广东省深圳市宝安区学年高二上学期期末数学试题Word文档下载推荐.docx

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二、填空题

13.《九章算术》“竹九节”问题：

现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数

列，上而4节的容积共3升，下而3节的容积共4升，则第5节的容积为升：

14.设等差数列｛《,｝满足为=11，《2=-3，｛〃”｝的前〃项和S“的最大值为财，则

IgM=.

222

15.设K，F）分别是椭圆二+二=1（。

/7>

0）的左、右焦点，若在直线工=土上lrc

存在点p,使线段。

片的中垂线过点生，则椭圆的离心率的取值范围是.

16.设函数/'

（x）=K'

利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得2r+V2

/（-5）+止4）+.・・+/（0）+・一+〃5）+〃6）=.

三、解答题

17.如图所示，在长方体ABC。

-A山CQ中，AB=AO=1,A41=2,时是棱CG的中

点.证明：

平而A8ML平面A山iM.

18.过点P（4,l）作直线1分别交x轴，y轴正半轴于A,B两点，0为坐标原点.

（1）当AROB面积最小时，求直线1的方程；

（2）当|OA|+|OB］取最小值时,求直线［的方程.

19.已知P,。

为圆/+）,2=4上的动点，a（2,0）,5（1,1）为定点，

（1）求线段AP中点M的轨迹方程；

（2）若NPBQ=9。

，求线段PQ中点N的轨迹方程.

20.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=立，已知点到椭2I2）

圆的最远距离是J7,求椭圆的标准方程.

21.已知四棱锥P—A8CQ的底面为直角梯形，AB//CD,NOA3=90,%_1_底

面A8CZ）,且PA=A£

=OC=J,AB=1,Af是夕3的中点.

（1）证明：

而24。

_1面尸皿：

（2）求AC与所夹角的余弦值；

（3）求而AMC与而BMC所成二面角余弦值的大小.

22.已知点歹（1,0）,点P为平而上的动点，过点尸作直线/：

x=—1的垂线，垂足为。

，且砺诉=而质.

（I）求动点P的轨迹C的方程:

（0）设点P的轨迹。

与X釉交于点点A,8是轨迹C上异于点M的不同的两点,且满足MA-MB=0，求“WB1的取值范闱.

参考答案

1.c

【解析】

空间四边形A3CQ中，AB=BC=CD=DA,连接对角线AC、BD,取8。

的中点E,连接AE、CE,利用等腰三角形可以说明瓦BD1CE,则B£

_L平而E4C,则8Q_LAC,选C.

2.B

【分析】

由题意,等差数列｛〃“｝中，4=33,心=153,易求出数列的公差和首项，进而得到数列的

通项公式,根据勺=201，构造关于〃的方程，解方程即可得到答案

【详解】

•••｛〃”｝为等差数列，

a5=al+4d=33

a45=a1+44d=153'

=21

••1<

d=3

.•.%=21+3（〃-1）=3〃+18,

，令3〃+18=201,则〃=61,

故选：

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式,根据已知条件求出等差数列的通项公式是解题关键

3.C

分别将方程化简,即可得到相应的图形

对于方程+V—1）=。

，即X=o或/+y2=1,表示一条直线和一个圆；

对于方程/+（Y+V-1了=o,即/=o且Y+丁-1=0,表示是两点（0,1）和（0,-1）,故选：

本题考查曲线和方程,属于基础题

4.A

利用当对称轴斜率为±

1时，由对称轴方程分别解出X,y,代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程

因为直线x-y+2=0的斜率为1,

x=y-2

故有＜'

…将其代入直线2x—y+3=0,y=x+2

即得：

2（y—2）—（x+2）+3=0,

整理即得x—2y+3=。

本题考查直线关于直线的对称直线的方程的求法，当对称轴斜率为±

1时，由对称轴方程分别解出x,E代入已知直线的方程，即得此直线关于对称轴对称的直线方程

5.A

1c111

根据■―-为等差数列可得2--=--+--,由此求得知的值.

an+1a.+1«

2+1ab+1

2c111cl-4I

由于■;

为等差数列，故2—77=~T7+-7,即2—7=-+»

=t,解得4an+1%+1%+14+1%+1332

本小题考查等差数列的基本性质：

若｛4｝为等差数列，且〃?

+〃=〃+4,则有

利用这个性质，列方程，可求得知的值.

6.C

当直线过原点时，斜率为1,由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程

是：

一+—=1,把点M（1,1）代入方程求得a值,即可得直线方程.aa

当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是y-i=x-i,即丫=*：

当直线不过原点时，设直线的方程是：

-+-=1，把点M（1,1）代入方程得a=2,直线aa

的方程是x+y=2.

综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2

故选C.

本题考查了直线的点斜式与截距式方程：

明确直线方程的各种形式及各自的特点，是解答本

题的关键：

本题易错点是易忽略直线过原点时的情况.

7.B

由直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解即可

整理直线方程x++1）y+4=0,可得直线斜率k=-”•e[-hO）,

设直线的倾斜角为8（046〈乃），

则s〃ew[—i,o）,

本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题

8.D

将椭圆的方程化成标准形式后再根据离心率可求得〃?

的值.

+v2=1

椭圆的方程机V+y2=l化为标准方程为工'

一.

•••焦点在y轴上，

：

•a2=1,Z?

2=—>

.c2=a2-b-=1-—.

3i3

由题意得/=:

=1一上=二，

trm4

解得〃?

=4.

故选D.

本题考查椭圆中基本量的计算，解题时需要把椭圆的方程化为标准形式，再确定出相关的参

数，然后再结合题意求解，属于基础题.

9.D

由题意可知>

1,<

1，把％代入即可求得d的范围

。

10>

依题意可知，〈,

//9<

—+9t/>

一1

—+8J<

125

8,3

「・—<

dW—,

7525

本题考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题

10.A

由题意可得产

0,4+2=4,解得4=4—2,令44一§

廊二7,利用}乙乙\乙）

衣4・87=0,即可得到P,进而得到抛物线方程

.BA=4--p2

.21

（j8p_p?

_2）=0,

（小〃-/厂—4）~=0,

解得〃=4,经过检验满足条件，当A在x轴下方时不符，舍去・•一该抛物线的方程为）/=8x故选：

【点睛】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的几何性质的应用,考查向量数量积的坐标运算

11.C

【分析】设圆上一点P（cosa+2,s加。

一3）,则x+y=s山a+cosc-l,利用正弦型函数求最值,即

可得出结论

设（X-2）2+（y+3）2=1上一点P[cosa+2,sina-3）,

则x+y=cosa+2+sina-3=sina+cosa-1=5/2sin

hi）-

本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值

12.A

（.S665

由｛叫是首项为32的等比数列，S”是其前〃项和，且谒=石，利用等比数列前〃项和公式

求出q,进而可得q,=32-（；

）1=27-2/,,则|log24H7—2"

，从而求数列｛|1。

82勺|｝前10项和

、§

665

•••｛qj是首项为32的等比数列，S〃是其前〃项和，且言=K，所以公比不为1,

32（「力

\-q65

32（1-力-64,

试题分析：

由题意可知q+〃2+/+。

4=44+6"

=3,%+。

8+。

9=3。

］+21d=4,解得

%=为"

=左，所以％=4+44=部，

22oooo

考点：

等差数列通项公式.

14.2

由％=11,阳=一3求得知"

，则可得到数列｛〃“｝的通项公式,令4之0,解得，区亍，则

当〃=10时，｛q｝的前八项和s”取得最大值M,进而利用前〃项和公式求解即可

设等差数列｛4｝的公差为4

•.«

=11,颉=一3,

6/j4-4J=11Jj=-2

+llJ=-3,"

=191

/.^=19-2（/z-l）=21-2n,

令对S

解得〃《,

所以当〃=10时，｛q｝的前〃项和s“取得最大值

10x9

M=10x19+-^—x（-2）=190-90=100,

.YgM=/gl00=2,

故答案为：

本题考查等差数列的通项公式及其前〃项和公式的应用,考查对数的运算性质,考查运算能力

分析：

设直线x=已与x轴的交点为。

，连接PF-由线段尸片的中垂线过点外，可得

IF}F21=1PF21,所以I0乙1=2c,因刈P5闫。

耳，由因为［0玛=1L—C,所以

9。

根据椭圆的离心3

2c>

——Co变形可得3c进而可得，所以czccr3

率ew（O,l）,可得正3

V尸1的中垂线过点&

AIF}F21=1PF21,可得IPF21=2c,

又・・1QF2|=±

—C，且|PE目。

入，

*e•2c>

—-c,即3c2>

a2，c

=-^>

-.—.结合椭圆的离心率ee（OJ）,得立

333

故离心率的取值范围是4」.

点睛：

求圆锥曲线的离心率，应从条件得到关于外。

的关系式。

解题过程注意

的关系°

（1）直接根据题意建立〃，c的等式求解：

（2）借助平而几何关系建立。

的等式求解：

（3）利用圆锥曲线的相关细则建立“。

（4）运用数形结合建立的等式求解.

16.3拉

【分析】利用倒序相加法可得结果.

【详解】111

•••由倒序相加求和法可知人-5）+y（—4）+…+.A0）+…+.*5）+«

6）=3后

17.证明见解析

通过长方体的几何性质证得BM_LA4,通过计算证明证得8W1B.M,由此证得3M±

平面从而证得平而4?

A7_L平而481M.

由长方体的性质可知AiBi_L平而3CG5,

又BMu平面BCGBi,・・.A山」8%

又CG=2,M为CG的中点，

・・.CiM=CM=l.在中，JcM+CM?

=应，

同理18。

2+。

加2=&

，又BiB=2,

.BiM2+BM2=BiB2,从而5M_L8iM.

又A山inBiM=8i,・・.8M_L平而AiBhW,

•「BMu平面ABM,工平面A5ML平面A\B\M.

t点睛】

本小题主要考查而而垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

18.

（1）x+4y-8=0：

（2）x+2）,-6=。

由题意设A3,0）,8（0/）,其中。

，。

为正数，可设直线的截距式为二十；

=1,代点可得ab

41t

—I--=1>

（1）由基本不等式可得。

力216,由等号成立的条件可得。

和/?

的值，由此得到直线方程,

（2）=a+。

=（a+OX：

+》，由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程.

由题意设A（4,0）,B（0,〃），其中。

，〃为正数，可设直线的截距式为2+2=1,•.•直线过ab

点P（4,l）,――+；

=1,ab

（1）由基本不等式可得1=+，解得：

ab>

\6,当且仅当

8=2时，上式取等号，

・・・AAO3面积则当。

=8,/?

=2时，AAQB面积最小，此时直线/的方程2

=9,当且仅当

为二十2=1,即x+4v-8=0,82

（2）由于|。

川+|08|=4+6=伍+1）（」+3=5+竺+325+2abab

欠=：

，即。

=6且6=3时取等号，ah

所以当4=6,。

=3时，|OA|+|O8|的值最小，此时直线/的方程为：

+g=l,即

本题考查直线的截距式方程，涉及不等式求最值，属于中档题.

19.

（1）（x-l）2+y2=l；

（2）x2+y2-x-y-i=O

（1）设AP中点为例（尤丁），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x—2,2），）.

•••P点在圆+）3=4上，

•••（2x-2『+（2y）2=4.

故线段4尸中点的轨迹方程为"

一+/=1

（2）设尸。

的中点为

在用AP8Q中，|PN|=|初V|,

设。

为坐标原点，连结OV,则ON_LPQ,

所以=|QN『+|PN『=|ON『+忸N『，

所以x2+y2+（x_]『+（y_]）2=4.

故PQ中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-\=O

20.—+y2=l

利用离心率可求得。

=m，设0（〃cosa加力以）为椭圆上的点，由

\PQ[=^rcos2<

z+^/?

sincr--1^=-3〃[sina+十+4〃+3求出最大值时的〃，也即

可求得椭圆的标准方程

由题，椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=£

=正，

=〃，则c=®

，所以〃=攵（攵>

0）,故。

=劝，

设Q（acosaybsina）为椭圆上的点,

则|尸叶

=a2cos2a+[bsina--=

I2）

a2（1-sin2a^+h1sin2a-3/?

sina+：

=a2-（a2-Z?

2）sin2a-3bsina+—=4b2-3b2sin2tz-3Z?

sin<

z+—=-3Z?

2sina+—+4Z?

2+3'

，442b）

当5>

1,即匕<

J,当所以=—1时有最大值，由（J7y=〃+2b+\=S+62,

得〃=6-三>

—,不成立；

当匕2］，当时有最大值，由

2b2-2b

（"

）2=劭2_3^x（9）一3/^（9）+'

=4/+3,解得沙=1,所以4=2,

故椭圆的标准方程为：

二+V=1

本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的参数方程的应用，考查两点间距离公式的应用,考查运算能力

21.

（1）证明见解析；

（2）业1：

（3）

（1）证明面R4O_L面尸CQ，只需证明平面PCQ内的直线CO垂直于平面PAQ内的相交直线A2PO即可；

（2）建立空间直角坐标系，求得公=（1,1,0）,而=（0,2,-1）,利用向量所成的角，即可求解异而直线AC与总夹角的余弦值：

（3）作在MC上取一点N（x,y,z）,则存在/leA,使祝=%碇，得4V_LMC,BN上MC.所以/ANB为所求二面角的平而角，即可利用向量所成角的公式，求解而AMC与而8MC所成二面角余弦值的大小.

证明：

以A为坐标原点AO长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为4。

・。

），

3（020）,C（l,l,0）,£

）（1,0,0）,WO,1）,M（0J,-）

因而=（0,0]），DC=（0,1,0）,故=所以AP_LQC.

由题设知AO_LOC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得0c_1面PAD，又。

在而PC。

上，故而而PCZ）.

（2）解：

因而=（1,1,0）,而=（0,2,-1）,

故=&

，阿卜逐，衣.丽=2,所以cos〈AC,P8〉=肉附=可.

（3）解：

在MC上取一点N（x,y,z）,则存在XwR,使亚=/碇,

NC=（l-x/一y,-z）,x=l-A,）'

=1，Z=—4

要使AN_LMC,只需丽.碇=0，即入一

-2=0,解得几=一.

412

可知当丸=一时，N点坐标为（一」,一），能使AN・MC=O.

1212

此时,4N=（m」,,），8N=（不一1彳），有8MMd=O.

由前碇=0，丽碇=0，得A7VJ»

MC，BN上MC.

所以ZANB为所求二面角的平面角.

・.[京卜等，研="

，ANBN=-i,

…须.所箭=一1

而AA/C与而BMC所成二而角余弦值的大小为§

【点睛】本题考查直线与平而垂直的判定与证明以及空间角的求解,注意根据题设的特征建立合适的空间直角坐标系来证明与求解，本题属于中档题.

22.（I）y=4x；

（II）忸氏+oo）

（I）设尸（x,y）,则0（—1,丁），根据/./=而.而代入整理即可得P点的轨迹方程;

（II）表示出MA方程并与轨迹C联立,可得A的坐标,设出直线AB的方程并与C联立,利用

根于系数关系得到B的坐标,进而得到\MBI2,并用换元思想及二次函数最值可求出回范

（I）因为尸（1,0）,设尸（x,y）,则所以。

户=（x+l,0）,。

户=（2,—））,M=（x—l,y）,&

=（-2,y）,

因为历砺=万质,所以2（x+l）=_2（x_l）+y2,

整理得）3=4x,

所以点P的轨迹C的方程为y2=4x

（H）根据题意知M（0,0）,设MA：

y=kx9

联立

y=kx

f，解得

k（

A-F;

设,X）,3（々,%）,则凹+为=一4攵,

消去X得2_+）,一?

一;

=o,4k-kk3

因为M=一，所以y2=-4%——，kk

则x）=21=4（k+L）2,4k

所以IMBF=x；

+£

=16（k+；

）4+16（A+：

）2,

设f=（攵+》224,则IM8F=16d+,）=]61+f2_；

令y=16«

+1）2-1,对称轴为1=-1,所以＞在［4,+00）上单调递增,所以当/=4时,y取最小值,即IMBI2取最小值，所以IMBF最小值为16x（4?

+4）=16x20=320,则|M卸最小值为8有，

所以附卸取值范围是［86,2）

本题考查动点轨迹方程,考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查利用二次函数求最值,考

查运算能力与数形结合思想

T-q・1365

・・q="

4・・・%=32・（！

产=27-2〃,

•e-log2^H7-*12*44

二数列｛pog24|｝前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58,

本题考查等比数列的通项公式与前〃项和公式的应用，考查对数的运算,考查运算能力

13.—

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