平面向量复习提纲.doc

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新课程·数学必修4

平面向量全章复习

【教学目标】

复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。

本章知识框架

向量的定义

向量的表示

向量间的关系

向量

相等向量

相反向量

共线向量

符号表示

几何表示

基底表示

坐标表示

向量的运算

加法

减法

数乘

向量的应用

数量积

平行与共线

长度

夹角

垂直

一．基本知识点回顾

1．向量的定义：

既有大小又有方向的量叫做向量．

2．向量的表示：

①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：

；

3．向量的长度：

向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作．

说明：

（1）不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．

（2）向量不同于数量．数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的．

（3）向量的模（是正数或零）可以比较大小．

4．几组特殊的向量：

①零向量：

长度为零的向量叫做零向量，记作0或．

说明：

零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个．规定所有的零向量都相等．

②单位向量：

长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

③平行向量（即共线向量）：

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作．

说明：

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．（3）规定：

零向量与任意向量平行．

④相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若与相等，记作．

⑤相反向量：

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量的相反向量记为．

5．向量加法的概念：

已知向量和，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即．求两个向量和的运算叫做向量的加法．

①规定：

，，即；②向量加法的三角形法则：

在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；③向量加法的平行四边形法则：

说明：

（1）求和向量必须共起点．

（2）向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则．

6．向量加法的运算律：

交换律：

；结合律：

．

7．向量减法的有关概念:

若，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

8．向量减法的作图方法:

在平面内任取一点，作，，则，即表示从向量的终点指向被减向量的终点的向量．

9．向量的数乘的定义：

一般的，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

（1）；

（2）当>0时，与方向相同，当<0时，与，方向相反，当＝0时，＝．实数与向量相乘，叫做向量的数乘．

10．向量数乘的运算律：

（1）（结合律）；

（2）（分配律）；（3）（分配律）．

11．向量共线定理：

一般地，对于两个向量（），，如果有一个实数，使得，那么与是共线向量，反之，如果与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．

12．平面向量基本定理：

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使=+．我们把不共线的向量，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．

13．向量的坐标表示：

在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj①，则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作：

a=（x，y）②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式为向量的坐标表示．

14．向量坐标运算：

已知，，，，．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

15．共线向量坐标表示的一般性结论：

设a，b（a≠０），如果a∥b，那么；反过来，如果，那么a∥b．

结论（简单表示）：

向量与共线．

16.向量的夹角：

对于两个非零向量和，作=，=，则（0°≤θ≤180°）叫做向量和的夹角．特别地，当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b．

17.平面向量数量积：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积（或内积）（scalarproductofvectors），记作a·b，即：

a·b=|a||b|cosθ．

我们规定：

零向量与任一向量的数量积为0．

向量数量积模的性质：

当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|．

特别地，a·a=|a|2或|a|=．

向量数量积的运算律：

设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：

（1）a·b=b·a；（交换律）；

（2）（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）=λa·b；（结合律）；

（3）（a+b）·c=a·c+b·c．（分配律）。

18.平面向量数量积的坐标表示：

若两个向量为a=（x1,y1），b=（x2,y2），则a·b=x1x2+y1y2．

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．

推论及公式：

l设a=（x，y），则a2=x2+y2，即|a|=．

l两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为AB=．

la=（x1,y1），b=（x2,y2），它们的夹角为θ，则有

l=0．

19.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：

向量运算/定理/定义

几何意义

物理学原型

相反向量：

-a

作用力与反作用力

加法：

a+b

三角形法则（平行四边形法则）

位移的合成、力的合成

减法：

a-b

三角形法则（减法是加法的逆运算）

数乘：

λa

共线向量（b=λa（a¹0）Ûb//a）

位移=速度×时间

平面向量基本定理

力的分解

数量积：

a·b=|a||b|cosθ

功

二．典型例题分析

例1.在四边形ABCD中,已知,试判断四边形ABCD是什么样的四边形?

例2.化简：

（1）______；

（2）_____；（3）_____．

例3.若=3e1,=－5e1,且||=||，判断四边形ABCD的形状．

例4.若，则__________．

例5.已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+（10－y）b=2xb+（4y+4）a,则x=_____________,y=_____________．

例6.向量，且与的方向相同，则的取值范围是 ．

例7.已知=（-1，2），=（3，m），若⊥，则m的值为__________．

例8.已知点在内，且，设，其中，则等于__________.

例9.已知向量则的坐标是_____．

例10.已知平面内三点，则x的值为_______．

例11.设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标．

例12.已知垂直，求实数k的值．

例13.已知|p|=，|q|=3，p、q的夹角为45°，求以a=5p+2q，b=p－3q为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长．

例14.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（试判断△ABC的形状．

例15.已知||=3，||=4，（且与不共线），当且仅当k为何值时，向量+k与－k互相垂直?

例16.已知向量a、b满足．

例17.若向量，满足且与的夹角为，则________．

例18.已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．

例19.△ABC中，，，，则______（答：

－9）

例20.已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：

）；

例21.已知，，，且，则x＝______（答：

4）；

例22.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标．

例23.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．

例24.把一个函数图像按向量平移后，得到的图象的表达式为，则原函数的解析式为．（ ）

例25.设向量与的夹角为，，，则_______．（）

例26.设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标．

例27.已知若存在不为零的实数和角，使得，且，试求实数的取值范围．

例28.已知M＝（1+cos2x，1），N＝（1，sin2x+a）（x，a∈R，a是常数），且y=·（O是坐标原点）⑴求y关于x的函数关系式y=f（x）；⑵若x∈[0，]，f（x）的最大值为4，求a的值，并说明此时f（x）的图象可由y=2sin（x+）的图象经过怎样的变换而得到．

例29.已知：

、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）。

⑴若||，且，求的坐标；

⑵若||=且与垂直，求与的夹角θ.

例30.平面内向量，，），点X为直线OP上动点.

①当取最小值时，求的向量坐标.

②当点X满足①中条件和结论时，求cos∠AXB的值

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