新人教版高中数学高考总复习等差数列习题及详解及参考答案docWord文件下载.docx
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又a2＋a2008＝2a1005，
∴a1005＝，a1004＝a1005－d＝＋＝2.
3．（文）（2010·
山东日照模拟）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12B．8
C．6D．4
[解析] 由等差数列性质知，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.
∴m＝8.故选B.
（理）（2010·
温州中学）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝（ ）
A．63B．45
C．43D．27
[解析] 由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2（S6－S3）－S3＝45.
4．（2010·
金华十校）等差数列{an}中，Sn是{an}前n项和，已知S6＝2，S9＝5，则S15＝（ ）
A．15B．30
C．45D．60
[解析] 解法1：
由等差数列的求和公式及知，
，∴，
∴S15＝15a1＋d＝15.
解法2：
由等差数列性质知，{}成等差数列，设其公差为D，则－＝3D＝－＝，∴D＝，
∴＝＋6D＝＋6×
＝1，∴S15＝15.
5．（文）（2010·
福建福州一中）设数列{an}的通项公式为an＝20－4n，前n项和为Sn，则Sn中最大的是（ ）
A．S3B．S4或S5
C．S5D．S6
[解析] 由an＝20－4n≥0得n≤5，故当n>
5时，an<
0，所以S4或S5最大，选B.
山师大附中）已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21B．20
C．19D．18
[解析] ∵3d＝（a2＋a4＋a6）－（a1＋a3＋a5）＝99－105＝－6，∴d＝－2，由a1＋a3＋a5＝105得3a1＋6d＝105，∴a1＝39，∴an＝39－2（n－1）＝41－2n，
由an≥0，n∈N得，n≤20，∴a20>
0，a21<
0，故选B.
6．（文）（2010·
辽宁锦州）公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a72＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝（ ）
A．2 B．4
C．8 D．16
[答案] D
[解析] ∵2a3－a72＋2a11＝0，{an}为等差数列，
∴a72＝2（a3＋a11）＝4a7，
∵{bn}为等比数列，b7＝a7，∴a7≠0，∴a7＝4，
∴b7＝4，∴b6b8＝b72＝16.
）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3、S9、S6成等差数列，则（ ）
A．S6＝－S3B．S6＝－2S3
C．S6＝S3D．S6＝2S3
[解析] ∵S3、S9、S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6，
∵Sn是等比数列{an}前n项的和，∴2q9＝q3＋q6，
∵q≠0，∴2q6＝1＋q3，∴q3＝1或－，q3＝1时，S3、S9、S6不成等差数列，应舍去，∴q3＝－，∴S6＝（a1＋a2＋a3）＋（a1＋a2＋a3）q3＝S3（1＋q3）＝S3.
7．（2010·
重庆中学）数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于an·
an＋1的个位数字，则a2010＝（ ）
A．1B．3
C．7D．9
[解析] 由条件知，a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，……可见{an}是周期为6的周期数列，故a2010＝a6＝9.
8．（2010·
广东五校、启东模拟）在等差数列{an}中，a1＝－2010，其前n项的和为Sn.若－＝2，则S2010＝（ ）
A．－2010B．－2008
C．2009D．2010
[解析] ∵－＝2，
∴（a1＋1004d）－（a1＋1003d）＝2，∴d＝2，
∴S2010＝2010a1＋d＝－2010.
9．（文）将正偶数按下表排成4列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
……
28
26
则2010在（ ）
A．第502行，第1列B．第502行，第2列
C．第252行，第4列D．第251行，第4列
[解析] 2010是第1005个偶数，
又1005＝8×
125＋5，故前面共排了125×
2＋1＝251行，余下的一个数2010应排在第4列．
（理）已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a2011的值是（ ）
A．2008×
2009B．2009×
2010
C．2010×
2011D．2011×
2012
a1＝0，a2＝2，a3＝6，a4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：
a1＝0×
1 a2＝1×
2 a3＝2×
3 a4＝3×
猜想a2011＝2010×
2011，故选D.
an－an－1＝2（n－1），
an－1－an－2＝2（n－2），
…
a3－a2＝2×
2，
a2－a1＝2×
1.
∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1
＝2[（n－1）＋（n－2）＋…＋1]．
＝2＝n（n－1）．
∴a2011＝2010×
2011.
10．在函数y＝f（x）的图象上有点列（xn，yn），若数列{xn}是等差数列，数列{yn}是等比数列，则函数y＝f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝2x＋1B．f（x）＝4x2
C．f（x）＝log3xD．f（x）＝x
[解析] 对于函数f（x）＝x上的点列（xn，yn），有yn＝xn，由于{xn}是等差数列，所以xn＋1－xn＝d，因此＝＝xn＋1－xn＝d，这是一个与n无关的常数，故{yn}是等比数列．故选D.
二、填空题
11．一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．
[答案] 11
[解析] ∵a1＋a2＋a3＋a4＝26，an＋an－1＋an－2＋an－3＝110，∴a1＋an＝＝34，
又∵Sn＝＝187，∴n＝11.
12．已知数列{an}：
，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，设bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn＝________.
[答案]
[解析] 由条件知an＝＋＋…＋＝，
∴bn＝＝4，
∴Sn＝4[（1－）＋（－）＋…＋（－）]
＝.
13．（09·
上海）已知函数f（x）＝sinx＋tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈，且公差d≠0.若f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a27）＝0，则当k＝_______________时，f（ak）＝0.
[答案] 14
[解析] ∵f（x）＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f（0）＝0.
∵{an}为等差数列且d≠0，
且f（a1）＋f（a2）＋…＋f（a27）＝0，
∴an（1≤n≤27，n∈N*）对称分布在原点及原点两侧
∴f（a14）＝0.
∴k＝14.
14．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a55＝5，则表中所有数之和为______．
a11 a12 … a19
a21 a22 … a29
… … … …
a91 a92 … a99
[答案] 405
[解析] S＝（a11＋…＋a19）＋…＋（a91＋…＋a99）＝9（a15＋a25＋…＋a95）＝9×
9×
a55＝405.
三、解答题
15．（09·
安徽）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an2·
bn，证明：
当且仅当n≥3时，cn＋1<
cn.
[解析]
（1）a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n（n＋1）－2（n－1）n＝4n.
又a1＝4适合上式，∴an＝4n（n∈N*）．
将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，
∴T1＝b1＝1.
当n≥2时，Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，
∴bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，∴bn＝bn－1，
∴bn＝21－n.
（2）解法1：
由cn＝an2·
bn＝n2·
25－n，
得＝2.
当且仅当n≥3时，1＋≤<
，即cn＋1<
25－n得，
cn＋1－cn＝24－n[（n＋1）2－2n2]
＝24－n[－（n－1）2＋2]．
当且仅当n≥3时，cn＋1－cn<
0，即cn＋1<
16．（2010·
山东）已知等差数列{an}满足：
a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn.
[分析]
（1）由条件和等差数列的通项公式可列出关于a1、d的方程组解出a1和d，代入通项公式及前n项和公式可求得an，Sn.
（2）由an可得bn，观察bn的结构特点可裂项求和．
[解析]
（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，
所以有，解得a1＝3，d＝2，
所以an＝3＋2（n－1）＝2n＋1；
Sn＝3n＋×
＝n2＋2n.
（2）由
（1）知an＝2n＋1，所以bn＝＝＝·
＝·
，
所以Tn＝·
＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：
裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．
17．（文）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2＋n－4.
（1）求证{an}为等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
[分析] 利用an与Sn的关系及条件式可消去Sn（或an），得到an与an－1（或Sn与Sn－1）的关系式，考虑待求问题，故应消去Sn.
[解析]
（1）当n＝1时，有2a1＝a12＋1－4，即a12－2a1－3＝0，解得a1＝3（a1＝－1舍去）．
当n≥2时，有2Sn－1＝an－12＋n－5，又2Sn＝an2＋n－4，两式相减得2an＝an2－an－12＋1，
即an2－2an＋1＝an－12,也即（an－1）2＝an－12，
因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.
若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，即an－an－1＝1，因此{an}为等差数列．
（2）由
（1）知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋（n－1）＝n＋2，即an＝n＋2.
新课标全国）设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·
22n－1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解析]
（1）由已知得，当n≥1时，
an＋1＝[（an＋1－an）＋（an－an－1）＋…＋（a2－a1）]＋a1＝3（22n－1＋22n－3＋…＋2）＋2＝22（n＋1）－1.
而a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.
（2）由bn＝nan＝n·
22n－1知
Sn＝1·
2＋2·
23＋3·
25＋…＋n·
22n－1.①
从而22·
23＋2·
25＋3·
27＋…＋n·
22n＋1.②
①－②得
（1－22）Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·
22n＋1.
＝（4n－1）－n·
22n＋1
＝（22n＋1－2－3n·
22n＋1）
＝[（1－3n）2n＋1－2]
∴Sn＝[（3n－1）22n＋1＋2]．
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