第十二届五一数学建模联赛Word文档格式.docx
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和自然环境造成一定的破坏，空气污染的弊病日益突出，特别是日益加重的雾霾天气已
经干扰到社会的出行秩序和生活质量。
国家能源委员会《新能源产业振兴和发展规划》
等“国家新能源发展战略”政策的出台，说明国家已经把能源环境问题上升到国家安全
级别，经济发展转型、节能减排、能源利用新途径和发展新能源等方面的问题亟待解决。
我国大气污染程度越发严重，而由于我国环境治理中，仅水污染与固体废弃物治理的市场化程度较高，其余如大气污染治理由于易受天气影响并且会在不同地域间转移，因此一直以来，政府对大气污染治理的积极性较低，，这部分市场也较为薄弱。
1.2问题重述
一般认为影响空气质量的主要因素有PM2.5、PM10、二氧化氮、二氧化硫、一氧
化碳、臭氧、硫化氢、碳氢化合物和烟尘等。
根据环保部1月12日公布城市空气质量
日报，API污染指数最高的前10位城市是：
第一名石家庄、第二名邯郸、第三名保定、
第四名唐山、第五名天津、第六名郑州、第七名济南、第八名秦皇岛、第九名济宁、第
十名乌鲁木齐和武汉并列。
在此排名中京津冀地区的城市就占了大半，由此可见京津冀
地区大气污染非常严重。
以京津冀地区为研究对象解决以下问题：
（1）参考现有国标和美标，建立衡量空气质量优劣程度等级的数学模型。
（2）查找数据并列出京津冀地区主要污染源及其污染参数，分析影响空气质量的
主要污染源的性质和种类。
（3）建立单污染源空气污染扩散模型，描述其对周围空气污染的动态影响规律。
现有河北境内某一工厂废气排放烟囱高50m，主要排放物为氮氧化物。
早上9点至下午3点期间的排放浓度为406.92mg/m3，排放速度为1200m3/h；
晚上10点-凌晨4点期间的排放浓度为1160mg/m3，排放速度为5700m3/h；
通过你的扩散模型求解该工厂方圆51公里分别在早上8点、中午12点、晚上9点空气污染浓度分布和空气质量等级。
（4）建立多污染源空气污染扩散模型，并以汽车尾气污染源为例求解分析以下问题：
北京在2015年1月15日已经连续三天发生重污染，假设从16日开始北京启动汽车单双号限行交通管制措施，求解北京市二环、四环、六环路在16日早上8点、中午12点、晚上9点时空气污染浓度梯度变化及空气质量等级。
（5）根据你们的模型和求解结果，分析总结影响空气质量的关键参数，为京津冀地区环保部门撰写一份建议报告，给出实现“APEC”蓝天的可行性措施和建议。
二、问题一的分析与模型的建立、求解
2.1问题一的分析
利用数学方法将空气污染程度进行分类，其实质就是用量化的方法反映和评价空气质量。
对于大气环境质量的评价，就是将监测点的监测数据与国家规定的大气质量标准等级相比较，进行综合评价，为环保部门及相关职能部门提供科学管理与污染防治决策依据，并为社会公众对大气环境质量认识提供一种尺度。
第一问说到的对该市的空气污染程度进行分类，那就需要对空气污染指标进行处理后得到一个可以用来衡量其他监测点的标准。
通过查找相关资料我们了解到，目前根据我国空气污染的特点和污染防治工作的重点被计入空气质量指数（AQI）的污染物项目定为：
细颗粒物（pm2.5）、可吸入颗粒物（pm10）、二氧化硫（SO2）、二氧化氮（NO2）、臭氧（O3）.这与我们对问题一的模型假设是一致的，因此我们引入空气质量指数这个概念，应用空气质量指数法来建立和求解模型。
空气质量指数（airpollutionindex，API）是反映大气环境质量水平的重要指标［2］．根据环境空气质量标准和各项污染物对人体健康和生态环境的影响，将常规监测的几种空气污染物浓度简化成为单一的概念性指数值形式，它将空气污染程度和空气质量状况分级表征，适合于表示城市的短期空气质量状况和变化趋势．
2.2符号说明和名词解释
为了便于问题的求解，现将本文中出现的符号进行解释说明：
符号
符号说明
Ii
Ci
第i种污染物的污染分指数
第i种污染物的浓度监测值
Ii,j
Ii,j+1
Ci,j
Ci,j+1
第i种污染物j折点的污染分项指数值
第i污染物的j+1转折点的污染分项数数值
第j转折点上i种污染物的（对应于Ii,j）的浓度限值
第j+1转折点上i种污染物的（对应于Ii,j+1）浓度限值
2.3模型的建立与求解
空气污染分指数Ii,可由实测的浓度值按照分段方程计算。
当第i种污染物浓度为Ci时,Cij≤Ci≤Ci,j+1时其分指数
Ii=
污染指数的计算结果只保留整数,小数点后的数值全部进位。
各种污染物的污染分指数计算出以后,取最大者为该城市的空气质量指数AQI=max（I1,I2,…,In）,该项污染物为该城市空气中首要污染物。
空气污染物浓度（中国统计年鉴）
城市
二氧化硫
年平均浓度
（μg/m3）
二氧化氮
可吸入颗粒物
（PM10）年
平均浓度
一氧化碳
日均值第95
百分位浓度
（mg/m3）
臭氧（O3）日最大
8小时第90
细颗粒物
（PM2.5）年
烟尘的年
硫化氢的
年平均浓
度（ug/m3）
碳氢化合物
北京
26
56
108
3.4
188
89
207
16
20
天津
59
54
150
3.7
151
96
258
30
32
河北
105
68
305
5.7
173
154
476
23
21
中美两国环境质量标准中各污染物质量浓度限值
污染物
取值时间
中国标准
美国标准
一级
二级
三级
SO2（ug/m3）
日平均
50
60
250
365
烟尘（ug/m3）
120
300
500
PM2.5（ug/m3）
65
PM10（ug/m3）
NO2（ug/m3）
80
CO（ug/m3）
4000
6000
O3（ug/m3）
140
200
175
空气质量指数及对应的污染物项目浓度限值
空气质量
指数（AQI）
二氧化硫（SO2）24小时平均/（ug/m3）
二氧化氮（NO2）
24小时平均/（ug/m3）
PM1024小时平均/（ug/m3）
一氧化碳（CO）24小时平均/（ug/m3）
臭氧（O3）24小时平均/（ug/m3）
PM2.524小时平均/（ug/m3）
TSP24小时平均/（u/m3）
40
2
160
35
100
4
75
800
280
350
24
400
1600
565
420
36
625
2100
750
48
1000
875
2620
940
600
1200
举例计算：
AQI（So2、No2、pm10）
AQI（So2）
AQI（No2）
AQI（pm10）
北京
70
79
天津
67.5
河北
72.5
177.5
得到某一天：
北京AQI=max（26、70、79）=79
天津AQI=max（59、67.5、100）=100
河北AQI=max（105、72.5、177.5）=177.5
空气污染指数范围及相应的空气质量级别
空气质量指数空气质量级别空气质量评价
0～50
优
51～100
良
101～200
轻度污染
201～300
中度污染
>
300
重度污染
北京空气质量：
良
天津空气质量：
河北空气质量：
轻度污染
三、问题二的解答
3.1问题二的分析
近年来，京津冀大气污染严重，燃煤、机动车和工业等是主要污染因素。
PM2.5是首要污染物，其中燃煤、机动车和工业排放为其最主要来源。
从相关数据分析，京津冀三地的主要污染源不尽相同。
1.北京机动车尾气排放对大气影响最明显
从2012年情况看，京津冀机动车氮氧化物排放量68.2万吨，占氮氧化物排放总量的30%，其中北京机动车氮氧化物排放量占本地区氮氧化物的比重达45%，分别高于天津28.8个和河北13.9个百分点。
2.天津、河北工业污染对大气影响较突出
工业污染对大气环境的影响较大，2012年，京津冀工业二氧化硫排放量占二氧化硫排放总量的91.2%；
工业氮氧化物排放量占氮氧化物排放总量的68.4%；
工业烟（粉）尘排放量占烟（粉）尘排放总量的82.6%。
分省市看，天津工业污染影响最大，工业二氧化硫占比、工业氮氧化物占比均高于北京和河北；
河北工业烟（粉）尘占比高于北京和天津。
2012年京津冀工业废气排放情况
省市
工业二氧化硫占本地区比重（%）
工业氮氧化物占本地区氮氧化物比重（%）
工业烟（粉）尘占本地区烟（粉）尘比重（%）
北京市
63.2
48.1
46.2
天津市
96.0
82.4
70.2
河北省
92.4
67.8
85.4
3.河北燃煤消费对大气影响很严重
2012年，京津冀燃煤消费总量38927万吨。
河北煤炭消费量占其能源消费总量的88.8%，远远高于北京的25.4%和天津的59.6%。
煤炭消费排放出大量二氧化硫，对大气环境造成很大影响，2012年河北二氧化硫排放量占京津冀的80.8%。
污染参数可参考2.3中所列数据
环保部有关负责人昨日表示，造成京津冀地区近期大范围空气重污染的原因主要有：
一是污染排放强度高，污染物排放量大；
二是气象条件不利，污染物难以及时扩散，尤其是京津冀区域近几天冷空气势力弱，近地面风力小，大气层结稳定，污染物容易形成积聚效应；
三是机动车、北方冬季燃煤采暖污染等对空气质量产生影响。
从各个方面综合得出主要污染源燃：
燃煤、机动车尾气排放、工业排放。
按污染物质的来源可分为天然污染源和人为污染源。
人为污染源人类的生产和生活活动是大气污染的主要来源。
京津冀地区空气污染源的性质主要是认为污染源。
四、问题三的分析与模型的建立、假设和求解
4.1问题三的分析
以河北境内某一工厂废气排放烟囱为点，描述其对周围空气污染的动态影响规律。
在点源的实际扩散中，污染物可能受到地面障碍物的阻挡，因此应当考虑地面对扩散的影响。
处理的方法是，或者假定污染物在扩散过程中的质量不变，到达地面时不发生沉降或化学反应而全部反射；
或者污染物在没有反射而被全部吸收，实际情况应在这两者之间。
由“扩散定律”、“物质质量守恒”可得出无界区域的偏微分方程，在通过假设条件建立初步模型，再由外界因素对模型进行完善，最终得到对以烟囱为点源，不同地区、不同时段的废气排放浓度预测。
4.2模型假设
大量的实验和理论研究证明，特别是对于连续源的平均烟流，其浓度分布是符合正态分布的。
因此我们可以作如下假定：
（1）污染物浓度在y、z轴上的分布符合高斯分布（正态分布）；
（2）在全部空间中风速是均匀的、稳定的；
（3）源强是连续均匀的；
（4）在扩散过程中污染物质量是守恒的（不考虑转化）；
（5）气体的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比；
4.3符号说明和名词解释
符号
平均风速
Q
源强是指污染物排放速率
（
）
瞬时点源的源强以一次释放的总量表示
连续点源以单位时间的释放量表示
连续线源以单位时间单位长度的排放量表示
连续面源以单位时间单位面积的排放量表示
侧向扩散参数，污染物在y方向分布的标准偏差，是距离y的函数，m
竖向扩散参数，污染物在z方向分布的标准偏差，是距离x的函数，m
4.4模型的建立与求解
有效源位于坐标原点o处，平均风向与x轴平行，并与x轴正向同向。
假设点源在没有任何障碍物的自由空间扩散，不考虑下垫面的存在。
大气中的扩散是具有y与z两个坐标方向的二维正态分布，当两坐标方向的随机变量独立时，分布密度为每个坐标方向的一维正态分布密度函数的乘积。
由正态分布的假设条件②，参照正态分布函数的基本形式，取μ＝0，则在点源下风向任一点的浓度分布函数为：
C（x,y,z）=A（x）exp
式中A（x）-待定系数
由守恒和连续假设条件（3）和（4），在任一垂直于x轴的烟流截面上有：
q=
将式（5－16）代入式（5－17）,
由风速稳定假设条件
（1），A与y、z无关，考虑到
积分可得待定函数A（x）=
将式（5－18）代入式（5－16），得大空间连续点源的高斯扩散模式
A（x）=
式中，扩散系数σy、σz与大气稳定度和水平距离x有关，并随x的增大而增加。
当y＝0，z＝0时，A（x）＝C（x，0,0），即A（x）为x轴上的浓度，也是垂直于x轴截面上污染物的最大浓度点Cmax。
当x→∞，σy及σz→∞，则C→0，表明污染物以在大气中得以完全扩散。
点源在地面上的投影点o作为坐标原点，有效源位于z轴上某点，
z＝H。
高架有效源的高度由两部分组成，即H＝h＋Δh，其中h为排放口的有效高度，Δh是热烟流的浮升力和烟气以一定速度竖直离开排放口的冲力使烟流抬升的一个附加高度。
当污染物到达地面后被全部反射时，可以按照全反射原理，用“像源法”来求解空间某点k的浓度。
反射浓度可视为由一与实源对称的位于（0，0，－H）的像源（假想源）扩散到k点的浓度。
k点在以实源为原点的坐标系中的垂直坐标为（z-H），则实源在k点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z轴向下平移距离H：
Cs=
（5－20）
k点在以像源为原点的坐标系中的垂直坐标为（z＋H），则像源在k点扩散的浓度为式（5－19）的坐标沿z轴向上平移距离H：
Cx=
（5－21）
由此，实源Cs与像源Cx之和即为k点的实际污染物浓度：
C（x,y,z,H）=
exp
（5－22）
若污染物到达地面后被完全吸收，则Cx＝0，污染物浓度C（x，y，z，H）＝Cs，即式（5－20）。
（2）地面全部反射时的地面浓度。
实际中，高架点源扩散问题中最关心的是地面浓度的分布状况，尤其是地面最大浓度值和它离源头的距离。
在式（5－22）中，令z＝0，可得高架点源的地面浓度公式：
C（x,y,0,H）=
（5－23）
上式中进一步令y＝0则可得到沿x轴线上的浓度分布：
C（x,0,0,H）=
（5－24）
y方向的浓度以x轴为对称轴按正态分布；
沿x轴线上，在污染物排放源附近地面浓度接近于零，然后顺风向不断增大，在离源一定距离时的某处，地面轴线上的浓度达到最大值，以后又逐渐减小。
地面最大浓度值Cmax及其离源的距离Xmax可以由式（5－24）求导并取极值得到。
令
，由于σy、σz均为x的未知函数，最简单的情况可假定σy/σz=常数
则当
=H/
（5－25）
时，得地面浓度最大值Cmax=
=
（5--26）
由式（5－25）可以看出，有效源H越高，
xmax处的σz值越大，而σz∝xmax，则Cmax出现的位置离污染源的距离越远。
式（5－26）表明，地面上最大浓度Cmax与有效源高度的平方及平均风速成反比，增加H可以有效地防止污染物在地面某一局部区域的聚积。
式（5－25）和式（5－26）是在估算大气污染时经常选用的计算公式。
由于它们是在σy/σz＝常数的假定下得到的，应用于小尺度湍流扩散更合适。
除了极稳定或极不稳定的大气条件，通常可设σy/σz＝2估算最大地面浓度，其估算值与孤立高架点源（如电厂烟囱）附近的环境监测数据比较一致。
通过理论或经验的方法可得σz＝f（x）的具体表达式，代入（5－25）可求出最大浓度点离源的距离Xmax。
现有河北境内某一工厂废气排放烟囱高50m，主要排放物为氮氧化物。
如图：
可以得到废气排放的初始高度，当地风速影响到扩散的速度，和扩散的范围。
下风向印象扩散的范围。
在51公里处的氮氧化物的浓度约为0.001毫克每立方米。
所以为10微克每立方米，有第一问建立的模型可以知道等级为一级，空气质量为优。
在早上8点，中午12点，晚上9点时刻时。
唯有时间早上8点在之列，中午12点，晚上9点时，受到累计作用环境更加恶劣，预测推算AQI指120毫克每立方米空气等级为二级，空气质量为轻度污染。
四、问题四的分析与模型的求解
4.1问题的分析
在4问中，必须分析到污染源，由2问，主要污染源燃：
燃煤、机动车尾气排放、工业排放，多污染源空气污染扩散，在实际的北京市分析时，我们以汽车排放为主。
理想认为家庭燃煤与汽车排放物相比较，甚微，不纳入与之相抗衡比较。
而对于工厂，在北京市的主城区内，工厂也是十分少的。
所以以汽车排放物为主要污染源。
对于北京市的分析，题目要求求解二环、四环、六环的空气质量。
（1）针对二环而言，我们的污染源有二环汽车的排放物，四环汽车排放物扩散到二环，六环汽车排放物扩散到二环。
（2）汽车的排放物主要是一氧化碳、碳氢化合物、氮氧化合物等。
我们在这里就只考虑了以上3种排放物。
（3）我们题目最后的要求是空气质量等级，参考1问模型。
4.2模型的求解
参考第3问的模型，单污染源扩散模型。
本题中多污染源扩散模型建立在但污染源的基础上，以一个地方的汽车排放为一个污染源。
针对二环、四环、六环就为三个污染源，单污染源在模型三中建立。
二环一氧化碳浓度为二环汽车排放浓度加上四环汽车排放扩散到四环的浓度加上六环汽车排放扩散到二环的浓度。
则我们需要北京市二环汽车流量，平均每辆车的日排放量。
就可以得到二环空气质量指数。
从二环快速系统去年的招标书中查到，高架6车道的设计车流量是：
到2015年前，高架6车道平峰时1小时可通过8471辆标准车（大货车或公交车需折合成2-3辆标准车），高峰时1小时可通过10914辆标准车;
2020年的车流量，平峰时1小时可通过10473辆标准车，高峰时1小时可通过12630辆标准车。
每辆车日均排放量
排放物
氮氧化合物
质量（千克）
3
0.2-0.4
0.05-0.15
在早上8点，中午12点时是上下班高峰期，则有平均每小时通过二环的车辆数是10914辆。
晚上9点为平峰期，则平均每小时通过二环的车辆数是8471辆。
由汽车尾气排放的MOBILES模型计算，根据高斯烟雨模型计算。
二环8点，12点时各物质的浓度：
物质
二环
浓度（微克每立方米）
5484．7
68.46
37
四环
6676.9
99.76
64
六环
6002
78.45
根据1问的模型，二环空气等级为二级，空气质量为轻度污染。
四环空气等级为三级，空气质量为重度污染。
六环空气等级为三级，空气质量为中度污染。
在晚上9点时各物质的浓度：
1008.14
47.8
17.2
952.6
43.5
19．4
6252
92.2
23.6
根据1问的模型，二环空气等级为一级，空气质量为良。
四环空气等级为一级，空气质量为良。
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