北师大版六年级数学下册《第四单元 正比例与反比例》单元教案Word下载.docx

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6岁

体重/千克

3.5

14.0

18.0

21.0

　　师:

这是妙想的体重变化情况表,从表中你知道了什么信息?

生:

妙想在不同年龄时的体重情况。

上表中哪些量在发生变化?

年龄增长,体重也在增加。

说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。

随着年龄的增长,体重也在增加。

2.出示教材第39页妙想的体重变化情况折线统计图。

人的年龄和体重是相关联的两个量,人的体重随着年龄的变化而变化。

通过读图,感受变量。

3.出示教材第39页主题图。

骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化。

读懂统计图。

从图中你知道了什么信息?

骆驼一天中的体温是在不断变化的。

一天中,骆驼体温最高是多少?

最低是多少?

生1:

骆驼体温最高是40℃。

生2:

最低是35℃。

感受量的周期变化。

一天中,什么时间范围内骆驼的体温在上升?

从4时到16时骆驼的体温在上升。

什么时间范围内骆驼的体温在下降?

从0时到4时、从16时到24时骆驼的体温在下降。

第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?

体温相同,都是37℃。

每天骆驼的体温总是怎样变化的?

每天都是从前一天的16时开始下降、4时开始上升、16时开始下降、第二天的4时开始上升。

学生谈体会,教师小结。

在大自然和日常生活中有很多像这样相关联的两个变量,一个量随着另一个量的变化而变化。

谁还能举出这样的例子?

与同伴交流。

购买铅笔的支数与总价。

时间与路程。

……

通过举例我们可以发现一个量随另一个量变化而变化,这些量就是变化的量。

通过本节课的学习你都掌握了哪些知识?

明确了两个量之间的关系。

我知道什么是变量。

生3:

一个量随着另一个量的变化而发生变化。

变化的量

两个变量

其中一个量随着另一个量的变化而变化

读懂图很重要,应引导学生从整体的视角观察图中所反映出来的变化情况。

尽量引导学生自己去思考,鼓励学生利用自己所学的知识和生活经验,举出一个量随另一个量的变化而变化的例子。

教师应引导学生从生活中寻找相关联的变量的例子,教学时,只要学生说得合理,教师就应给予肯定,让学生有机会表达自己的想法,提高学生的表达能力。

A类

1.根据下表回答问题。

已看的页数/页

100

110

120

200

250

未看的页数/页

190

180

50

（1）上表中哪些量在发生变化?

（2）说一说已看的页数和未看的页数是如何变化的。

2.下图反映的是小明骑车行驶的路程和所用时间的情况。

图中两种量是不是相关联的量?

它们是如何变化的?

（考查知识点:

感受相关联的变量,根据图表说明两种量的变化情况;

能力要求:

能用自己的语言描述两个变量之间关系）

B类

小明乘车去旅游,汽车行驶的里程和票价如下表。

里程/千米

1~20

21~30

31~40

41~50

51~60

61~70

票价/元

10

15

20

25

30

35

（2）说一说票价是如何随里程的变化而变化的。

提高学生读表的能力和分析问题的能力;

能用自己的语言描述两个变量之间的关系）

课堂作业新设计

A类:

1.

（1）已看的页数和未看的页数在发生变化。

（2）随着已看的页数的增加,未看的页数逐渐减少,总页数不变。

2.图中两种量是相关联的量。

随着时间的增加,行驶的路程也在增加,且行驶的路程与时间的比值是一定的。

B类:

（1）里程和票价在发生变化。

（2）从20千米开始,每增加10千米就增加5元。

教材第40页“练一练”

1.圆柱的高增加,它的体积也增加,体积与高的比值一定,都是10。

2.

（1）18米　3米　

（2）0~6分　6~12分　（3）12分

3.n÷

7+3=t

正比例。

（教材第41~43页）

1.结合丰富的实例认识正比例。

能根据正比例的含义,判断两个相关联的量是不是成正比例。

2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,发现成正比例的量的特征,并尝试概括出正比例的含义。

提高分析比较、归纳概括、判断推理的能力,同时渗透初步的函数思想。

3.在参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。

能初步运用正比例的意义判断两个相关联的量是否成正比例。

通过实例认识成正比例的量,掌握成正比例的量的变化规律及其特征。

课件、弹簧秤、钩码。

教师做实验,向弹簧秤上加钩码。

（1）这其中有哪两种变化的量?

（2）弹簧的长度为什么会发生变化?

弹簧的长度是随着钩码数量的变化而变化的,像这样的两种量叫作相关联的量。

追问:

现在知道什么叫作相关联的量了吗?

你能举例说明吗?

两种相关联的量还有什么特殊的关系呢?

今天我们就一起来研究一下。

1.学习成正比例的量。

课件出示教材第41页第一个问题及表格。

边长/厘米

1

2

3

周长/厘米

4

面积/平方厘米

　　根据正方形的周长与边长、面积与边长之间的变化情况,把表格填完整,并根据问题观察表中填好的数据,思考应该怎样解答?

学生填表,相互交流、讨论。

表中有哪两种量?

周长和边长。

面积和边长。

你发现它们是怎样变化的?

正方形的周长随着边长的增加而增加。

正方形的面积也是随着边长的增加而增加。

周长总是边长的4倍,而面积与边长的商在发生变化。

=4,

=4,周长与边长的比值不变。

=1,

=2,面积与边长的比值不相等。

生4:

可用

=4表示,也就是说在变化过程中,周长与边长的比值是一个定值4,是不变的。

周长和边长、面积和边长之间的变化规律相同吗?

什么不变?

在变化过程中,正方形的周长总是边长的4倍,也就是说比值一定;

而正方形的面积与边长的比值不同,与正方形的周长与边长的变化规律不同。

小组讨论交流汇报。

【设计意图:

通过观察、比较、讨论使学生进一步感知两种变化的量的关系,为认识正比例的意义奠定基础】

2.课件出示教材第41页第二个问题及表格。

时间/时

5

6

7

路程/千米

90

270

360

你能把表格填写完整吗?

学生独立完成。

说一说你是根据什么来填的?

（小组交流）

路程÷

时间=90。

观察路程与时间这两种量,你发现了什么规律?

（小组讨论、交流）

路程随着时间的变化而变化。

时间=90（一定）,即路程与时间的比值（也就是速度）一定。

从上面两个例题中,你发现它们有什么共同特征?

它们都是两个相关联的量,一个量随着另一个量的变化而变化。

好!

像路程和时间这两个量,时间变化,所行驶的路程也随着变化,且路程与时间的比值（速度）一定,我们就可以说路程和时间成正比例。

（板书:

正比例）

第一个问题中,正方形的周长与边长成正比例吗?

正方形的周长随边长的变化而变化,并且周长与边长的比值都是4,所以正方形的周长与边长成正比例。

正方形的面积虽然也随边长的变化而变化,但面积与边长的比值是一个变化的值,所以正方形的面积和边长不成正比例。

很好,接下来大家在小组内说一说生活中还有哪些量成正比例。

学生交流、讨论。

如果两个量成正比例,那么它们需要符合哪些条件呢?

两种量必须是相关联的量。

一种量变化另一种量也要随着变化,并且这两个量的比值（商）一定。

正　比　例

正方形的周长和边长的比值一定

正方形的面积和边长的比值不一定

路程和时间的比值一定

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量的比值一定,我们就说这两种量成正比例。

1.学生理解正比例的意义往往比较困难,引导学生了解正比例在生活中的广泛存在十分重要。

2.正比例关系是非常重要的一种数量关系,学好正比例关系,不仅可以加深对比例知识的理解,解决一些实际问题,而且还渗透了函数思想,为学生今后的学习奠定了基础。

填空。

（填“成”或“不成”）

（1）工作效率一定,工作时间和工作总量（　　）正比例。

（2）三角形的底一定,它的面积和高（　　）正比例。

（3）食堂买回150吨煤,烧了的煤与剩下的煤（　　）正比例。

（4）出勤率一定,出勤的人数与应出勤的人数（　　）正比例。

理解正比例的含义;

能正确判断两个相关联的量是否成正比例）

下面是一些有关圆的数据,你能说出哪两种量成正比例吗?

说明理由。

半径/米

直径/米

8

周长/米

6.28

12.56

18.84

25.12

面积/平方米

3.14

28.26

50.24

　　（考查知识点:

成正比例的量的变化规律及其特征;

会根据正比例的意义解决实际问题）

（1）成　

（2）成　（3）不成　（4）成

在同一个圆中,直径和半径成正比例,周长和直径成正比例,周长和半径成正比例。

教材第42页“练一练”

1.

（1）竿影的长随着竹竿的高的增加而增长。

（2）0.4∶1=0.8∶2=1.2∶3=2.4∶6=3.2∶8=0.4　比值都相等。

（3）成正比例　因为竿影的长与竹竿的高度的比值都是0.4（一定）,所以成正比例。

2.平行四边形的面积和高成正比例,因为面积与高的比值是6（一定）。

3.原因略　

（1）成正比例　

（2）不成正比例　（3）不成正比例

4.2.4　3.2　4.0　4.8　5.6　6.4　发现邮票的数量增加,应付的钱数也随着增加。

应付金额与所买邮票的数量成正比例。

画一画。

（教材第44~45页）

1.在具体情境中,通过“画一画”的活动初步认识正比例图像。

2.会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应另一个变量的值,提高学生分析问题的能力。

3.利用正比例关系解决生活中的一些简单问题,培养学生善于思考和积极参与的良好习惯。

会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,理解用图像认识正比例关系,并能根据其中一个量的值得出另一个变量的值。

能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值。

前面我们已经学习了有关正比例的知识,请同学们判断下面各题中的两个量是否成正比例?

（1）每行人数一定,总人数和行数。

（2）长方形的长一定,宽和面积。

（3）长方体的底面积一定,体积和高。

（4）分子一定,分母和分数值。

（5）长方形的周长一定,长和宽。

（6）一个自然数和它的倒数。

今天老师要带你们去看一场电影,你们高兴吗?

（生齐:

高兴）那我来问你,假设每人的票价是2元,我们全班45人,一共需要带多少元钱呢?

请同学们打开教材第44页,填写表格。

（课件出示教材第44页第1个问题）

学生填写,教师巡视,帮助有困难的学生。

观察表中的数据,你有什么发现?

所付票费随着看电影人数的增加而增加,且人数扩大2倍,票费也扩大2倍。

所付票费与看电影的人数的比值是2,所以它们成正比例。

你们说得很好,那么能不能用图来表示这种关系呢?

（课件出示教材第44页第2个问题）你准备怎样观察?

发现了什么?

看看横轴表示什么,纵轴表示什么?

横轴表示看电影的人数,纵轴表示所付的票费。

我发现横轴上1格表示1人,纵轴上1格表示1元。

每一个点都有对应的一组数。

下面我们分小组来观察,完成后面的问题。

（课件出示教材第44页第3个问题）

要求:

①学生先独立完成,再在小组内交流。

②有困难的学生可以举手寻求帮助。

③每组要提出一个问题,挑战其他组。

④连接各点,你有什么发现?

小组开始交流,教师巡视。

小组汇报。

小组1:

点A表示5人看电影所付票费是10元,也就是5的2倍是10。

哪个小组能根据表格说说其他各点的意思?

小组2:

我们小组发现所描的点都在同一条直线上。

为什么会在同一条直线上呢?

因为纵轴上的数是横轴上的2倍,每次增加的都一样。

如果有一个点是（100,200）,那么这个点是否也在这条直线上呢?

因为这个点表示100人看电影的票费是200元,纵轴上的数也是横轴上的2倍,所以这个点也在这条直线上。

当一个数按固定倍数随另一个数增长时,所绘出的图形是一条直线。

（课件出示:

按顺序连接个点）

这节课你们学到了哪些知识?

用图的形式可以直观地表示两个成正比例的量的变化关系。

当两个变量成正比例时,所绘成的图像是一条直线。

利用图可以进行估算,利用估算可以解决一些实际问题。

画　一　画

正比例图像是一条通过原点的直线。

图像上任意一点都能在横轴和纵轴上找到相对应的点,以此来解决实际问题。

本节课的教学主要是在具体情境中,通过“画一画”的活动,使学生初步认识正比例图像,会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应的另一个变量的值,进而解决生活中的一些简单问题。

教学中,我主要让学生先读懂图的意思,如横轴、竖轴表示什么,各个点所表示的意义是什么,经过了解之后再让学生连接各点,谈谈自己的发现,学生会形象地看到所描的点都在同一条直线上。

在教学中给学生充分操作的空间,让学生谈谈自己的发现,鼓励学生利用图进行一些估计,进而解决一些实际问题。

下图表示的是一根水管不停地向水箱注水,水箱内水的体积的变化情况。

（1）看图说关系。

观察上图,图中哪些量是变化的?

哪些量是不变的?

（2）根据图填写下表。

注水时间/分

13

水的体积/升

认识正比例图像;

能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值,利用正比例关系解决生活中的一些简单问题）

下面是小丽和同学们用自制的皮筋秤（最多可称2千克的质量）称物体质量的情况变化图。

（1）根据上图完成下表。

所称质量/克

400

600

800

900

1000

皮筋伸长的长度/厘米

（2）你发现表中哪两个量成正比例?

（3）小丽用这个皮筋秤称一本书的质量,皮筋伸长18厘米,这本书的质量是多少?

综合运用正比例关系解决生活中的一些简单问题;

能运用正比例关系解决实际问题）

（1）注水时间和水箱内水的体积是变化的;

水箱内水的体积与注水时间的比值是不变的。

（2）16　10　26

（1）4　6　8　9　10

（2）皮筋伸长的长度与所称物体的质量成正比例。

（3）1800克

教材第45页“练一练”

1.

（1）20　25　30　35　

（2）成正比例　（3）（描点略）发现这些点在一条直线上。

（4）在这条直线上,表示8人要付船费40元。

2.成正比例,因为弹簧伸长的长度与所挂物体的质量的比值都是0.4（一定）。

3.

（1）成正比例,因为圆的周长和直径的比值是π（一定）。

（2）①16　15.7　②47　47.1

反比例。

（教材第46~48页）

1.使学生认识反比例关系的意义,理解并掌握成反比例量的变化规律及其特征。

2.进一步培养学生的观察、分析、综合、概括能力,使学生掌握判断两种相关联的量是否成反比例的方法。

3.渗透数学源于生活的观点。

通过具体问题理解成反比例量的变化规律及其特征。

会判断两种相关联的量能否成反比例。

我们已经学习了正比例,那么判断两种相关联量是否成正比例的关键是什么?

看这两种量之间的比值是否一定,如果比值一定,那么就成正比例,否则不成正比例。

下面哪两种量成正比例?

为什么?

（1）时间一定,行驶的速度和路程。

（2）数量一定,单价和总价。

因为

=时间（一定）,也就是速度和路程的比值一定,所以速度和路程成正比例。

=数量（一定）,也就是单价和总价的比值一定,所以单价和总价成正比例。

速度、时间和路程之间的数量关系,在什么条件下,其中两种量成正比例?

（学生回答后老师板书）

速度=

在速度一定的条件下,时间和路程成正比例。

时间=

在时间一定的条件下,速度和路程成正比例。

如果路程一定,速度和时间之间会有怎样的关系呢?

这就是我们今天要学习的反比例关系。

反比例）

1.出示教材第46页第1个问题。

表1

x

y

24

12

表2

11

把表格补充完整。

同桌互相说一说上面两个表中各有哪两种量。

一行一行地看,发现了什么?

一列一列地看,又发现了什么?

长方形一条边的边长都随着邻边边长的增长而减少。

表1和表2中,长方形相邻两边边长之间变化规律相同吗?

用表中提供的数据说明一下。

面积是24平方厘米的长方形,1×

24=24=2×

12=3×

8……相邻两边的积都是24。

周长是24厘米的长方形,1×

11=11,2×

10=20……积不相等,1+11=2+10……和相等。

相邻两边的积不相等,但相邻两边的和相等。

早上,爸爸妈妈都乘坐哪些交通工具去上班?

坐班车。

开私家车。

坐公交车。

骑自行车。

无论上学还是上班,我们最担心的是迟到,所以很关注时间（教师用手指指手表）,同时,还关注交通工具的快慢,也就是车的速度。

那么,速度和时间是不是两种相关联的量?

是。

2.课件出示下面的表格。

自行车

大巴车

小轿车

速度/（千米/时）

60

80

1.5

速度不相同,时间也不相同。

时间随着速度的变化而变化。

10×

12=60×

2=80×

1.5。

虽然速度和时间都在变化,但路程是不变的,速度×

时间=路程,路程都是120（一定）。

像这样,相关联的两个量（速度和时间）,一个量（速度）变化,另一种量（所用的时间）也随着变化,如果这两种量（速度与时间）的乘积（也就是路程）一定,我们就说这两种量（速度和时间）成反比例。

第一个问题中,表1和表2中的长方形相邻两边的边长（长和宽）成反比例吗?

表1中长方形相邻两边的边长的积一定（都是24）,所以长和宽成反比例。

表2中长方形相邻两边的边长的积是变化的,不是定值,所以长和宽不成反比例。

如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积,你能用关系式表示成反比例的两个量的关系吗?

xy=k。

不对,还要说明k是定值,即xy=k（一定）。

说得真棒。

通过本节课的学习,你掌握了哪些知识?

明确了成反比例两个量之间的关系,以及两个量能否成反比例的判断方法。

相关联的两种量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的乘积一定,我们就说这两种量成反比例。

反比例关系式可表示为xy=k（一定）。

反　比　例

面积是24平方厘米的长方形:

1×

8……积相等

周长是24厘米的长方形:

10=20……积不相等

1+11=2+10……和相等

速度×

时间=路程（一定）　10×

1.5=120

两种相关联的量,一种