第十二章立体几何高中数学竞赛标准教材.docx

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第十二章立体几何高中数学竞赛标准教材

第十二章立体几何（高中数学竞赛标准教材）

第十二立体几何

一、基础知识

公理1一条直线。

上如果有两个不同的点在平面。

内．则这条直线在这个平面内，记作：

aa．

公理2两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线，使得α∩β=,且P∈。

公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。

即不共线的三点确定一个平面．

推论l直线与直线外一点确定一个平面．

推论2两条相交直线确定一个平面．

推论3两条平行直线确定一个平面．

公理4在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1异面直线及成角：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行（直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行）统称直线在平面外．

定义3直线与平面垂直：

如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．

定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．

定理2两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．

定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．

定义一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．

结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．

定理4（三垂线定理）若d为平面。

的一条斜线，b为它在平面a内的射影，为平面a内的一条直线，若b，则a．逆定理：

若a，则b．

定理直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行

定理6若直线。

与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b．

结论2若直线。

与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．

定理7（等角定理）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．

定义6平面与平面的位置关系有两种：

平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交．

定理8平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β

定理9平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．

定义7（二面角），经过同一条直线的两个半平面α,β（包括直线，称为二面角的棱）所组成的图形叫二面角，记作α——β，也可记为A—一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB（≤900）叫做二面角的平面角．

它的取值范围是[0，π]．

特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即αβ

定理10如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

定理11如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内．

定理12如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直．

定义8有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边（称为侧棱）都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．

定义9有一个面是多边形（这个面称为底面），其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．

定理13（凸多面体的欧拉定理）设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则

V+F-E=2．

定义10空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．

定理14如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．

定义11（经度和纬度）用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周（以两极为端点）叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经．

定理1（祖原理）夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等

定理16（三面角定理）从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600．

定理17（面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4πR2。

若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=πrl

定理18（体积公式）半径为R的球的体积为V球=；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为V=

定理19如图12-1所示，四面体ABD中，记∠BD=α，∠AD=β，∠ADB=γ，∠BA=A，∠AB=B，∠AB=。

DH平面AB于H。

（1）射影定理：

SΔABD•sФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H为Ф。

（2）正弦定理：

（3）余弦定理：

sα=sβsγ+sinβsinγsA

sA=-sBs+sinBsinsα

（4）四面体的体积公式DH•SΔAB

=

（其中d是a1,a之间的距离，是它们的夹角）

SΔABD•SΔAD•sinθ（其中θ为二面角B—AD—的平面角）。

二、方法与例题

1．公理的应用。

例1直线a,b,都与直线d相交，且a//b,//b，求证：

a,b,,d共面。

[证明]设d与a,b,分别交于A,B,,因为b与d相交，两者确定一个平面，设为a又因为a//b，所以两者也确定一个平面，记为β。

因为A∈α，所以A∈β，因为B∈b，所以B∈β，所以dβ又过b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一个平面，所以aα同理α即a,b,,d共面。

例2长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条？

[解]充要条。

先证充分性，设图12-2中PQRST是长方体ABD-A1B11D1的正六边形截面，延长PQ，SR设交点为，因为直线SR平面1D1D，又∈直线SR，所以∈平面1D1D，又因为直线PQ平面A1B11D1，又∈直线PQ，所以∈平面A1B11D1。

所以∈直线1D1，由正六边形性质知，∠RQ=∠QR=600，所以ΔRQ为正三角形，因为D//1D1，所以=1。

所以R是1中点，同理Q是B11的中点，又ΔR1≌ΔQ1，所以1R=1Q，所以1=1B1，同理D=1，所以该长方体为正方体。

充分性得证。

必要性留给读者自己证明。

2．异面直线的相关问题。

例3正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？

[解]每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线12×4=48对，而每一对异面直线被计算两次，因此一共有24对。

例4见图12-3，正方体，ABD—A1B11D1棱长为1，求面对角线A11与AB1所成的角。

[解]连结A，B1，因为A1AB1B1，所以A1A1，所以A1A1为平行四边形，所以A11A。

所以A与AB1所成的角即为A11与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1=A，所以∠B1A=600。

所以A11与AB1所成角为600。

3．平行与垂直的论证。

例A，B，，D是空间四点，且四边形ABD四个角都是直角，求证：

四边形ABD是矩形。

[证明]若ABD是平行四边形，则它是矩形；若ABD不共面，设过A，B，的平面为α，过D作DD1α于D1，见图12-4，连结AD1，D1，因为ABAD1，又因为DD1平面α，又ABα，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。

同理BD1，所以ABD1为矩形，所以∠AD1=900，但AD1<AD,D1<D，所以AD2+D2=A2=，与<AD2+D2矛盾。

所以ABD是平面四边形，所以它是矩形。

例6一个四面体有两个底面上的高线相交。

证明：

它的另两条高线也相交。

[证明]见图12-，设四面体ABD的高线AE与BF相交于，因为AE平面BD，所以AED，BF平面AD，所以BFD，所以D平面AB，所以DAB。

设四面体另两条高分别为，DN，连结N，因为DN平面AB，所以DNAB，又ABD，所以AB平面DN，所以ABN。

设N交AB于P，连结PD，作PD于，因为AB平面DN，所以AB，所以平面ABD，即为四面体的高，所以与重合，所以，DN为ΔPD的两条高，所以两者相交。

例7在矩形ABD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ΔABE折起，并使A=AD，见图12-6。

求证：

平面ABE平面BDE。

[证明]取BE中点，D中点，连结A，，D，，则//B，又DB，所以D。

又因为A=AD，所以AD，所以D平面A，所以AD。

又因为AB=AE，所以ABE。

因为ED≠B，所以BE与D不平行，所以BE与D是两条相交直线。

所以A平面B-DE。

又直线A平面ABE。

所以平面ABE平面BDE。

4．直线与平面成角问题。

例8见图12-7，正方形ABD中，E，F分别是AB，D的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBF所成的角。

[解]设边长AB=2，因为EFAD，又ADAB。

所以EFAB，所以BG=，又AEEF，BEEF，所以∠AEB=1200。

过A作ABE于，则∠AE=600，E=，A=AEsin600=由余弦定理G2=B2+BG2-2B•BGs∠BG==2，所以G=因为EFAE，EFBE，所以EF平面AEB，所以EFA，又ABE，所以A平面BE。

所以∠AG为AG与平面EBF所成的角。

而tan∠AG=。

所以AG与平面EBF所成的角为

例9见图12-8，A是平面α的一条斜角，ABα于B，在α内，且A，∠A=α，∠AB=β，∠B=γ。

证明：

sα=sβ•sγ

[证明]因为ABα，A，所以由三垂线定理，B，所以Asβ=B,Bsγ=,又RtΔA中，Asα=，所以Asβsγ=Asα，所以sα=sβ•sγ

．二面角问题。

例10见图12-9，设S为平面AB外一点，∠ASB=40，∠SB=600，二面角A—SB—为直角二面角，求∠AS的余弦值。

[解]作SB于，NAS于N，连结N，因为二面角A—SB—为直二面角，所以平面ASB平面BS。

又SB，所以平面ASB，又NAS，所以由三垂线定理的逆定理有NAS，所以S•s∠SN=SN=S•s∠S•s∠ASB，所以s∠AS=s40s600=。

例11见图12-10，已知直角ΔAB的两条直角边A=2，B=3，P为斜边AB上一点，沿P将此三角形折成直二面角A—P—B，当AB=时，求二面角P—A—B的大小。

[解]过P作PDA于D，作PEP交B于E，连结DE，因为A—P—B为直二面角，即平面AP平面PB，所以PE平面AP，又PDA，所以由三垂线定理知DEA，所以∠PDE为二面角P—A—B的平面角。

设∠BP=θ，则s∠ED=sθ•s（900-θ）=sinθsθ，由余弦定理s∠AB=，所以sinθsθ=，所以sin2θ=1又0<2θ<π，所以θ=，设P=a，则PD=a,PE=a所以tan∠PDE=

所以二面角P—A—B的大小为。

6．距离问题。

例12正方体ABD—A1B11D1的棱长为a，求对角线A与B1的距离。

[解]以B为原点，建立直角坐标系如图12-11所示。

设P，Q分别是B1，A上的点，且，各点、各向量的坐标分别为A（a,0,0）,B（0,0,0）,（0,a,0），,所以，所以a×a+a×a=0,a×a-a×a=0所以。

所以PQ为A与B1的公垂线段，所以两者距离为

例13如图12-12所示，在三棱维S—AB中，底面是边长为的正三角形，棱S的长为2，且垂直于底面，E，D分别是B，AB的中点，求D与SE间的距离。

[分析]取BD中点F，则EF//D，从而D//平面SEF，要求D与SE间的距离就转化为求点到平面SEF间的距离。

[解]设此距离为h，则由体积公式计算可得SΔSEF=3，所以

7．凸多面体的欧拉公式。

例14一个凸多面体有32个面，每个面或是三角形或是五边形，对于V个顶点每个顶点均有T个三角形面和P个五边形面相交，求100P+10T+V。

[解]因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。

因为T+P个面相交于每个顶点，每个顶点出发有T+P条棱，所以2E=V（T+P）由此得V（T+P）=2（V+30），即V（T+P-2）=60由于每个三角形面有三条棱，故三角形面有个，类似地，五边形有个，又因为每个面或者是三角形或者是五边形，所以=32，由此可得3T+P=16，它的唯一正整数解为T=P=2，代入V（T+P-2）=60得V=30，所以100P+10T+V20。

8．与球有关的问题。

例1圆柱直径为4R，高为22R，问圆柱内最多能装半径为R的球多少个？

[解]最底层恰好能放两个球，设为球1和球2，两者相切，同时与圆柱相切，在球1与球2上放球3与球4，使12与34相垂直，且这4个球任两个相外切，同样在球3与球4上放球与球6，……直到不能再放为止。

先计算过34与过12的两平行面与圆柱底面的截面间距离为。

设共装层，则（22-）R<R（-1）+2R≤22R，解得=1，因此最多装30个。

9．四面体中的问题。

例16已知三棱锥S—AB的底面是正三角形，A点在侧面SB上的射影H是ΔSB的垂心，二面角H—AB—的平面角等于300，SA=。

求三棱锥S—AB的体积。

[解]由题设，AH平面SB，作BHS于E，由三垂线定理可知SAE，SAB，故S平面ABE。

设S在平面AB内射影为，则S平面AB，由三垂线定理的逆定理知，AB于F。

同理，BA，所以为ΔAB垂心。

又因为ΔAB是等边三角形，故为ΔAB的中心，从而SA=SB=S=，因为FAB，F是EF在平面AB上的射影，又由三垂线定理知，EFAB，所以∠EF是二面角H—AB—的平面角，故∠EF=300，所以=Ss600=,S=tan600=3，又=AB，所以AB==3。

所以VS—AB=×32×3=。

例17设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h是四面体的最小高的长，求证：

2d>h

[证明]不妨设A到面BD的高线长AH=h，A与BD间的距离为d，作AFBD于点F，NBD于点N，则N//HF，在面BD内作矩形NFE，连AE，因为BD//E，所以BD//平面AE，所以BD到面AE的距离为BD与A间的距离d。

在ΔAEF中，AH为边EF上的高，AE边上的高FG=d，作EAF于，则由E//平面ABD知，E为点到面ABD的距离（因E面ABD），于是E≥AH=h。

在RtΔEF与RtΔAHF中，由E≥AH得EF≥AF。

又因为ΔAEH∽ΔFEG，所以≤2。

所以2d>h

注：

在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。

三、基础训练题

1．正三角形AB的边长为4，到A，B，的距离都是1的平面有__________个

2．空间中有四个点E，F，G，H，命题甲：

E，F，G，H不共面；命题乙：

直线EF和GH不相交，则甲是乙的__________条。

3．动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P运动的最大距离为__________。

4．正方体ABD—A1B11D1中，E，F分别是面ADD1A1、面ABD的中心，G为棱1中点，直线1E，GF与AB所成的角分别是α，β。

则α+β=__________。

．若a,b为两条异面直线，过空间一点与a,b都平行的平面有__________个。

6．D是直角ΔAB斜边AB上的高，BD=2AD，将ΔAD绕D旋转使二面角A—D—B为600，则异面直线A与BD所成的角为__________。

7．已知PA平面AB，AB是⊙的直径，是圆周上一点且A=AB，则二面角A—P—B的大小为__________。

8．平面α上有一个ΔAB，∠AB=100，A=，平面α两侧各有一点S，T，使得SA=SB=S=，TA=TB=T=，则ST=_____________

9．在三棱锥S—AB中，SA底面AB，二面角A—SB—为直二面角，若∠BS=40，SB=a，则经过A，B，，S的球的半径为_____________

10．空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________

11．异面直线a,b满足a//α,b//β,b//α,a//β，求证：

α//β。

12．四面体SAB中，SA，SB，S两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示ΔAB，ΔSB，ΔSA，ΔSAB的面积，求证：

13．正三棱柱AB—A1B11中，E在棱BB1上，截面A1E侧面AA11，

（1）求证：

BE=EB1；

（2）若AA1=A1B1，求二面角E-A1-B11的平面角。

四、高考水平训练题

1．三棱柱AB-A1B11中，为A1B1的中点，N为B1与B1的交点，平面AN交B11于P，则=_____________

2空间四边形ABD中，AD=1，B=，且ADB，BD=，A=，则A与BD所成的角为_____________

3．平面α平面β，αβ=直线AB，点∈α，点D∈β，∠BA=40，∠BAD=600，且DAB，则直线AB与平面AD所成的角为_____________

4．单位正方体ABD—A1B11D1中，二面角A—BD1—B1大小为_____________

．如图12-13所示，平行四边形ABD的顶点A在二面角α—N—β的棱N上，点B，，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=40，∠BAD=600，若◇ABD在半平面β上射影为为菜，则二面角α—N—β=_____________

6．已知异面直线a,b成角为θ，点，A在a上，点N，B在b上，N为公垂线，且N=d，A=，NB=n。

则AB的长度为_____________

7．已知正三棱锥S—AB侧棱长为4，∠ASB=40，过点A作截面与侧棱SB，S分别交于，N，则截面ΔAN周长的最小值为_____________

8．l1与l2为两条异面直线，l1上两点A，B到l2的距离分别为a,b，二面角A—l2—B大小为θ，则l1与l2之间的距离为_____________

9．在半径为R的球上一点P引三条两两垂直的弦PA，PB，P，则PA2+PB2+P2=_____________

10．过ΔAB的顶点向平面α引垂线AA1，BB1，1，点A1，B1，1∈α，则∠BA与∠B1A11的大小关系是_____________

11．三棱锥A—BD中∠AB=∠ADB=900，∠AB=600，∠BAD=40，二面角A—D—B为直角二面角。

（1）求直线A与平面ABD所成的角；

（2）若为B中点，E为BD中点，求A与E所成的角；（3）二面角—AE—B的大小。

12．四棱锥P—ABD底面是边长为4的正方形，PD底面ABD，PD=6，，N分别是PB，AB的中点，

（1）求二面角—DN—的大小；

（2）求异面直线D与N的距离。

13．三棱锥S—AB中，侧棱SA，SB，S两两互相垂直，为ΔAB的重心，D为AB中点，作与S平行的直线DP，证明：

（1）DP与S相交；

（2）设DP与S的交点为，则为三棱锥S—AB外接球球心。

五、联赛一试水平训练题

1．现有边长分别为3，4，的三角形两个，边长分别为4，，的三角形四个，边长分别为，4，的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。

2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数，那么n=_________。

3．已知三个平面α，β，γ每两个平面之间的夹角都是，且=a,，命题甲：

；命题乙：

a,b,相交于一点。

则甲是乙的_________条。

4．棱锥—ABD的底面是正方形，且AAB，如果ΔAD的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________

．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_________。

6．空间三条直线a,b,两两成异面直线，那么与a,b,都相交的直线有_________条。

7．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_________。

8．由曲线x2=4,x2=-4,x=4,x=-4围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x2+2≤16,x2+（-2）2≥4,x2+（+2）2≥4的点（x,）组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则_________。

9．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆围上的点，B是底面圆内的点，为底面圆圆心，ABB，垂足为B，HPB，垂足为H，且PA=4，为PA的中点，则当三棱锥—HP体积最大时，B=_________。

10．是三个互相垂直的单位向量，π是过点的一个平面，分别是A，B，在π上的射影，对任意的平面π，由构成的集合为_________。

11．设空间被分为个不交的非空集合，证明：

一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。

12．在四面体ABD中，∠BD=900，D到平面AB的垂线的垂足S是ΔAB的垂心，试证：

（AB+B+A）2≤6（AD2+BD2+D2），并说明等号成立时是一个什么四面体？

13．过正四面体ABD的高AH作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面夹角为α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。

六、联赛二试水平训练题

1．能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四面体？

2．P，Q是正四面体A—BD内任意两点，求证：

3．P，A，B，，D是空间五个不同的点，∠APB=∠BP=∠PD=∠DPA=θ，这里θ为已知锐角，试确定∠AP+∠BPD的最大值和最小值。

4．空间是否存在有限点集，使得对中的任意两点A，B，可以在中另取两点，D，使直线AB和D互相平行但不重合。

．四面体ABD的四条高AA1，BB1，1，DD1相交于H点（A1，B1，1，D1分别为垂足）。

三条高上的内点A2，B2，2满足AA2：