黄昆版固体物理学课后答案解析答案Word下载.docx

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证明：

在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬

球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：

NA=NB=N0=a=2R.

即图中NABO构成一个正四面体。

…

芮2=；

『+k）

1.3、证明：

面心立方的倒格子是体心立方；

体心立方的倒格子是面心立方。

（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）

a3专（「+j）

由倒格子基矢的定义：

@2心3）

j，

-0=ai（a^a3）=

a--

一，a2Xa3=

-4a2

/.b]=2兀咒—咒

-十j+k）

a十j+k）

同理可得:

=—（i-j+k）a

2兀

即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。

所以，面心立方的倒格子是体心立方。

（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）

-a・・

a2=a（i—j+k）

a3拧（「jk）

2；

d=二二@2Xa3）

■0=ai（82X83）=

—，a2Xa3=

a2--

巧（j+k）

-a--

/.bi=2兀X—（j+k）=

a（j+k）

2兀--

=—（i+k）

a即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

2兀--

b3=——（i+j）

所以，体心立方的倒格子是面心立方。

1.5、证明倒格子矢量G=hbi+h2b2+免鸟垂直于密勒指数为（h,h2h3）的晶面系。

h2h3

hih3

G=hbi+h2b2+h3b3

_-G

利用aibj=2码j，容易证明-

h1h2h3

GhihA

CB=0

所以，倒格子矢量G=^3+0鸟+人3匕3垂直于密勒指数为（h1h2h3）的晶面系。

1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为（h,k,l）的晶面系，面间距d满足：

d2=a7（h2+k2+12），

其中a为立方边长；

并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。

简单立方晶格：

ai丄丄，a^~ai,a^—aj,a3—ak

-aXa3

d=2兀』2-a3-

3]"

a2Xa3

-a3>

^a1-

b2=2兀-3-1-，bs=2让

aia2Xa3a1'

a^^a3

—2兀——

倒格子基矢：

d=—i,匕2=—j,d=—k

aaa

晶面族（hkl）的面间距:

倒格子矢量：

G=hb+kb2+lbs，G=hJi+k二j+l—kaaa

面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。

1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。

（111）

[011]。

O重合，B点位矢：

Rb=—ai+aj，（111）面

1、（111）面与（100）面的交线的AB，AB平移，A与0点重合，B点位矢：

Rb=—aj+ak，

（111）面与（100）面的交线的晶向AB=—aj+ak，晶向指数

2、（111）面与（110）面的交线的AB，将AB平移，A与原点与（110）面的交线的晶向AB=—ai+aj，晶向指数［110］。

第二章固体结合

2.1、证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数a=21n2,

＜解＞设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号）于是有

设离子的总数为2N。

取任一负离子作参考离子（这样马

，用r表示相邻离子间的距离，

O‘空“-1—1—1—+1

jrijr2r34

...]

前边的因子2是因为存在着两个相等距离

n的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求

和后要乘2,马德隆常数为

111

a=2[1-

23423

Zn（1+x）=x-0+£

111

当X=1时，有1-^^^..^^n2

234

—2^2

2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为

aPu（r）=-「m+匚rr

试求：

（1）

平衡间距ro；

结合能W（单个原子的）；

体弹性模量；

（4）

若取m=2,n=1O,ro=3A,W=4eV，计算a及P的值。

晶体内能

求平衡间距ro

（、N/aU（r）=—（—

mF）

平衡条件

r乂

—m十

+此=0,ro=（垃严

n十

（2）单个原子的结合能

^--u（ro）,

u（ro）

A（1』）（能戸

2nma

（3）体弹性模量

K计Vo

晶体的体积V=NAr3,A为常数，N为原胞数目

晶体内能U（r）=

7（-

+£

）

Nmot

dr<

3NAr

2ev

29Vo2

由平衡条件

Nma

VzVo

9Vo2

体弹性模量

（4）若取

m十

m2a

[-m

+上）

9Vo

（7o）

3NAro2

=0，得

Nnm

29Vo

m=2,n=10,ro=3A,W=4eV

）n-m

（1』）（

-m

=ro

+2W]

P=1公10-95eV•m1。

=9.^10^9eVm2

2.6、bcc和feeNe的结合能，用林纳德一琼斯（Lennard—Jones势计算Ne在bcc和fee结构中的结合能之比值.

”「b12b6]1rc12d/[

u（r）=4F7-（「）」,u（r）rN（"

）[An7-A（；

）」

r06=2隹b6

2A12

）/（生）

12.252/9.11cc「

2=0.957

14.452/12.13

2.7、对于H2，从气体的测量得到Lennard—Jones参数为s=50咒10》J,b=2.96A.计算fee结构的H2

的结合能［以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为算值比较.

0.751kJ/mo1，试与计

＜解＞以H2为基团，组成fee结构的晶体，如略去动能，分子间按

Lennard—Jones势相互作用,

则晶体的总相互作用能为:

U=2N^'

屮（|卜£

SRij-^=14.45392;

12=12.13188,

=50x10」6erg,b=2.96A,N=6.022x1023/mol.

将R/弋入U得到平衡时的晶体总能量为

U=2x6o022>

cl028/mol%50xl0」6

erg巾2.13朋〉14阿箒］

因此，计

一2.55KJ/mol.

算得到的出晶体的结合能为2.55KJ/mol，远大于实验观察值0.75IKJ/mo1.对于H2的晶体,

量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因.

第三章固格振动与晶体的热学性质

3.1、已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为，Pnj=ajSin（叫t_naqj+j）,

为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。

＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即

叫=艺4nj乏ajsin®

jt+naqpj）

（1）

-7Y―n

巴=£

嘉Q%

j丿

由于卩可^nj数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量,可以忽略不计。

所以监=2监

由于r是时间t的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为

21To212

气=0ajsin伸jt+naq」+円）水=a」

To2

已知较高温度下的每个格波的能量为KT,卩nj的动能时间平均值为

—1LT0

Tnj-

jajT02122

——LJajsin（©

jt+naqj+bj）dt=-PWjLaj2T004

其中L是原子链的长度，P使质量密度，T0为周期。

所以T'

=-Pw2La2=1kT（3）

因此将此式代入

（2）式有时-

pg2

所以每个原子的平均位移为

==送^nj=送

KTKT1

p="

pr]看

3.2、讨论N个原胞的一维双原子链链的结果一一对应。

质量为M的原子位于

（相邻原子间距为

a）,其2N个格波解，当M=m时与一维单原子

2n+1,2n+3;

质量为m的原子位于2n,2n+2,2n+4。

2n-1,

牛顿运动方程

=AeUgneq]

mUln—P（2卩2n-坞卄-坞nJ

MU；

nf=-P（242M-y2n42-42n）

N个原胞，有2N个独立的方程

设方程的解'

从

2n+

=Bei[Cii~（2n41）aq]

，代回方程中得到

（（2P-m2）A-（2Pcosaq）B=0

I-（2Pcosaq）A+（2P-Mb2）B=0

A、B有非零解,

2P-mt52-2Pcosad

-2Pcosaq2P-Moo2

=0，则

縛2=p（m+M）4mM2sin2aqF}

mM（m+M）2

两种不同的格波的色散关系

1八2R（m+M）"

4mM.2匸、

+{1十[1-sinaq]2}

mM（m+M）

2R（m+M）~r,4mM.2

二P{1—[1—/inaq]2}

一个q对应有两支格波：

一支声学波和一支光学波

cos'

7呼1哼

两种色散关系如图所示:

长波极限情况下qT0,sin（翌）止兰

=（2j]I）q与一维单原子晶格格波的色散关系一致

P和10P，两种原子质量相等,

3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为且最近邻原子间距为a/2。

试求在q=o,q二兀/a处的©

（q），并粗略画出色散关系曲线。

此问题模拟如

H2这样的双原子分子晶体。

XCHO0S_O]S

2n-l2n+l2ii+3

2n-4211-2

答:

（1）

浅色标记的原子位于2n-1,2n+1,2n+3;

深色标记原子位于2n,2n+2,2n+4。

第2n个原子和第2n+1个原子的运动方程：

mUzn=—（p1+^2）+p2卩2n卅+^1^22mU2n十=—（P1+P2）卩2n卅+附卩2.七+卩2n

体系N个原胞，有2N个独立的方程

方程的解:

..“i[Gt-（2n）-aq]

巴n=Ae2

，令©

；

=P1/m,i[3_（2n十）1aq]

巴n厂Be2

00；

=p2/m，将解代入上述方程得:

#2,2

（叫+⑷2

2丄严

侔12e2

）A-（时；

+时；

一©

2）b=0

A、B有非零的解,

2丄22、

伸1+®

2）,

P；

系数行列式满足：

+加。

2亠严®

ie2

222'

^aq

2）2-®

12e2

2柠q

.1O4aq+吩2）^12e2

2i：

+e2）=0

（时吨

2）2-窗e評

—i—aq

2匕aq

代；

e2）=0

22iaq2-Laq

-©

2）A-（时fe2+时2e2）B=0

因为片=P、^2=10P，令⑷0=时=2

=匹=10酥得到

（1伸2-B2）2-（101+20cosaq声；

+话e2

两种色散关系：

=©

0（11±

）20cosqa+101）

当q=0时,

当q=-时,

F；

（11±

J8i）,

a+=J20k）0w_=）2g）0

hiiiwnjil-v

、、―

—■

TTq

（2）色散关系图:

3.7、设三维晶格的光学振动在

q=0附近的长波极限有©

（q）=050-Aq

求证：

f（©

）=V1

1/2

耳v«

f（«

）=0,«

》®

0•

解>

0时，O—«

0=Aq>

0f（©

）=0,©

v0=«

0=Aq=

=A（©

依据可q国（q）=—2Aq,fg）=

（2兀厂匕⑷（q）

ds，并带入上边结果有

心（2；

A1/2

3加425伽4/2

0）

2》3/2g。

3.8、有N

个相同原子组成的面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正

在

k到k+dk间的独立振动模式对应于平面中半径

n至Un+dn间圆环的面积2花ndn，且

2比与T。

2兀ndn=

3s為魅2do5

亠L3s（kBT）辭KbT

E0_2t2J_J

2兀v6护’D

3s（kBT）xdx2dx

2兀vf岸’DeX_1

L253眇

—kdk=—kdk即卩（国戶——则

TT0时，E工T3,Cv=（生）s工T2

3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为

o+kBT2£

「1屉

量子谐振子的自由能为F=U+kBTZ

2kBT

q+€n|1-e

尬V

-kBf

经典极限意味着（温度较高）kBT¥

甩g

应用

ex=1-x+x2+...

所以

q）2

kBT^bT丿

因此

+匕

kBT丿

SEn]爲

其中

3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为

-屁0，使用德拜模型求晶体的零点振动能。

根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故

T=0K时振动能E0就是各振动模零点能

之和。

Eo=广Eo9bW）dB将EoW）=-舷和g®

）=⑷2代入积分有

由于屉m=kB%得Eo^-NkB%

一股晶体德拜温度为

~1O2K，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数XX所需热能相比拟.

3.11、一维复式格子

m=5咒1.67勺0池,

=1.^101N/m（即1.51x104dyn/cm）,求

（1）,光m

学波⑷max'

^min，声学波①rAax。

（2）相应声子能量是多少电子伏。

（3）在300k时的平均声子数。

（4）与©

max相对应的电磁波波长在什么波段。

＜解＞

（1）,（xxA=

/1O4dyn/cm=3.oo讪『,

4X5X1.67X1024

时o

max

_J20（M+m5_

J2"

104S5+25"

67“024dyn/cm=6.70"

013si

4^5咒1.67勺024咒5勺.67天1024

.5"

o4dyn/cm=5.99Do13s-1

5咒1.67咒1024

屉rAax

（2）屉max

161312

=6.58x10—x5.99x10s"

=1.97x10—eV

=6.58x10-6x6.70x1013s-=4.41x10%V

=6.58咒10-6x3.00>

d013s-1=3.95X10-eV

（3）nmax

=0.873朮厂e£

：

7kB^=0.221

min

XO/[T—=0.276

e备in/kBT1

丝=28.伽

第四章能带理论

兀

4.1、根据k=±

—状态简并微扰结果,

求出与£

_及片相应的波函数屮_及屮+?

并说明它们的特性.说

明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布

2*说明能隙的来源（假设Vn=Vn）。

＜解＞令k=+k'

=—简并微扰波函数为W=^0（x）+酬0（x）

EO（k）-e]a+V；

B=0

JVnA+[E0（k'

）-E]B

带入上式，其中E+=E0（k）+|Vn|

V（x）<

0,Vn<

0,从上式得到B=-A,于是

屮+"

［屮0&

）皿（X）卜定中―e豊｝帶

.n；

sin——x

取E=EE_=E0（k）-Vn||Vn|A=-VnB,得到A=B

屮―［屮0（x）M（x）卜廿导—e叽2A

cos——x

VLa

=空，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射,n

由教材可知，甲岸屮_均为驻波.

在驻波状态下，电子的平均速度v（k）为零.产生驻波因为电

子波矢k=二二时，电子波的波长A=

并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。

的0级波函数。

4.2、写出一维近自由电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中，简约波数

＜解＞屮；

（x）怙r

1ikxi:

兀eea

1i沢X

1e2a

i2兀mx

1/兀⑴屮――—ea-■

4）X

第一能带:

仆;

=0叶0,怙）

■7L

1i^x

e2a

第二能带:

卫*

=e2a）.••屮k（x）

-2兀

b=b贝Ub’Tb,m—a

i込

即m=-1,（ea

第三能带:

2応

CTc,m——a

4.3、电子在周期场中的势能.

knja],当na-n才

厂12厂2

-m⑷Lb-（

V（x）=

当（n-1）a+bEx兰na-b

其中d=4b,G）是常数.试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度＜解＞（I）题设势能曲线如下图所示.

A-.A.A.A

⑵势能的平均值：

由图可见,

V（x）是个以a为周期的周期函数，所以

V（x）二1[V（x）亠[V（x）dx--

a_b

V（x）dx

题设a=4b，故积分上限应为a—b=3b，

但由于在b,3b］区间内V（x）=O，故只需在［―b,b］区间

内积分.

这时，n=0,于是

V屮（x）d

m灼r\u22、.

x=\（b-x）dx=

2a）

吟b2X

2aL

b13

_b~—X

-b

（3）,势能在［-2b,2b］区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

V（x）=V0+Z；

m=oC

22b

VmCOs^x,Vm=2bJ0V（x）COs

1b.....

xdx=—1V（x）cosxdx

02b

第一个禁带宽度

Eg=2V,,以m=1代入上式，Egi

Hb2-x2）cos—dx

III[、,2U严H

利用积分公式Jucosmudu=—[（musinmu+2cosmu）J

■m

^sinmu得m

Egi

16mc^2

b2第二个禁带宽度Eg2=2V2I，以m=2代入上式，代入上式

Eg2

mO）2

bon兀x

e一x2）COsbdx再次利用积分公式有“

2g.--^bjI

4.4、解：

我们求解面心立方，同学们做体心立方。

S态电子的能量可表示成:

（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中

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