第十一章 111 1111 空间几何体与斜二测画法秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx

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第十一章1111111空间几何体与斜二测画法秋数学必修第四册人教B版新教材改题型

第十一章立体几何初步

　　　　　　[数学文化]——了解数学文化的发展与应用

几何原本

《几何原本》由

古希腊数学家欧几里德编著，大约成书于公元前300年，距今已有2000多年的历史.《几何原本》全面而系统地将远古人类创造的零散数学成果进行整理，以五大公设为基础、由简单到复杂，用严谨的逻辑思维进行层层推理、严格证明，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何……，应用丰富的数学思想：

分析法、综合法和归谬法进行层层推演，其惊艳的逻辑美伦美奂，令人陶醉.这是古代文明史上的一大壮举，远古人类第一次用“公理系统”构建起了古代的数学大厦，对近代和现代数学，产生了深远的影响.

《几何原本》的内容与我们在中学阶段学习的大部分几何知识基本等同，但是，真正宝贵的是蕴含于其中的“数学思想”.

[读图探新]——发现现象背后的知识

法国国

防部的“法国五角大楼”，从外部看犹如一座城堡.而它的内部围成中庭，呈六边形，与法国本土轮廓相似，因而也被称为“巴拉尔六角大楼”.大楼的外墙可以承受导弹攻击，指挥中枢位于地下，安全措施严密.国防部大楼也并非完全一座冷冰冰的军事堡垒，内部还建有庭院、美发室、图书馆、游泳池、体育设施和餐厅，甚至还有幼儿园.这壮观的大楼是由几何体组成的.

问题1：

建筑中有哪些几何体？

几何体中的点、线、面之间又具备怎样的关系呢？

问题2：

多面体和旋转体的表面积及体积怎样计算？

链接：

建筑中的几何体有多面体和旋转体，主要包括柱体、锥体、台体及球体，其中的线与线之间可能是平行、相交和异面；直线与平面之间有平行、相交，特别的有直线与平面垂直；平面与平面也有平行或相交.表面积是各面面积之和，各几何体的体积也有各自的计算公式.

11.1　空间几何体

11.1.1　空间几何体与斜二测画法

课标要求

素养要求

1.认识空间几何体.

2.会用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆锥、圆柱、棱柱等）的直观图.

从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.

教材知识探究

随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有空间几何体.

问题　你能从中抽象出几何体吗？

用什么方法画出来这些几何体的直观图？

提示　由斜二测画法画出空间图形的直观图.

1.空间几何体

如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.

2.斜二测画法

（1）立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图.

（2）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：

①在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之相对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°（或135°）.

②平面图形中与x轴平行（或重合）的线段画成与x′轴平行（或重合）的线段，且长度不变；平面图形中与y轴平行（或重合）的线段画成与y′轴平行（或重合）的线段，且长度为原来长度的一半.

③连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线.

（3）用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：

①在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x′轴和y′轴）.

②在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴.图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z′轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连接有关线段.

③擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.

教材拓展补遗

[微判断]

1.平行四边形的直观图可能是梯形.（×）

提示　平行的线段在直观图中仍平行，故平行四边形的直观图仍是平行四边形.

2.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x′Oy′时，∠x′Oy′必须为45°.（×）

提示　∠x′Oy′是45°或135°.

[微训练]

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（　　）

A.原来相交的仍相交

B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行

D.原来共点的仍共点

解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.

答案　B

2.如图所示

为一个平面图形的直观图（A′D′∥B′C′），则它的实际形状四边形ABCD为（　　）

A.平行四边形B.梯形

C.菱形D.矩形

解析　因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.

答案　D

[微思考]

1.在斜二测画法中，原图形中两条相等的线段，直观图中对应的线段还相等吗？

提示　如果两条相等线段平行，则直观图中仍平行且长度相等，若不平行则对应的线段长度不确定.

2.矩形的直观图的面积与原图形面积有怎样的关系？

提示　矩形直观图的面积是原图形面积的

倍.

题型一　画水平放置的平面图形的直观图

【例1】　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解　画法：

（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立平面直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝

OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.

规律方法　画水平放置的平面图形的直观图的技巧：

（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.

（2）在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定.

（3）同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同.

【训练1】　用

斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.

解　

（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝

OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.

题型二　空间几何体的直观图

【例2】　用斜二测画法画出正六棱锥的直观图.

解　

（1）画六棱锥P－ABCDEF的底面的直观图.

①在正六边形ABCDEF中，取对角线AD所在直线为x轴，取与AD垂直的对称轴MN为y轴，两轴相交于点O，建立直角坐标系（如图

（1）所示）.

②画相应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

以O′为A′D′及M′N′的中点，在x′轴上取A′D′＝AD，

在y′轴上取M′N′＝

MN，

以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC，

再以点M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.

③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，则得到水平放置的正六边形ABCDEF的直观图A′B′C′D′E′F′.

（2）在直观图中画六棱锥的顶点.连接OP，以OP所在直线为z轴.过O′作与z轴对应的z′轴，在O′z′上取点P′，使O′P′＝OP.

连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′（如图

（2）所示）.

（3）擦去x′轴、y′轴、z′轴，被面遮挡住的线段A′F′，E′F′，P′F′改成虚线，

便得到正六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′（如图（3）所示）.

规律方法　1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.

2.直观图画法口诀可以总结为：

“一斜、二半、三不变.”

【训练2】　画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图.

解　画法：

（1）画轴.

画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°（或135°），∠xOz＝90°，如图

（1）.

（2）画底面.

以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图ABCD.

（3）画顶点：

在z轴上截取OP，使OP＝3.

（4）成图：

顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，被面遮挡住的线段AD，PD，CD改成虚线，得四棱锥的直观图如图

（2）.

题型三　直观图的还原与计算

【例3】　如图，

一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（　　）

A.

a2B.2

a2

C.a2D.2a2

解析　由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2

a＝2

a2.

答案　B

规律方法　由直观图还原平面图形关键有两点：

（1）平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度扩大为原来的2倍；

（2）对于相邻两边不与x′，y′轴平行的顶点可通过作x′轴、y′轴的平行线，变换确定其在xOy中的位置.

若平面图形的面积为S原，用斜二测画法得到的直观图面积为S直，则S直＝

S原.

【训练3】　已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为（　　）

A.

a2B.

a2

C.

a2D.

a2

解析　直观图是边长为a的正三角形，所以S直＝

a2，则S原＝2

S直＝

a2.

答案　C

一、素养落地

1.通过从实际物体中抽象出空间几何体，画出空间几何体的直观图，培养学生的直观想象素养.

2.用斜二测画法画直观图的关键是确定直观图中的顶点或其他关键点，因此应尽量把顶点或其他关键点放在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.

3.将水平放置的平面图形的直观图还原成实际图形的过程，是画直观图的逆过程，即平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的2倍.

4.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间的关系为

＝

.

5.斜二测画法保留了原图形的三个性质：

①平行性不变，即原图形中平行的线在直观图中仍平行，②共点性不变，即在原图形中相交的直线仍相交，③平行于x轴或z轴的线段长度不变.

二、素养训练

1.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是（　　）

A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形

B.正方形的直观图为平行四边形

C.梯形的直观图可能不是梯形

D.正三角形的直观图一定为等腰三角形

解析　用斜二测画法时保持平行性不变，但线段的长度、角度不确定.

答案　B

2.一梯形的

直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为

，则原梯形的面积为（　　）

A.2B.

C.2

D.4

解析　原梯形上、下两底长度与直观图中上、下两底的长度分别对应相等，但高不同.

原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的

倍，

由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2

倍，故原梯形面积是梯形O′A′B′C′面积的2

倍，又梯形O′A′B′C′的面积为

，所以原梯形的面积是4.

答案　D

3.如图，

平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.

解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形OPQR是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×（3＋2）＝10.

答案　10

4.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.

解析　由直观图可知其对应的平面图形AOB中，

∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，

∴S△AOB＝

OA·OB＝6.

答案　6

基础达标

一、选择题

1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于（　　）

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°，故∠A′＝45°或135°.

答案　C

2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（　　）

解析　根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边在其原图中与底边垂直.

答案　C

3.如图所示

是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是（　　）

A.锐角三角形　　　B.直角三角形

C.钝角三角形　　　D.任意三角形

解析　∵A′B′∥y′，∴由斜二测画法可知原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.

答案　B

4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（　　）

A.ABB.ADC.BCD.AC

解析　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.

答案　D

5.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（　　）

A.2倍B.

倍

C.

倍D.

倍

解析　底边在x轴上，则在直观图中底边长不变，设为a，又高h在直观图中变为

h，∴S直观图＝

a×

h＝

·

＝

S原.

答案　B

二、填空题

6.水平

放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.

解析　由直观图知，原平面图形为直角三角形且∠ACB＝90°，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.

答案　2.5

7.利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形.

以上结论中，正确的是________（填序号）.

解析　斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形.

答案　①②

8.一个水平放

置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________.

解析　过A作AE⊥BC，垂足为E，

又∵DC⊥BC且AD∥BC，∴ADCE是矩形，

∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝

，

∴原平面图形是直角梯形且上、下两底边长分别为1和1＋

，高为2，

∴原平面图形的面积为

×

×2＝2＋

.

答案　2＋

三、解答题

9.如图，

△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形.

解　

（1）在已知图形中画坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，

C′A′在x′轴上，C′与O′重合，如图

（1）；

（2）画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′，如图

（2）所示；

（3）在图

（1）中过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′.在图

（2）中，在x轴上取OD＝O′D′，

过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；

（4）连接AB，BC，则△ABC即为原图形，如图

（2）所示.

10.用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.

解　画法：

（1）画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

（2）画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝1cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.

（3）画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.

（4）成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理（去掉辅助线，将被面遮挡的线段AD，CD，DD′改为虚线），就得到正方体的直观图，如图②.

能力提升

11.如图所示

的是水平放置的三角形ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′∥y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形的线段AB，AD，AC中（　　）

A.最长的是AB，最短的是AC

B.最长的是AC，最短的是AB

C.最长的是AB（且AB＝AC），最短的是AD

D.最长的是AD，最短的是AC

解析　在原图形中，AD⊥BC，又D为中点，故AB＝AC＞AD.

答案　C

12.在如图

的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________（填形状），面积为________cm2.

解析　由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2cm，OC＝4cm，∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8（cm2）.

答案　矩形　8

创新猜想

13.（多选题）下列说法正确的是（　　）

A.相等的角在直观图中对应的角仍然相等

B.最长的线段在直观图中对应的线段仍最长

C.线段的中点在直观图中仍然是线段的中点

D.直角梯形的直观图可能是等腰梯形

解析　在斜二测画法中，平行性不变，但线段的长度、角的大小都可能改变，但线段上点的相对位置不变.

答案　CD

14.在水平放置

的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的原图形并求出其面积.

解　正方形A′B′C′D′的原图形为如图所示的四边形ABCD.

∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，

∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，

A′D′＝B′C′，

∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，DA＝BC＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝

，

∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2

.