目Ai的投资股数，

表示项目Ai的投资上限，

表示一年后总投资利润。

在约束条件

和总额约束

下，求出maxR=

所对应的

，就可以得出所要求的解。

对于问题

（2），引入0－1变量，同时投资时为1，否则为0。

，用

表示受同时投资影响时项目Ai每股的预计年利润，当A1，A3同时投资时，

>

0，A=1；

当A1，A3不同时投资时，x1x3=0，A=0，A1，A3各最多投资5股，6股，所以A1，A3是否相互影响的约束可表示为

；

同理可得其他两个是否相互影响的约束

和

，加上问题

（1）的约束条件，求出

即可得出所要求的解。

对于问题（3），考虑专家预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量，追求利润尽可能大、风险尽可能小。

设qi表示项目Ai的风险率,则Ai的风险为

总体风险

，该问题是一个双目标规划：

maxR（同模型2）&

minQ.引入变量s=Q，利用

—法构造评价函数

，把上述双目标规划化为单目标规划：

对于问题（4），在问题3的基础上考虑保留适当的现金，使得尽可能降低风险，而一年后所得利润尽可能多，把投资者偏好合并分类并建立效用函数，作出投资心理曲线，求出保留现金的比例并作归一化处理，综合以上建立模型求解即可。

对于问题（5），假设不考虑风险因素，单纯追求利润最大，投资额是连续的，即第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算，将模型2中的整数约束条件去掉，给目标函数中的各投资项分别乘以相应的利润率然后求解即得。

符号定义和说明

…………………………表示基金总额

…………………………表示项目Ai每股的投资额

…………………………表示项目Ai每股的预计年利润

…………………………表示对项目Ai的投资股数

…………………………表示项目Ai的投资上限

…………………………表示一年后总投资利润

…………………………表示受同时投资影响时项目Ai每股的预计年利润

qi…………………………表示项目Ai的风险率

……………………表示项目之间无相互影响时Ai的利润率

……………………表示项目之间有相互影响时Ai的利润率

模型的建立及求解

问题

（1）

1）模型的建立

若对某项目投资，则该项目的总投资额必须是该项目投资额的整数倍，假设专家的信息有较高的可信度，预计利润能正确反映各项投资的利润；

投资过程中交易费为0；

该基金中没有“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵；

不考虑其他因素，单纯追求利润最大，则可建立如下整数线性规划模型：

模型1

2）模型的求解

应用Lindo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果如下：

（程序见附录1）

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）36841.50

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

N15.000000-1139.000000

N21.000000-1056.000000

N31.000000-727.500000

N44.000000-1265.000000

N55.000000-1160.000000

N62.000000-714.000000

N75.000000-1840.000000

N85.000000-1575.000000

由以上结果得出使得第一年所得利润最高的投资方案如下表所示：

表3

投资股数（股）

5

1

4

2

33500

29000

8400

22500

总投资

149850

5695

5060

1428

9200

7875

总利润

36841.5

问题

（2）

假设专家的信息有较高的可信度，单纯追求利润最大，考虑项目之间的相互影响，修正模型1得到模型2如下：

应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果如下：

（程序见附录2）

Linearizationcomponentsadded:

Constraints:

64

Variables:

16

Localoptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

37607.00

Extendedsolversteps:

77

Totalsolveriterations:

5709

VariableValueReducedCost

A1.0000000.3890000E+09

N11.000000-1005.000

N36.000000-1018.500

B1.0000000.000000

N44.0000000.1186489E+09

N55.0000000.9491870E+08

C0.000000-0.5153000E+09

N20.000000-1056.000

N64.000000-714.0000

N75.000000-1840.000

N85.000000-1575.000

由以上结果得出考虑投资项目之间互相影响的情况下使所得利润最高的投资方案如下表所示：

表4

投资股数

6

29100

16800

总投资额

149100

1005

6111

4180

6380

2856

37607

问题（3）

考虑专家预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量，追求利润尽可能大、风险尽可能小

设qi表示项目Ai的风险率，则总体风险

，投资总利润R同模型2，从而可建立如下模型

maxR（同模型2）

minQ

引入变量s=Q，利用

，其中权系数

由专家经验给出，可以把上述双目标规划化为如下单目标规划：

模型3

应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，权系数

取0.8，编程求得结果如下：

（程序见附录3）

Localoptimalsolutionfound.

27200.80

48

948

A1.0000000.000000

N15.0000000.000000

N36.000000-502.1334

N42.000000-836.0000

N55.000000-1020.800

C0.0000000.000000

N20.000000-844.7999

N60.000000-571.1999

N75.000000-1472.000

N85.000000-1260.000

S10720.000.000000

由以上结果得出考虑投资项目之间互相影响和投资风险的情况下使所得利润最高的投资方案如下表所示：

表5

11000

119100

5025

2090

30301

总体风险

10720（A1的风险）

问题（4）

模型3中未考虑保留适当的现金，从开放式基金具有由投资者随时赎回的特性来理解，相比交易所挂牌上市的证券，开放式基金以其单位基金净值作为赎回标准，可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。

对于突发性的赎回请示，基金管理人往往会通过保留一定的资金来应付。

基于此，我们在模型3的基础上追加考虑保留适当的现金，用以降低客户无法兑付的风险，进一步修正模型3。

假设考虑保留部分资金，追求利润最大、风险最小；

不考虑原始投资人1%的认购费率、0.5%的赎回费率；

考虑保留资金的存储利润；

满足模型3中的假设。

模型3中未考虑投资者的风险偏好，而这个因素直接涉及投资方向和势头，对模型结果的影响很大。

在实际中，对于不同风险偏好的投资者，其最佳投资方案有所不同。

为了反映实际情况，我们把投资者偏好合并分类，各自对应的权值为：

高度冒险：

WR=0.8，WQ=0.2；

比较冒险：

WR=0.6，WQ=0.4；

中性冒险：

WR=0.5，WQ=0.5；

比较保守：

WR=0.4，WQ=0.6；

高度保守：

WR=0.2，WQ=0.8。

WR，WQ在满足WR+WQ=1的条件下，具体取值可适当调整，这并不影响算法的实现。

1）风险偏好与效用函数。

投资的目的是为了将来更大的消费，即财富的增加。

不同的财富水平投资者获得的效用是不同的，同样的财富增加量对不同的投资者，其带来的效用增加也有所不同。

财富x与效用U之间的数量关系通常称为财富的效用函数，记为U（x）。

U（x）一般是增函数，即

，但对于不同的投资者其增长的形态不同。

以下是三种典型效用函数形态。

风险回避型这种人对财富的增加不很敏感，或财富增加的边际效用是递减的，通常不愿意为增加财富而冒大风险，如图1所示。

风险中性型这种人对财富增加的态度始终是相同的，边际效用是一常数，如图2所示。

风险偏爱型这种人对财富具有强烈的渴望，越富越想富，财富增加的边际效用是递增的，因而愿意为增加财富而承担较大的风险，如图3所示。

图1图2图3

以上三种基本形态均可用下列二次效用函数表示：

虽然实际的效用函数有可能不是二次的，但二次效用函数具有更好的概率特性。

2）投资心理曲线。

一般来说，人们的心理变化是一个模糊的概念，在此，对一个投资方案的看法（即对投资者的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。

通过查找心理学的相关资料，我们定义投资者的心理曲线为

，其中

表示投资者平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。

实力因子是反映不同投资者的平均收入和消费水平的标准。

确定一个投资方案应该尽力考虑所有不同投资者的实力因子，而在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此不同地区的实力因子也不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一实力因子进行研究。

为此我们以中等地区的收入水平为例，根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入为1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限为35年，则人均收入为52.5万元。

取

=0.5（即吸引力的中位数），则

≈6.30589。

3）保留现金比例。

设保留现金比例为g，不同投资者所占人群比例为

，又得知他们的风险偏好不同，主观风险权系数为WQi，i=1，2，3，4，5，则

根据投资心理曲线，参照风险偏好和效用函数，并根据网上调查，得知投资者基本上划分为5种类型，通过代入模型计算，得到相关信息如表6所示。

表6

风险偏好

高度冒险

比较冒险

中度冒险

比较保守

高度保守

所占人群比例（%）

8.5

24.5

33

26.5

7.5

风险权系数归一化

0.08

0.16

0.20

0.24

0.32

保留现金比例（%）

19.96

保留的资金存入银行比闲置更有利，这笔资金是用来应对突发性的赎回请求的，随时都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利润按0.72%计。

将此代入模型3，并把基金总额约束修正为：

，得模型4。

应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表7所示。

表7

117800

保留资金

29940

存款利润

215.568

30901.568

10720

以上是在假设这一年中未发生突发性的赎回请求，保留资金未被动用的情况下的总利润。

考虑到最不好的情况，即保留资金还未存入银行就被动用，无存款利润可言。

综上所述，我们认为用于保留的资金为29940万元比较合适，总利润应该在（30686，30901.568）范围内。

问题（5）

假设不考虑风险因素，单纯追求利润最大；

第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算。

设项目之间有影响时的利润率为

，无影响时为

。

引入0－1变量

，i=1，2，…，8，则Ai的投资金额的上下限约束为：

，可建立如下模型5：

s.t.

其中

中的102×

107表示A1，A3各最多投资34000万元，30000万元。

当A1，A3同时投资时，

当A1，A3不同时投资时，

同理可得其他两个是否相互影响的约束。

应用Lingo软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果（程序见附录4）

38330.00

15

3460

Y1.0000000.3823000E+09

N10.4975124E-080.000000

N36.1855670.000000

Z1.0000000.4745993E+09

N44.0000000.000000

N55.1724140.000000

U0.0000000.000000

N23.0303030.000000

N60.0000000.000000

N75.4347830.000000

N85.1111110.000000

表8

3.030303

5.172414

5.434783

5.111111

投资金额

20000

150000

3200

6300

10000

8050

38330

从表8可以看出，这种投资方案将资金全部抛出，未留“适当”现金，不符合开放式基金的特点，欠妥。

比较模型5和模型2的结果，可知模型5的方案中总投资额、总利润与利润率分别为150000万元、38330万元、25.56%，而模型2的方案中总投资额、总利润与利润率分别为149100万元、37607万元、25.2%，显然模型5的投资方案比模型2的更好。

这说明在投资时，只要第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算，利润才会最大；

如果只以单位投资额的整数倍投入，利润的增长则明显滞后，利润率明显偏低，是不合算的方案。

但是模型2的方案中留下了一部分资金备用，符合开放式基金客户投资、撤资自由的特点，而模型5的方案中未留下任何备用资金，一旦客户要求撤资，开放式基金就有失信的风险，不利于其长久发展。

模型的评价

1．模型的优点

（1）采用较为成熟的数学理论建立模型，可信度比较高。

（2）模型的计算采用专业数学软件，可信度较高，便于推广。

（3）模型经多次修正，综合考虑到了风险偏好等方面，给出的最优决策对于有关部门有较大的参考价值。

2．模型的缺点

（1）模型虽然综合考虑了很多因素，但为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入。

（2）模型5只考虑了利润最大，没有考虑风险最小，模型结果与实际有一定差距。

模型的推广

1．模型建立思想还可以进一步解决彩票投注、企业投资、车辆调度、运输费用等方面的规划问题。

2．问题（3）的模型还可以考虑用“理想点法”、“

法”、“极大极小法”等求解多目标规划问题，然后对各种方法得到的投资方案进行比较，优选出更合理的方案。

3．模型应该进一步考虑随便投资（利润按利润率求解）的问题，求解该情况下的最优解，以及考虑多阶段投资等问题。

参考文献

1、运筹学（第3版），刁在筠，刘桂真，宿洁，马建华。

北京：

高等教育出版社，2007。

2、《优化建模与LINDO\LINGO软件》，谢金星，薛毅。

清华大学出版社，2005年。

附录

1、求解模型1的lindo程序

max1139N1+1056N2+727.5N3+1265N4+1160N5+714N6+1840N7+1575N8

st

6700N1+6600N2+4850N3+5500N4+5800N5+4200N6+4600N7+4500N8<

=150000

6700N1<

=34000

6600N2<

=27000

4850N3<

=30000

5500N4<

=22000

5800N5<

4200N6<

=23000

4600N7<

=25000

4500N8<

end

gin8

2、求解模型2的lingo程序

model:

Max=A*（1005*N1+1018.5*N3）+（1-A）*（1139*N1+727.5*N3）+B*（1045*N4+1276*N5）+（1-B）*（1265*N4+1160