北师大版七年级数学下册几何常见模型练习题有答案Word文档格式.docx
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6.如图所示,AB=CB,AD=CD,E是BD上任意一点,求证:
AE=CE.
7.如图:
已知AE交BD于点C,∠DAC=∠EBC=∠BAC,AB=AC.试说明:
DC与BE有怎样的数量关系.
已知两角型
8.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°
,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:
OB=OC.
三角形中的四种常见说理类型
说明相等关系
1.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC上的点,且AE=AF,求证:
DE=DF.
说明位置关系
说明平行关系
2.已知△ABC为等边三角形,点P在AB上,以CP为边长作等边三角形△PCE.求证:
AE∥BC.
说明垂直关系
3.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC上,且BD=CF,BE=CD,G是EF的中点,求证:
DG⊥EF.
说明倍分关系
说明角的倍分关系
4.如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.猜想:
∠DBC与∠BAC之间的数量关系,并予以证明.
说明线段的倍分关系
5.如图,△ABC中,AB=AC,AD和BE是高,它们相交于H,且AE=BE.
(1)求∠C的度数.
AH=2BD.
说明和、差关系
6.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD平分∠BAC,求证:
AB+BD=AC.
线段垂直平分线与角平分线的应用类型
典例
例1.已知:
如图,△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别是E、F.
AE=BF;
(2)求线段DG的长.
利用线段垂直平分线的性质求线段的长
1.如图,已知AB比AC长3cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14cm,求AB和AC的长.
利用线段垂直平分线的性质求角的度数
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB的垂直平分线交BC于D,连接AD.
(1)若△ADC的周长为16,AB=12,求△ABC的周长;
(2)若AD将∠CAB分成两个角,且∠CAD:
∠DAB=2:
5,求∠ADC的度数.
利用线段垂直平分线的性质解决实际问题
3.某一个城市在一块空地新建了三个居民小区,它们分别为A、B、C,且三个小区不在同一直线上,要想规划一所中学,使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置你怎么确定这个位置呢
利用线段垂直平分线的性质说明线段的数量关系
4.如图,已知∠AOB=90°
,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P放在射线OM上,两直角边分别与OA,OB交于点C,D.
(1)证明:
PC=PD.
(2)若OP=4,求OC+OD的长度.
利用线段垂直平分线的性质说明线段的位置关系
5.如图所示,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,EF交AD于点M,求证:
AM⊥EF.
1.证明:
如右图所示,
∵BD=DC,∴∠3=∠4,又∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠ABC=∠ACB,
∴△ABC是等腰三角形,∴AB=AC,
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC.
2.证明:
∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BED=∠F=90°
,
在△BED和△CFD中,
,∴△BED≌△CFD,∴BD=CD,
∴AD是△ABC的中线.
3.证明:
在△ACD和△ACB中,
,∴△ACD≌△ACB,(ASA)
∴BC=CD,
在△DCE和△BCE中,
,∴△DCE≌△BCE(ASA),∴∠DEC=∠BEC.
4.
(1)证明:
∵AE⊥BD,∴∠AFB=∠BAC=90°
∴∠ABD+∠BAF=90°
,∠BAF+∠CAE=90°
,∴∠ABD=∠CAE.
(2)证明:
过C作CM⊥AC,交AE的延长线于M,则∠ACM=90°
=∠BAC,
∴CM∥AB,∴∠MCE=∠ABC=∠ACB,
∵∠BAF=∠ADB,∠ADB+∠FAD=90°
,∠ABD+∠BAF=90°
,∴∠ABD=∠CAM,
在△ABD和△CAM中,
,∴△ABD≌△CAM(ASA),
∴∠ADB=∠M,AD=CM,BD=AM,∵D为AC中点,∴AD=DC=CM,
在△CDE和△CME中,
,∴△CDE≌△CME(SAS),
∴∠M=∠CDE,∴∠ADB=∠CDE.
(3)解:
结论:
BD=AE+DE.
理由:
∵△CDE≌△CME,∴ME=DE,∵AM=AE+ME=AE+DE,
∵BD=AM,∴BD=AE+DE.
5.
(1)证明:
∵BF=CE,∴BF+FC=FC+CE,即BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF(SSS);
(2)解:
AB∥DE,AC∥DF.
∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.
6.证明:
在△ABD与△CBD中
,∴△ABD≌△CBD(SSS),
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABE与△CBE中
,△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE.
7.解:
DC=BE,
∵∠EBC=∠BAC,∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠ABE=∠EBC+∠ABC,
∴∠ACD=∠ABE,
在△ACD和△ABE中,
,∴△ACD≌△ABE(ASA),∴DC=BE.
8.证明:
∵∠BDC=∠CEB=90°
,∴CD⊥AB,BE⊥AC,
∵AO平分∠BAC,∴OD=OE,
在△BDO和△CEO中
∴△BDO≌△CEO(ASA),∴OB=OC.
连接AD,
∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠EAD=∠FAD,
在△AED和△AFD中,
,∴△AED≌△AFD(SAS),∴DE=DF.
2、证明:
∵△ABC与△PCE为等边三角形,
∴AC=BC,EC=PC,∠BCA=∠PCE=60°
,∴∠BCP=∠ACE,
在△BCP和△ACE中,
,∴△CBP≌△CAE(SAS),
∴∠CAE=∠B=60゜=∠ACB,∴AE∥BC.
连ED,DF,∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△BED和△CDF中,
,∴△BDE≌△CFD(SAS),∴DE=DF,
∵G是EF的中点,∴DG⊥EF.
4.解:
∠DBC=
∠BAC.设∠C=β,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=β,
∴∠BAC=180°
﹣2β,∠BAD=∠ABC+∠C=2β,
∵BD⊥AC,∴∠ABD=90°
﹣2β,∴∠DBC=90°
﹣β,∴∠DBC=
∠BAC.
5.
(1)解:
∵AE=BE,BE⊥AC,∴∠BAE=45°
又∵AB=AC,∴∠C=
(180°
﹣∠BAE)=
﹣45°
)=67.5°
;
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2BD,∠1+∠C=90°
∵BE⊥AC,∴∠2+∠C=90°
,∴∠1=∠2,
在△AEH和△BEC中,
,∴△AEH≌△BEC(ASA),
∴AH=BC,∴AH=2BD.
如图,在AC上截取AE=AB,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD,
在△ABD和△AED中,
,∴△ABD≌△AED(SAS),
∴DE=BD,∠AED=∠ABC,
∵∠AED=∠C+∠CDE,∠ABC=2∠C,∴∠CDE=∠C,∴CE=DE,
∵AE+CE=AC,∴AB+BD=AC.
例1.
(1)证明:
连接AD、BD,
∵AD是∠BCA的平分线,DE⊥AC,DF⊥BC,∴DE=DF,
∵DG是AB边的垂直平分线,∴AD=DB,
在Rt△AED和Rt△DFB中,
,∴Rt△AED≌Rt△BFD(HL),∴AE=BF;
(2)由
(1)得:
CE=CF=
=7,∴AE=EC﹣AC=1,
∵∠ECD=∠EDC=45°
,∴DE=CE=7,
由题意可得:
AG=BG=5,∴AD2=AE2+DE2=50,∴DG2=AD2﹣AG2=25,∴DG=5.
1.解:
∵DE是BC的垂直平分线,∴CD=BD,
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+AD=AC+AB,
由题意得,
,解得
.
∴AB和AC的长分别为8.5cm,5.5cm.
2.解:
(1)∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,
又∵△ADC的周长为16,∴AD+CD+AC=16,
即BD+CD+AC=BC+AC=16,又AB=12,∴AB+BC+AC=16+12=28,
则△ABC的周长为28;
(2)∵AD=BD,∴∠BAD=∠ABD,
∵∠CAD:
5,设一份为x,即∠CAD=2x,∠DAB=∠ABD=5x,
又∠C=90°
,∴∠ABD+∠BAC=90°
,即2x+5x+5x=90°
解得:
x=7.5°
∵∠ADC为△ABD的外角,∴∠ADC=∠DAB+∠ABD=5x+5x=10x=75°
3.解:
如图,这所中学建在P点位置(点P为△ABC的外心).
连结AB、BC、AC,作AB和BC的垂直平分线,两垂直平分线相交于点P,则点P到点A、B、C的距离相等.
4.证明:
(1)如图,过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,
∴∠PEC=∠PFD=90°
∵OM是∠AOB的平分线,∴PE=PF,
∵∠AOB=90°
,∠CPD=90°
,∴∠PCE+∠PDO=360°
﹣90°
=180°
而∠PDO+∠PDF=180°
∴∠PCE=∠PDF
在△PCE和△PDF中∴△PCE≌△PDF(AAS)
∴PC=PD;
(2)∵∠AOB=90°
,OM平分∠AOB,∴△POE与△POF为等腰直角三角形,
∴OE=PE=PF=OF,
∵OP=4,∴OE=2
由
(1)知△PCE≌△PDF∴CE=DF∴OC+OD=OE+OF=2OE=4
5.证明:
∵DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,
∴∠AED=∠AFD=90°
∵AD为三角形ABC的角平分线,
∴∠EAD=∠FAD,而AD=AD,
∴△AED≌△AFD
∴ED=DF,AE=AF
∴△AEF为等腰三角形,AM为∠BAC的平分线
∴AM是△AEF的高,即AM⊥EF.