十年高考文科数学专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图表面积和体积.docx

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十年高考文科数学专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图表面积和体积

专题八立体几何

第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积

2019年

1.（2019全国II文16）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称

美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．（本题第一

空2分，第二空3分．）

2.（2019全国II文17）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

（1）证明：

BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥EBB1C1C的体积．

3.（2019全国III文16）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，

E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密

4.（2019江苏9）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱

5.（2019天津文12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的

一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该

锥E-BCD的体积是

圆柱的体积为

是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

B．162

D．32

A．158

C．182

2010-2018年

一、选择题

1．（2018全国卷Ⅰ）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该

圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A．122πB．12πC．82πD．10π

2．（2018全国卷Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在

正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A．217B．25C．3D．2

3．（2018全国卷Ⅰ）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为

A．8B．62C．82D．83

4．（2018全国卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进

部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的

木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

5．（2018全国卷Ⅲ）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等

边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为

A．123B．183C．243D．543

6．（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的体积（单位：

cm3）

是

A．2B．4C．6D．87．（2018北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

上，则该圆柱的体积为

3

10．（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的体积（单位：

cm3）是

俯视图

1，粗实线画出的是某几何体的三

11．（2017新课标Ⅱ）如图，网格纸上小正方形的边长为

视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为

A．90B．63C．42D．36

12．（2016年山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体

积为

13．（2016年全国I）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂

14．

2016年全国II）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A．20πB．24πC．28πD．32π

15．（2016年全国III）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三

视图，则该多面体的表面积为

16．（2015浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的体积是

17．（2015陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

18．（2015重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

19．（2015新课标）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去

部分体积与剩余部分体积的比值为

20．（2015安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是

A．13B．23C．122D．22

21．（2015湖南）某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可

能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利

用率为

材料利用率=

新工件的体积

原工件的体积

A．8

B．16

C．4（21）3

D．

12（21）3

16+20，则r=

22．（2015新课标1）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几

何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为

23．（2014新课标1）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三

视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

24．（2014新课标2）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出

的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得

到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为

25．（2014安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（

26．（2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）

A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

27．（2014浙江）某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则此几何体的表面积是

2

A．90cm

222

B．129cm2C．132cm2D．138cm2

28．（2014新课标2）正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中

点，则三棱锥AB1DC1的体积为

29．（2014福建）以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得

圆柱的侧面积等于

30．（2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（

左视图

俯视图

D．

A．82

31．

2014陕西）

将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的

侧面积为（

A．4B．3C．2D．

32．（2014江西）一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是

33．（2013新课标1）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．168B．88C．1616D．816

34．（2013江西）一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

5

4

2

俯视图

正视图

俯视图

可以为

38．（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

1

2

1

俯视图

A．48

B．32+8

D．80

C．48+8

39．（2011辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论

中不．正．确．的是

A．ACSB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

40．（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为

41．（2010浙江）若某几何体的三视图（单位：

cm）如图所示，则此几何体的体积是

3523

3203

2243

1603

A．cm

B．cm

C．cm

D．cm

3

3

3

3

、填空题

42．（2018天津）如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的

体积为

43．（2018江苏）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积

为．

44．（2017新课标Ⅰ）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为．

45．（2017新课标Ⅱ）长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则

球O的表面积为．

46．（2017天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，

则这个球的体积为．

47．

2017山东）由一个长方体和两个1圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的

4

体积为

切。

记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1的值是

49．

2016北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为

50．

2016浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的表面积是___cm2．体

积是

cm3．

51．（2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为m3．

52．（2014山东）一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，

则该六棱锥的侧面积为

53．（2014北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为

54．（2014江苏）设甲、乙两个圆柱的底面分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的

侧面积相等，且S19，则V1的值是．

S24V2

55．（2013天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9，则正方体

2

的棱长为．

56．（2013江苏）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点，

设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1:

V2

A1

C1

B1

AE

57．（2012辽宁）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

58．（2012安徽）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是

俯视图

59．（2011福建）三棱锥PABC中，

PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2

的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于60．（2011新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个

3球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的3，则这两个圆锥中，体积较小者的高与

16

体积较大者的高的比值为．

三、解答题

61．（2018全国卷Ⅰ）如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，∠ACM90，以AC为

折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．

（1）证明：

平面ACD⊥平面ABC；

2

（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP3

的体积．

62．（2017新课标Ⅰ）如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且BAPCDP90．

P

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

8

（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该

3

四棱锥的侧面积．

63．（2014广东）如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB1,BCPC2,作如图3折叠，折痕EF∥DC．其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．

（Ⅰ）证明：

CF⊥平面MDF

（Ⅱ）求三棱锥MCDE的体积．

64．（2014辽宁）如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC1200，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．

（Ⅰ）求证：

EF平面BCG；

（Ⅱ）求三棱锥DBCG的体积．

1

附：

锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高．

3

65．（2013新课标2）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

Ⅰ）证明：

BC1//平面A1CD；

Ⅱ）设AA1ACCB2，AB22，求三棱锥CA1DE的体积．

66．（2013安徽）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60

已知PBPD2,PA

Ⅰ）证明：

PCBD；

Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥PBCE的体积．

67．（2012江西）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4，现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG．

1）求证：

平面DEG平面CFG；2）求多面体CDEFG的体积．

68．（2011辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=21PD．

I）证明：

PQ平面DCQ；

II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．