一元一次不等式组解题技巧.docx

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一元一次不等式组解题技巧

一元一次不等式组解题技巧

一、重点难点提示

重点：

理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。

难点：

一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。

二、学习指导：

1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

但这“几个一元一次不等式”必须含有同一个未知数，

2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是独立存在的（代入法和加减法本是独立的，而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。

（课本上主要学习由两个一元一次不等式组成的不等式组）。

3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。

（注意借助于数轴

4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a>b）不等式组的解集数轴表示

）（同大型，同大取大）

2）（同小型，同小取小）

3）（一大一小型，小大之间）

4）（比大的大，比小的小空集）无解

三、一元一次不等式组的解法

例1.解不等式组并将解集标在数轴上

分析：

解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的过程中各个不等式彼此之间无关“组”的角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。

步骤:

解：

解不等式

（1）得x>

（1）分别解不等式组的每

解不等式

（2）得XW4

一个不等式

（2）求组的解集

（借助数轴找公共部分）

（利用数轴确定不等式组的解集）

原不等式组的解集为

（4）将解集标在数轴上

（3）写岀不等式组解集

例2.解不等式组

解：

解不等式

（1）得x>-1,

解不等式⑵得x<1,

解不等式⑶得x<2,

••••••在数轴上表示岀各个解为：

•••原不等式组解集为-1

注意：

借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集不包括

（2）来画。

例3.解不等式组

-1而包括

解：

解不等式

（1）得x>-1,

解不等式

（2）,

<5,-5

将（3）（4）解在数轴上表示岀来如图,

原不等式组解集为-1

四、一元一次不等式组的应用

例4.求不等式组的正整数解

步骤:

1、先求岀不等式组

的解集。

解：

解不等式3x-2>4x-5得：

x<3,

解不等式<1得x<2,

•••2、在解集中找岀它

所要求的特殊解，

原不等式组解集为x<正整数解

这个不等式组的正整数解1、2。

例5.m为何整数时，方程组的解是非负数?

分析：

本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即。

先解方程组用m的代数式表示x,y,再运用“转化

等式组寻求m的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。

解：

解方程组得

•••方程组的解是非负数，•••

即

解不等式组•此不等式组解集为

又Jm为整数，•m=3或m=4

例6.解不等式<0.

分析：

由“”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。

两个数的商为负数这两个数异号，进题可转化为解两个不等式组。

解：

•••<0,•或⑵

由

（1）•无解，

由

（2）•

•••原不等式的解为-

例7.解不等式-3<3x-1<5.

解法

（1）:

原不等式相当于不等式组

解不等式组得-e,•原不等式解集为-<

解法

（2）:

将原不等式的两边和中间都加上1,得-2<3x<6,

将这个不等式的两边和中间都除以3得，

-<•原不等式解集为-<

分析：

（1）“不小于6”即》6,

（2）由题意转化成不等式问题解决，

解：

由题意可得，6<-<8,

将不等式转化为不等式组，

•••解不等式⑴得x<

解不等式⑵得x>-,

••••••原不等式组解集为-

•••-

•••当x取士3,士2,士1,0,4,5,6时两个代数式差不小于6而小于8。

例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,求这个两位数

分析：

这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知识来解决。

题目中有两个主要未关系：

个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系：

20<原两位数<40。

解法

（1）:

设十位上的数为X,则个位上的数为（x+2）,原两位数为10x+（x+2）,

由题意可得：

20<10x+（x+2）<40,

解这个不等式得，1vx<3,

•/x为正整数，•1

•当x=2时，•

当x=3时，•10x+（x+2）=35,

答：

这个两位数为24或35。

解法

（2）:

设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,

由题意可得（这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”）

将⑴代入⑵得，20<11x+2<40,

解不等式得：

1

•/x为正整数，1

•••当x=2时，y=4，二

当x=3时，y=5,•

答：

这个两位数为24或35。

20且小于40，所以它十位上的数只能是

解法（3）:

可通过“心算”直接求解。

方法如下：

既然这个两位数大于

时，个位数为5，所以原两位数分别为24或35。

例10.解下列不等式：

（1）||<

（2）<0;（3）（3x-6）（2x-1）>0.

（1）分析：

这个不等式不是一元一次不等式,

因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。

但由绝对值的知识|x|<

贝Ux>a或x<-a.

解：

||<-4<<4,

•由绝对值的定义可转化为：

即

系数化为1，•>-,

系数化为1:

二xw3,

原不等式的解集为-ww3.

（2）分析：

不等式的左边为是两个一次式的比的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零。

它可以理解成

法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值。

因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等

解：

•/<0,•••3x-6与2X+1异号，

即：

I或II

解I的不等式组得,•不等式组无解，

解II的不等式组得，•不等式组的解集为-

•••原不等式的解集为-

（3）分析：

不等式的左边是（3x-6）（2x+1）为两个一次式的积的形式，右边是零。

它可以理解为“当x取何值时,

只要两个因式同号，积就为正值。

因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。

解：

J（3x-6）（2x+1）>0,•（3x-6）与（2x+1）同号，

即I或II

解I的不等式组得,•不等式组的解集为x>2,

解II的不等式组得，•不等式组的解集为x<-,

•原不等式的解集为x>2或xv-.

说明：

ab>0（或>0）与ab<0（或<0）这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分类讨论。

这类问题一般

（1）ab>0（或>0）,•、b同号，

即I或II,再分别解不等式组I和II，

如例10的（3）题。

（2）ab<0（或<0）,

•••ab<0（或<0）,•、b异号，

即I或II,

再分别解不等式组I和不等式组IIO

例11.已知整数x满足不等式3x-4<6X-2和不等式-1<,并且满足方程3（x+a）=5a-2试求代数式5a3-的值

分析：

同时满足两个不等式的解的x值实际是将这两个不等式组成不等式组，这个不等式组的解集中的整数为

求岀a值，再将a代入代数式5a3-即可。

解：

•/整数x满足3x-4<和-1<,

•••X为，解集的整数值，

解不等式⑴，得x>-,解不等式⑵得，x<1,

•的解集为-<

•--

又•••x=0满足方程3（x+a）=5a-2,

•将x=0代入3（x+a）=5a-2中,•-•-a=1,

当a=1时，5a3-=5x13-=4,

答：

代数式5a3-的值为4.。

测试

选择题

1•解下列不等式组，结果正确的是

A、不等式组的解集是x>3

B、不等式组的解集是-3vxv-2

C不等式组的解集是xv-1

D不等式组的解集是-4

2•不等式组的解集是（）

A、x>1

B、x<3

C、x<1或x>3

D、1

3．不等式组的解集是（）

A、x<1B、x>1C、x<2D、无解

4.如果不等式组有解，那么m的取值范围是：

（）

A、m>8B、m>8C、m<8D、m<8

5.使两个代数式x-1与x-2的值的符号相同的x取值范围是（）

A、x>2B、x<1

C、x<1或x>2D、x>1或x<2

答案与解析

答案：

1、D2、D3、D4、C5、C

解析：

2.分析：

由

（1）得x<3，由

（2）得x>1二1

D

3.分析：

先解不等式，看是否有解，由

（1）得x<1,由

（2）得x>2,两者无公共部分，所以选0答案：

D

5.因x-1与x-2的值的符号相同，所以

或

可求得x>2或x<1.

所以选C.

注：

比较简单，应该全部正确。

一元一次不等式和它的解法

考点扫描:

1.了解一元一次不等式的概念.

2.会用不等式的基本性质解一元一次不等式.

名师精讲:

一元一次方程：

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫一元一次不等式.其标

1•一元一次不等式经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax>b或ax

2.一元一次不等式的解法步骤与解一元一次方程类似，基本思想是化为最简形式（ax>b或ax

都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变.

中考典例：

1•解不等式-（x-1）<1，并把它的解集在数轴上表示岀来.

考点：

一元一次不等式的解法

评析：

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法相类似，只要注意不等式性质3的运用.该题可先去分母（不要漏乘

后得岀解集，解题过程如下：

解：

原不等式化为：

x-2-2（x-1）<2

x-2-2x+2<2

即：

-xV2

x>-2.

它在数轴上表示为：

2.（河北省）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道题,每道题都给岀4个答案，其中只有一个答案

分,不选或选错倒扣2分.如果一个学生在本次竞赛中的得分不低于60分,那么,他至少选对了道题

考点：

一元一次不等式的应用

评析：

可设选对了x道，那么选错或不选的共有（25-x）道题。

根据题意，可以列不等式为4x-2（25-x）>60,解

说明：

列不等式解的应用题，一般所求问题有至少、或最多、或不低于等词的要求，要正确理解这几个词的含义.

3.商场岀售的A型冰箱每台售价2190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高岀10%

一折后的售价为原价的），问商场至少打几折，消费者购买才合算（按使用期为10年，每年365天，每度电元计算）？

考点：

一元一次不等式的应用

评析：

列一元一次不等式解应用题首先要弄清题意，设出适当的未知数.消费者要买A型冰箱，10年的花费用比B型少才

X10X1X,B型10年的费用为2190X（1+10%）+365X10XX，根据题意得不等式2190X+365X10X1X<

折，解题过程如下：

解:

设商场将A型冰箱打x折岀售，消费者购买才合算

依题意，有

2190X+365X10X1X

即219x+1460<+803

解这个不等式，得x<

答：

商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算.

真题专练：

1•不等式7-2x>1的正整数解是

2•若代数式+2x的值不大于代数式8-的值，那么x的正整数解是•

3•恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例，它反映了居民家庭的实际生活水平，各种类型家

家庭类型

贫困家庭

温饱家庭

小康家庭

发达国家家庭

最富

思格尔系数

（n）

75%以上

50%—75%

40%—49%

20%—39%

则用含n的不等式表示小康家庭的恩格尔系数为•

4.（杭州市）x的2倍减3的差不大于1，列岀的不等式是（）

A、2x-<1B、2x-3>1C、2x-3v1D2x-3>1

5.（内江市）解不等式>

6.（安徽省）解不等式3x-2（1-2x）>1，并把解集在数轴上表示岀来.

7.（陕西省）乘某城市的一种岀租汽车起价是10元（即行驶路程在5km以内都需付10元车费），达到或超过

1km计）.现在某人乘这种岀租汽车从甲地到乙地，支付车费17.2元，从甲地到乙地的路大约是多少？

答案：

1、1，2;

2、1，2，3（提示：

根据题意得不等式+2x<-解不等式得x<，•••正整数解为1,2,3）;

3、40%

4、A；

5、解：

去分母得8x-4-20x-2>15x-60

移项合并同类项得-27x>-54

解得x<2

6、解：

3x-2+4x>1,

7x>3,

x>.

所以原不等式的解集为x>.

在数轴上表示为：

7、解：

设从甲地到乙地的路程大约是xkm,根据题意，得

16<10+（x-5）<

解此不等式组，得

10

答：

从甲地到乙地的路程大于10km,小于或等于11km.

一元一次不等式组和它的解法

考点扫描:

1.了解一元一次不等式组及其解集的概念.

2.掌握一元一次不等式组的解法，会用数轴确定一元一次不等式组的解集.

名师精讲:

1.一元一次不等式组及其解集：

几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分

2.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组

3.解一元一次不等式组的步骤：

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；

（2）利用数轴求岀这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.

中考典例：

1•不等式组的解集是.

考点：

一元一次不等式组的解法.

评析：

分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，解不等式

（1）得x<4,解不等式

（2）得x<5，公共部分是x<4，即为不

2•若不等式组的解集为-1

考点：

不等式组解集的应用

评析：

此题类型是；已知不等式组的解集，求其中字母系数，进而求关于字母系数的代数式的值。

这类问题解法是：

先解不等数的值，进而代入所给代数式，求出代数式的值，具体解法如下：

解：

由2x—av1得XV;由％—2b>3得x>3+2b，因为方程组有解，所以，>3+2b，方程组的解是3+2k<

b=-2.•••（a+1）（b-1）=-6

3•不等式组的最小整数解为（）

A、-B、0C、1D、4

考点：

不等式组的整数解

评析：

解不等式⑵得x<4,所以不等式组的解集为vx<4，在此不等式中最小整数为0，所以选B.

说明：

解此类问题是先求岀不等式组的解集，然后在解集中，求整数值.

真题专练：

1•不等式组的解集是，这个不等式组的最小整数解是.

2.不等式组的解集是.

3.不等式组的解集是.

4.不等式组的解集是.

5.不等式组的解集是.

6.若不等式组有三个整数解则a的取值范围是

7.不等式组的解集是（）

A、x>1

B、x<6

C、1

D、x<1或x>6

8．不等式组的解在数轴上可表示为（）

9．不等式组的解集（）

Ax>1B、xv2C、1vxv2D、1

10．不等式组的整数解是（）

A、-1,0,1B-1,1

C-1,0D、0,1

11．不等式组成的整数解的个数是（）

12．一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

A、

B、

C、

D、

13．不等式组的解集是（）

A、-2-2D无解

A、-4

B、-4

C、-1

14．不等式组的解集是（）

15．不等式组的整数解的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

16.有解集为2

BCD、

17.解不等式组

18•解不等式组

19•求不等式组的整数解.

20•解不等式组

21•解不等式组并写出不等式组的整数解.

22.

解不等式组,

并把解集在数轴上表示出来.

23.

解不等式组

并把解集在数轴上表示出来.

24.

解不等式组

25.

解不等式组

并在数轴上表示解集.

26.

求不等式组

的整数解.

答案:

1、—4

2、—2

3、1

4、x<-3；

5、-10

6、0a,x<，则其解集为a

16、C

7、C8、A9、D10、C11、D12、C13、A14、A15、C

17、解：

解不等式⑴，得x<3

解不等式⑵，得x+8>-3x

x>-2.

在数轴上表示不等式

（1）,

（2）的解集.

不等式组的解集为-2

18、解：

解10--3）>2（x-1），得x<4.

解x->，得x>.

•••不等式组的解集为

19、解：

解3x+7<5（x+2），得x>

解，得x<2.

•不等式组的解集为

在

•不等式组的整数解是：

-、0、1.

20、解：

解不等式①得x<2.

解不等式②得x>-1.

所以不等式组的解集是-Kx<2.

21、解：

解不等式2x+5<3（x+2）,得x>-1•解不等式得x<3

•••原不等式组的解集是-

•••不等式组的整数解是-

22、解：

由不等式x—4（x—5）>8.得xv4.

由不等式•

•不等式组的解集是

这个不等式组的解集在数轴上表示如下：

23、提示：

原不等式变为解得

解集为-1

25、提示：

解不等式①得

x>1,解不等式②得xv4,所以不等式组的解集为

1vxv4.在数轴上表示如图所示

24、提示：

解不等式①得xv，解不等式②得x>0，所以不等式组解集为OWxv

26、解：

由①得x>-，由②得xW

•原不等式组的解集为：

-vxW

•/X为整数，•x=-1,0,1.即不等式组的整数解为-1,0,1.

一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧

已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。

下面举例介绍常用的五种技巧方法。

、化简不等式（组），比较列式求解

例1.若不等式的解集为，求k值。

解：

化简不等式，得x<5k,比较已知解集，得，•••。

例2.（山东威海市中考题）若不等式组的解集是x>3,则m的取值范围是（）。

A、m>B、m=3C、m<3D、m<

解：

化简不等式组，得，比较已知解集x>3，得3>m,•选Do

例3.（重庆市中考题）若不等式组的解集是-1

解：

化简不等式组，得

•/它的解集是-1

•也为其解集，比较得

•（a+1）（b-1）=-6.

评述：

当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组

二、结合性质、对照求解

例4.（江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式（1-a）x>2的解集为，则a的取值范围是（）。

A、a>0B、a>1C、a<0D、a<1

解：

对照已知解集，结合不等式性质3得：

1-a<0,即a>1，选Bo

例5.（湖北荆州市中考题）若不等式组的解集是x>a，则a的取值范围是（）。

x>a,得a>3,•选Do

A、a<3B、a=3C、a>3D、a》

解：

根确定不等式组解集法则：

“大大取较大”，对照已知解集

三、利用性质，分类求解

例6.已知不等式的解集是，求a的取值范围解：

由解集得x-2<0,脱去绝对值号，得

。

当a-1>0时，得解集与已知解集矛盾；

当a-仁0时，化为0•x>0无解；

当a-1<0时，得解集与解集等价。

例7.若不等式组有解，且每一个解x均不在-1

解：

化简不等式组，得

x<-1

T它有解，二5a-6<3aTa<3利用解集性质，题意转化为：

其每一解在x<-1或x>4内。

于是分类求解，当

为所求。

评述：

（1）未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解

x>求解.

（2）要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号.

四、借助数轴，分析求解

例8.（山东聊城中考题）已知关于x的不等式组的整数解共5个，贝Ua的取值范围是。

由图1得:

-4

解：

化简不等式组，得有解，将其表在数轴上，如图1,其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3.

⑵若上不等式组无整数解，求a的范围.（答：

（1）-1

（2）a>1）

例9.关于y的不等式组的整数解是-3,-2,-1,0,1。

求参数t的范围

解：

化简不等式组，得其解集为

借助数轴图2得

化简得，•••。

评述：

不等式（组）有特殊解（整解、正整数解等）必有解（集），反之不然•图2中确定可动点4、B的位置，是正确

五、运用消元法，求混台组中参数范围

例10.下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表•某食品公司准备将三种食品混合成100kg，

个单位含量•要想成本最低，问三种食品各取多少kg?

A

B

C

硒（单位含量/kg）

4

4

6

锌（单位含量/kg）

6