平面向量复习课公开课教学设计Word文档下载推荐.docx
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师生活动
设计意图
—、基本概念：
1.向量：
既有又有
前五道题比较简
的量.几何表示法AB，a;
坐标表
单找个别学生回忆
用习题带知
并口述填空，必要时
识点，提高学生
示法a=xi+yj=（x,y）.
让学生集体补充.
学习兴趣
向量的的模即向量的大小，记作
TT
|a|或||AB|.
2.零向量：
的向量，
记为
它的方向，规定它与任何向
知
量
识
3.单位向量：
的向
占
量.
梳
4.平行向量（共线向量）：
方
教师利用基线
理
向相同或相反的非零向量
引导学生回忆向量
5.相等向量
共线条件
教师强调：
由于
一般情况下研究的
以学生熟悉的知识为载体，
二、向量的基本运算：
向量是自由向量，所
米用归纳的方
㈠向量的线性运算：
加法、减
以向量平行或共线
法，引导学生对比、思考，从而
法及数乘向量的综合运算：
等价.不过基线（直
顺理成章的完成
1.向量求和的三角形法则：
线）平行与共线不等
问题
价.向量共线等价于
2.向量求和的平行四边形法
两向量的基线平行
则：
或重合.
3.向量求和的多边形法则：
教师：
利用向量运算法则引导学生发现：
在MBC中
AB+BC=AC
（加）或
A^-A^=BC（减）
称AABC为向量三角形；
推广可有
A[A2++…+
，称AA2…AnA为封闭折线.
结论：
证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2：
1的两条线段•
AnA1=0
打破学生的定义形式上的轻视，拓展思维宽度，活跃课堂气氛•
4.向量减法法则：
5.数乘向量的定义：
实数入和
向量a的乘积是一个向量，记作：
;
其长为；
其方
向为；
数乘向量的几何意义是：
向量加法满足下列运算律：
（1）加法交换律：
（2）加法结
合律：
数乘向量满足下列运算律：
（1）
（2）
（3）
㈡向量共线的条件：
平行向量基本定理）向量a与
TTT
b（b式0）平行（即共线）则存在
唯一实数扎满足
特别地，三点A、B、C共线
UAB"
、AC.
㈢平面向量的坐标运算：
若｛a,b｝是一组单位正交基底，则
称（扎門是向量c在基底｛a,b｝下的
坐标，记作c=（九,4）.
在平面直角坐标系下：
设
a=（a「a2）,b=4,鸟），则有:
a+b=
a—b=
ha=
向量是近代
—f—*—f—f
数学中重要和基
a〃b（b式0）u
㈥向量的数量积：
以一正三角形来
本的数学概念之
结论4两个向量的数量积为
复习两向量夹角的
一，它是沟通代
iTif厂
知识，这既是对前面
数、几何与三角
ab=abcos。
，其中日=fa,b
r\/
知识的巩固，又是对
函数的一种工
为两个向量的夹角，其范围为
本节内容作的很好
具，有着极其丰
-
准备•
富的实际背景.
夹角公式cos日二歸二
教师提问：
强调
向量的坐标表
剛b|
两个向量的数量积
示,实际是向量
（坐标形式）：
不是一个向量，而是
的代数表示.
|a|=航=
一个实数•
在这里有个
对于实数来说都有
常见思维误区：
ab=0=a丄b=
哪些运算律？
不能正确理解向
:
（坐标形式）
考虑一下这些规律
量夹角的定义，
数量积的运算律：
对向量的数量积成
两个向量夹角的
立吗？
为什么？
定义是指同一点
（1）父换律：
：
（2）数乘律：
最后归纳出：
数量积
出发的两个向量
的运算规律•
所构成的较小的
（3）分配律：
非负角.
典
一、二角形的“四心”与向量
例集锦
1.关于重心G,有重心公式：
彳
OG=—（OA+0B+0C）
3
xa+xb+xcyA+yB+yc、
G（c，c），
33
并有性质
GA+GB+GC=0;
2.关于垂心H,有性质
HAHB=HBHC=HCHA;
3.关于外心0,有性质|OA|^OB|=|OC|；
OHG三点共线且
OH=30G;
此线称为欧拉
（Euler）线.（如何证明？
）
4.关于内心1，经常涉及内角平分线的研究，如
—「AB丄AC、
Al_人（一+—.）.
|AB||AC|
例1：
已知O,N,P在AABC所
在平面内，且
OA=|OB=OC,NA+NB+NC=0,且PA・PB=PB・PC=PC・PA,则点O,N,P依次是MBC的
（A）重心外心垂心
（B）重心夕卜心内心
（C）外心重心垂心
（D）外心重心内心
例2:
在四边形ABCD中
教师提出问题，学生回答，复习公式
教师完善
教师给出例题，学生回答，教师指导
学生说出“四心”及相应特点，分析例题，小组间可以简单讨论
通过复习公式，加深对公式的记忆，为下列例题做铺垫
通过例题，让学生更好地理解三角形的“四心”与向量知识的综合应用，进步加深对相关公式的理解，灵活运用公式
AB=DC=（1,1）,
1—_■13—_■
■■■BA+“BC=■兰〜BD,
BABCBD
则四边形ABCD勺面积是
例3:
设斜△ABC的外接圆
圆心为O两条边上的高的交点
uLo「；
；
a;
，则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A、外心B、内心
C、重心D、垂心
二、向量与解析几何
例5:
在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：
（1）A、BC三点共线等价于存在实数〉1,使得OCOA「OB
（：
•：
=1）；
（2）厶ABC的重心G的坐标公式为
1J
OG=—】OAOBOC•
（3）直线的方向向量是什么？
给
定两点：
R（Xi,%）,P2My），那么RP2=（x2-凶，y2-％），这也就是方向向量，横坐标单位化，得：
（1,tana），也就是说：
直线
Ax+By+C=0的方向向量是
（B,-A），直线的法向量是（A,B）.
例:
6:
已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1,0）和（1,0）,点A、P、Q运动时，满足
TTTT
AE=2EF,AQ=QF,
PQ”AF=0,AP//Ep
（1）求动点P的轨迹C的方程.
（2）设M、N是轨迹C上的两点，若OM+2ON=3OE，求直线MN的方程
三、禾U用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题
例7：
已知向量OP1,oR2,OR3满
口一，「TTTT
足条件OP1+OP2+OP^0，
OR=OP2=OP3=1，求证：
也PBB是正三角形
解：
令O为坐标原点，可设
教师给出例题，
学生分析解答
学生讨论、动手操作、思考问题并回答
算是常考的知识点,运用向量方法解决解析几何的有关知识，有时候显的非常方便.通过平面向量的坐标运算，我们可以培养学生的归纳、猜想、演绎能力，通过代数方法解决几何问题,提高学生用数形结合思想解决问题的能力.
R（cosq，:
P2（cos日2,
P3（co^3,
由OP1+OP2+OP3二
（cos®
sin®
）+（cow
=（—cos日3—sin&
3）
cos3+cos02=-c
sin0+sin02=-sir
两式平方
1+2cos0-0
cos0—0
由此可知q-82的J
0TT
120，即OR与OF
同理可得
OF与OP3的夹角为
OP2与OP3的夹角:
这说明RRR三点
个单位圆上，
所以ARBR为等腰
例8：
求等腰直直角边上的中线所成数
如图，分』
别以等腰直己
角三角形的&
，两^直^角边^为—
sinq）sin日2）sin€i3）
=0，即
旳2,sin日2）
OS0①
103②
'
和为
2）+1=1，
）=-2，
最小正角为
、2夹角为1200，
为1200，
〔均匀分部在一
三角形•
苴角三角形中两贞的钝角的度
■
分组完成并进行演示评价
观察图象回忆相关公式
通过练习使学生进一步体会几何与向量的关系，认识到数形结合的重要性•同时让学生在总结中提升自己解题的能力•
两直角边为
x轴、y
轴建立直角坐标系，设
A2a,0,B0,2a，则Da,0,C0,a,
从而可求：
AC=-2a,a,BD=a,-2a,
co^-2a，a久一羽=
P5a忑a
—4a2_4
5a25
（4）
e=arccos-—.
I5丿
四、利用向量的坐标运算，解
决有关线段的长度问题
例9：
已知ABC，AD为中线，
求证AD2=’（AB2+AC2）—f
2\2）
证明：
以B为坐标原点，以BC所
在的直线为x轴建立如图2直角坐
设A（a，b）C（c，0）,D〔2,0）则
标系
AD
2c
「C…2
=_—ai+（0—b）
J'
22
-acab
2
=a2+b2-ac+乞
4
从而
IAD|2二
五、利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量
例10:
已知点O是
学生自习分析并
画出图形
ABC内的一点，
AOB=150°
，BOC=90°
，
充分体现教师主导作用和学生主体作用相统一，体现教学的直观性和启发性.
*■T■TT—设OA=a,OB=b,OC=c,且a=2,耳=1,c=3,试用
—f—*T
a,禾口b表示c
以O为原点，OCOB所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的坐标系.
由0A=2ZAOx=120°
，所以
结合向量来解决
A2cos120°
2sin1200，即A-1,,3,
易求B0,-1,C3,0，设
OA=•QB，2OC，即
-1,3=\0,-1'
23,0
：
-1=3妬<
3=-九<
i
13
…3-A
例11:
如图，OA
T
OB=1，
OA,OB120，用OA,OB表示
OC.
以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
则A1,0，
由COA=30
引导学生思考后回答配合教师板演
训练学生对图形的运用，渗透转化思想，培养学生严谨的思维品质，有利于学生对向量的理解.
所以C（5cos30°
5sin30°
）
即c（5*3,5）
同理可求B一1,』3
I22丿
OCOl+嘉OB，即
（座,5）=肋（1,0）+九2』,®
2222
5^/31：
10^3
\22,3.
|5的、L5运
i一=~-心i人2=
[2213
■10、；
3■5丁3■
、OC=—^OA+亠OB.
六、利用向量的数量积解决有关距离的冋题，距离冋题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离•
例12:
求平面内两点
A（%,yj,B（X2,y2）间的距离公式
设点A（X1，yJ,Bgy），
AB=化-兀皿-yj
"
AB|=J（X2—X1）2+（y2—yj2,
而|AB冃AB|
二点A与点B之间的距离为：
1ABLJ（X2-X1）2+（y2-yj2
由学生证明并得
出结论
从知识和体验入手总结本节课内容，得到提高和巩固，使学生深切体会本节内容从而实现再次深化.
Mb—
例13:
设XJERiJ为直角
探究思路：
①引
许多几何问
坐标平面内轴正方向上的单位
导学生分析神"
题，用向量来解
的几何意义.
决显得简捷方
向量.若向量说"
+0+2”，
便在教学过程
②求出M点的轨迹
Q拧十（』-折，且酣阡8
A.2
中，引导学生不
方程1216
断体会，最终能
（1）求点M（和）的轨迹方程；
③op=ai+aS^四
熟练应用向量来
（2）过点（0，3）作直线/与曲线
边形如8是平行四
证明两直线平
C交于人B两点，设OP=OAWB，
边形；
行、垂直、两直
若倔是矩形，则
线夹角，利用向
是否存在这样的直线！
，使四边形
oi厢胡二冲血+加］=o
量得到定比分点
问
0媲是矩形.若存在，求出/方程；
在教师的引导
公式，两点距离
题
若不存在，请说明理由.
公式，平移公式，
下，学生自主探索如
深
下问题：
正余弦定理等，
化
例14：
已知两点MPLOLMIffi，
由M,NtP三点坐标
同时在教学中注
w4亠4life斗
意向量与三角函
点P使MP■■PN,丽■NP成公
表示上述向量.
数、复数、数列、
差小于零的等差数列.
由
解几的综合应
（1）点F的轨迹是什么曲线；
用.
（2）若点P的坐标是（阳必）初为
是公差小于零的等
差数列等价于
顷与旳的夹角，求就3.
9o
为提高学生
X2+y2=3
<
学习探究能力，
/>
0
课堂学生自主分
P点轨迹是以原点为
析、探究，教者
圆心，原点为半径的
适时点拔
圆
巩
1.在下列各命题中为真命题
固
的是（）
不同层次的
练
—»
■—»
>
①若a=（x1,y1）、b=（x2,y2），
学生都可以获得
习
成功得到喜悦，
贝Ua•b=xy+X2y2
2若A（xi,yi）、B（X2,y2）,则丨
AB|=J（xi—X2）2+（yi—y2）2
3若a=（xi,y1）、b=（X2,y2）,贝Ua•b=0=xiX2+yiy2=0
4若a=（xi,yi）、b=（x2,y2）,
、■1
贝Ua丄b=xiX2+yiy2=0
A、①②B、②③
C、③④D、①④
2.已知a=（—w'
3,—i）,b=（i,石），那么a,b的夹角0=（）
A、30°
B、60°
Ci20°
D、i50°
3.已知a=（2,i）,b=（—
i,3）,若存在向量c使得：
a•c=4,b•c=—9,试求向量c的坐标、
4.求向量a=（1,2）在向量
b=（2,—2）方向上的投影
巡回指导，纠正错误，师生共同确定问题的答案•学生：
独立思考，培养独立学习的习惯•
看到自己的潜能.从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展，合作探究的学习氛围•
课
后小结
1.在本课中我们复习了哪些与向量有关的公式？
2.向量在代数或几何中有哪些应用？
3•你们对本课哪些内容还有困惑？
作
业
必做题：
Pi26巩固提高选做题：
P127自测与巩固
A
课后教学反思
一、优势
在教学中，高二五、六这两个班学生，通过前面学习，大部分学生的知识基础和接受的能力还是可以的.20%的学生是很聪明的,通过自己看书,能够基本掌握本节内容，30%的学生在课堂上能够跟上我的思路，通过讲解,也能很快掌握，30%的学生勉强能跟上我的思路，但需要时间消化，剩下20%勺学生,如果不预习课本基本上上课很难听懂，即使提前预习了，也不一定能跟的上.
二、不足
1.教学教法方面
一方面学生在接受上有一定的困难，另一方面在细节问题上就很难把握的好一节课45分钟,在这么短的时间内让学生掌握住如此多的知识，难度很大，同时,一味地赶进度，带来的直接后果就是学生学而不精，对深层的问题，没有实质性的认识,只会死记公式，做原题,对于变形题目，学生仍然无从下手•
2.对学生能力估计不足
在课堂教学之前，做为教师,我应该对学生有个充分的估量，在这些容易错的地方,学生会出现那些错误，学生会用什么方法解决此题，我应该事先有个充分的估量,不至于课堂教学中，出现我没预料到的情况，造成教学的被动•
3.应鼓励学生自主探索、自主学习
在问题深化过程，本意很想让学生自主探索，自主学习，但在实际操作过程中，由于师生配合不是特别的默契，没有完全把学生的意图彻底弄透，甚至最后时间都有紧
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