人教版教案 二次函数的图像和性质 五课时Word下载.docx
《人教版教案 二次函数的图像和性质 五课时Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版教案 二次函数的图像和性质 五课时Word下载.docx（34页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
cm
）
=πx2
（2）某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
=
2（1+x）2
教师提问：
以上两个例子所列出的函数有声么特点,学生观察并讨论。
三、讲解新课
引入二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c
（a≠0,a,
b,
c为常数）
的函数叫做二次函数。
巩固对二次函数概念的理解：
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0?
对于二次函数y=
ax2+bx+c中的b和c可否为0?
若b和c各自为0或均为0,上述函数的式子可以改写成怎样?
你认为它们还是不是二次函数?
思考：
由问题1和2你认为判断二次函数的关键是什么?
判断一个函数是否是二次函数的关键是：
看二次项的系数是否为0．
二次函数的一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有什么联系和区别?
联系
（1）等式一边都是ax2+bx+c且
a
≠0
（2）方程ax2+bx+c可以看成是函数y=ax2+bx+c中y=0时得到的.
区别:
前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0
四、例题分析
例1:
关于x的函数
是二次函数,
求m的值.
解：
由题意得：
m2-m=2
m+1≠0
解得,m=2
∴当m=2时,函数为二次函数
例2．写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为650px,求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
（1）由题意得：
S=6a2（a>
0）其中S是a的二次函数
（2）由题意得：
（x>
0）其中y是x的二次函数
（3）由题意得
其中S是x的二次函数
例3:
下列函数中,哪些是二次函数?
（1）y=3x-1（
不是）
（2）y=3x2（
是
（3）y=3x3+2x-2（
）
（4）y=2x2-2x+1（
（5）y=x-2+x
不是
（6）y=x2-x（1+x）
例4.
已知二次函数y=x²
+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-
5,
求这个二次函数的解析式.
四、当堂训练
1、
（1）正方形边长为x（cm）,它的面积y（cm2）是多少?
（2）矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长增加x厘米,宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米,试写出y与x的关系式．
2.下列函数中,哪些是二次函数?
是、不是、是、不是
3:
m取何值时,函数y=
（m+1）xm2—2m-1+（m-3）x+m
是二次函数?
根据题意得
m2—2m-1=2
且
m+1
∴m=3
4、是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢?
例如：
圆的面积
x（cm）的函数关系是
其中自变量x能取哪些值呢?
5、要用长20m的铁栏杆,一面靠墙,围成一个矩形的花圃,设连墙的一边为x,巨形的面积为y,试
（1）写出y关与x的函数关系式.
（2）当x=3时,距形的面积为多少?
（1）y=x（20-2x）
=-2x2+20x（0<
x<
10）
（2）y=42m
课堂小结
现在我们学习过的函数有:
一次函数y=kx+b
（k
≠0）,其中包括正比例函数y=kx（k≠0）,
反比例函函数
（k≠0）
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）。
板书
26.1二次函数
26.1二次函数的定义：
一、复习
二、二次函数的定义
三、例题分析
例1
例2
例3
四、课堂练习：
1、2、3、4
五、小结
1．知识与技能
能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并根据图象认识和理解其性质
2．过程与方法
经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,体会数形结合的思想和方法.
3．情感、态度与价值观
在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中,体会数形结合与转化,体会数学内
重点：
函数y=ax2的图象的画法,了解抛物线的含义,理解函数y=ax2的图象与性质．
难点：
用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象,掌握其性质特征．
一、创设情境
导入新课
1、
回忆一次函数和反比例函数的定义,图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?
2、
展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系呢?
3、
用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考运动路线有何规律?
怎样用数学规律来描述呢?
二、新知探究
1．函数y=ax2
的图象画法及相关名称
【探究
l】画y=x2的图象
学生动手实践、尝试画y=x2的图象
教师分析,画图像的一般步骤：
列表→描点→连线
教师在学生完成图象后,在黑板上示范性画出y=x2的图象,如图22-1-1.
【共同探究】次函数图像有何特征?
特征如下：
①形状是开口向上的抛物线
②图象关于y轴对称
③由最低点,没有最高点.
结合图象介绍下列名称：
①顶点；
②对称轴；
③开口及开口方向.
2．函数y=ax2的图象特征及其性质
【探究2】在同一坐标系中,画出y=
x2,y=2x2的图象.
学生自己完成此题.教师做个别指导,在学生（大部分）完成后,教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2
比较图中三个抛物线的异同.
相同点：
①顶点相同,其坐标都为（0,0）.
②对称轴相同,都为y轴
③开口方向相同,它们的开口方向都向上.
不同点：
开口大小不同.
【练一练】画函数y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的图象.（分析：
仿照探究1的实施过程）
比较函数y=-x2,y=-
x2,y=-2x2的图象.找出它们的异同点.
①形状都是抛物线.
②顶点相同,其坐标都为（0,0）.
③对称轴相同,都为y轴
④开口方向相同,它们的开口方向都向下.
【归纳】y=ax2的图象特征：
（1）二次函数y=ax2的图象是一条抛物线
（2）抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>
0时,抛物线开口向上,顶点时抛物形的最低点.a<
0时,抛物线开口向下,顶点时抛物形的最高点.
（3）|a|越大,抛物线y==ax2的开口越小
例1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2,-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1,-
4）是否在此抛物线上；
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解
（1）把（-2,-8）代入y=ax2,得
-8=a（-2）2,
解得a=
-2,所求函数解析式为y=
-2x2.
（2）因为
所以点B（-1
-4）不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2
得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个,它们分别是
的图象,并根据图象回答下列问题：
（1）说出这两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
轴上方；
当
x>
0
时,曲线自左向右逐渐________；
它的顶点是图象的最________点；
（3）函数
y＝－2x2,对于一切
的值,总有函数值
y_____0；
时,y
随
的增大而________；
x________时,y
有最________值为________．
列表：
四、当堂训练：
2、抛物线
其对称轴左侧,y
的增大而
增大；
在对称轴的右侧,y
减小
．
3.填空:
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是（0,0）,对称轴是
y轴,在对称轴的右
侧,y随着x的增大而增大；
在
对称轴的左
侧,y随着x的增大而减小,当x=0
时,函数y的值最小,最小值是
抛物线y=2x2在x轴的
上
方（除顶点外）.
（2）抛物线
在x轴的
下
方（除顶点外）,在对称轴的左侧,y随着x的
增大而增大
；
在对称轴的右侧,y随着x的
增大而减小
当x=0时,函数y的值最大,最大值是
当x
0时,y<
0.
4.在同一坐标系中,图象与y=2x2
的图象关于x
轴对称的函数为（
）．
5.抛物线
共有的性质是（
B
（A）开口向上
（B）对称轴是y轴
（C）都有最高点
（D）y随x的增大而增大
6.若点A（2,m）在抛物线y=x2
上,则点A关于y轴对称点的坐标是（
（A）（2,4）
（B）（－2,4）
（C）（2,－4）
（D）（－2,－4）
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的是（
（A）若a,b互为相反数,则x=a与x=b
的函数值相等
（B）
对于同一个自变量x,有两个函数值与它对应
（C）
对任一个实数y,有两个x和它对应.
（D）
对任意实数x,都有y＞0.
1.本节所学知识：
①二次函数y=ax2的图象的画法
.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.
一般地,
抛物线
ax
的对称轴是
轴,
顶点是原点．
当
a＞0
时,
抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点；
a＜0
抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点．
对于抛物线
｜a｜越大,抛物线的开口越小．
如果
a＞0,当
x＜0
的增大而减小,当
x＞0
的增大而增大；
a＜0,当
的增大而增大,当
的增大而减小．
26.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
一、图象的画法：
1、列表
2、描点
3、连线
二、图象和性质
图象：
是一条抛物线
性质：
例1、
例2
四、小结
知识和能力
1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程和方法
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。
教学重点
用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
多媒体
一、提出问题、引入新课
1．你能说出函数y＝－4（x－2）2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
（函数y＝－4（x－2）2＋1图象的开口向下,对称轴为直线x＝2,顶点坐标是（2,1）。
2．函数y＝－4（x－2）2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?
（函数y＝－4（x－2）2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的）
3．函数y＝－4（x－2）2＋1具有哪些性质?
（当x＜2时,函数值y随x的增大而增大,当x＞2时,函数值y随x的增大而减小；
当x＝2时,函数取得最大值,最大值y＝1）
4．不画出图象,你能直接说出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
[因为
所以这个函数的图象开口向下,对称轴为直线x＝1,顶点坐标为（1,－2）]
5．你能画出函数
的图象,并说明这个函数具有哪些性质吗?
由以上第4个问题的解决,我们已经知道函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数
的图象,进而观察得到这个函数的性质。
说明：
（1）列表时,应根据对称轴是x＝1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值。
相应的函数值是相等的。
（2）直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。
所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观。
让学生观察函数图象,发表意见,互相补充,得到这个函数韵性质；
当x＜1时,函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时,函数值y随x的增大而减小；
当x＝1时,函数取得最大值,最大值y＝－2
1．请你按照上面的方法,画出函数
的图象,由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?
教学要点
（1）在学生画函数图象的同时,教师巡视、指导；
（2）叫一位或两位同学板演,学生自纠,教师点评。
2．通过配方变形,说出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?
这个值是多少?
（1）在学生做题时,教师巡视、指导；
（2）让学生总结配方的方法；
（3）让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?
这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。
那么,对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?
你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识；
1、当x取何值时,二次函数
有最大值或最小值,最大值或最小值是多少?
解法一（配方法）：
所以当x＝2时,
解法二（公式法）：
总结：
求二次函数最值,有两个方法．
（1）用配方法；
（2）用公式法．
2、已知函数
当x为何值时,函数值y随自变量的值的增大而减小。
∴对称轴是直线x＝－3,当x＞－3时,y随x的增大而减小。
∴对称轴是直线x＝－3,当x＞－3时,y随x的增大而减小。
22.1.3二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
二、y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
例1、例2、例3
五、课堂小结
1．使学生理解函数y=a（x－h）2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
让学生经历函数y=a（x－h）2＋k性质的探索过程,理解函数y=a（x－h）2＋k的性质。
确定函数y=a（x－h）2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a（x－h）2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a（x－h）2＋k的性质
正确理解函数y=a（x－h）2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a（x－h）2＋k的性质
一、提出问题,新课引入
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
（函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的）
2．函数y=2（x－1）2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?
（函数y=2（x－1）2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的,见P10图23.2.3）
3．函数y=2（x－1）2＋1图象与函数y=2（x－1）2图象有什么关系?
函数y=2（x－1）2＋1有哪些性质?
二、试一试
你能填写表格吗?
问题2：
从上表中,你能分别找到函数y=2（x－1）2＋1与函数y=2（x－1）2、y=2x2图象的关系吗?
问题3：
你能发现函数y=2（x－1）2＋1有哪些性质?
对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识；
函数y＝2（x－1）2＋1的图象可以看成是将函数y=2（x－1）2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时,函数值y随x的增大而减小,当x＞1时,函数值y随x的增大而增大；
当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。
三、做一做
问题4：
在图23．2．3中,你能再画出函数y=2（x－1）2－2的图象,并将它与函数y=2（x－1）2的图象作比较吗?
1．在学生画函数图象时,教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释,然后让学生进行比较。
问题5：
你能说出函数
的图象与函数
的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
（函数
的图象可以看成是将函数
的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是（1,2）
例1.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
解:
如图建立直角坐标系,点（1,3）是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是y=a（x－1）2＋3
（0≤x≤3）
∵这段抛物线经过点（3,0）
∴
0=a（3－1）2＋3
解得:
a=－3/4
x=0时,y=2.25
答:
水管长应为2.25m.
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示
（1）求解析式
∵二次函数图象的顶点是（1,-1）,
∴设抛物线解析式是y=a（x-1）2-1,
∵其图象过点（0,0）,
∴0=a（0-1）2-1,
∴a=1
∴y=（x-1）2-1
五、当堂训练
1．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x2的图像,先沿x轴向左平移３个单位,再沿y轴向下平移2个单位,
得到y=3（x+3）2-2的图像；
（2）把二次函数y=-3（x+6）2的图像,先沿y轴向下平移2个单位,再沿x轴向右平
移3个单位,得到y=-3（x+3）2－2的图像.
2．把二次函数y=4（x－1）2的图像,沿x轴向右平移2个单位,得到图像的对称轴是直线x=3.
3．把抛物线y=－3（x+2）2,先沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个单位,
得到y=-3x2-1的图像．
4．把二次函数y=－2x2的图像,先沿x轴向左平移３个单位,再沿y轴向下平移2
个单位,得到图像的顶点坐标是_（-3,-2）_．
5.
试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
（1）y=（x-3）2+2；
先向左平移3个单位,再向下平移2个单位
（2）y=（x+4）2－5
先向右平移4个单位,再向上平移5个单位
10.与抛物线y=－4x2形状相同,顶点为（2,-3）的抛物线解析式为
y=-4（x-2）2-3或y=4（x-2）2-3．
抛物线y=a（x－h）2+k有如下特点:
（1）当a>
0时,开口向上;
当a<
0时,开口向上;
（2）对称轴是直线x=h;
（3）顶点是（h,k）.
22.1.3二次函数y=a（x－h）2＋k的图象和性质
二次函数y＝ax2＋b、y＝a（x－h）2的图象和性质
二、二次函数y=a（x－h）2＋k的图象和性质
例1、例2、
使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b、y＝a（x－h）2的图象。
过程和方法
理解二次函数y＝ax2＋b、y＝a（x－h）2的性质及它与函数y＝ax2的关系。
情感态度价值观
师生互动,学生动手操作,体验成功的喜悦
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b、y＝a（x－h）2图象,理解二次函数y＝ax2＋b、y＝a（x－h）2的性质,理解其与函数y＝ax2的相互关系.
正确理解二次函数y＝ax2＋b、y＝a（x－h）2的性质,理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系.
一、提出问题,引入新知
1．二次函数y＝2x2的图象是__抛物线__,它的开口向_向上_,顶点坐标是_（0,0）_；
对称轴是__y轴___,在对称轴的左侧,y随x的增大而__减小__,在对称轴的右侧,y随x的
升级会员 