第四章答案概率论与数理统计试题答案Word下载.docx
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1
则：
E（X）=
（）
-be
（a）
x4dx
（b）
4:
:
（c）
[
xdx+xdx
（d）
答案
b
X的分布函数为:
、单项选择题
1•设连续型随机变量
3x3dx
：
因为f（x）
3x2,0乞x乞1
0,其他
E（X）
13
「°
3xdx
2.设X为随机变量，则E（3X-5）=
3E（X）+5
（b）9E（X）—5（c）3E（X）—5
（d）3E（X）
答案:
c
3•设随机变量
X〜B（n,0.3），贝UDX满足（）
DX>
E乂
（b）DX<
EX'
dx=eX
（d）DX=0
4•设随机变量
X的密度函数为
c1
「2
0<
x<
—
f（x）=
y
〔0
则E
（2X2+1）:
=（）
（b）-（c）2
（d）-
6
二、计算题
1罐中有5颗围棋子，2颗白子，3颗黑子，如果有放回地每次任取一子，共取则3次中取到的白子次数是一个离散型随机变量，试写出这个随机变量的概率函数，
它的期望
解：
设X表示取到的白子次数，X的概率函数为：
3次,并计算
X〜B（3,-）
5
362318
EX=np=3X=—=1.2DX=npq=3Xx_=一=0.72
555525
2.设随机变量X的概率分布为如下表所示
X
—2
01
P
3
12
求①E（X）②E（2乂+1）
（1）E（X）=-—
12_9
（2）E（2X2+1）=-
3.设连续型随机变量X的概率密度为:
f（x）=w
3x2
其它
P{X1}
所以0=2,
EX=xf（x）dx=
23x3
dx=1.5；
8
4.二维随机变量（X,
x+y
Y）的联合密度函数为:
0wx<
10
f（x,y）=
求E（X）
解:
E（X）
-be-be
xf（x,y）dxdy二。
0x（xy）dxdy=农
习题4-2
1.
设连续型随机变量X的概率密度为:
EX=1,DX=-
Y=<
0X=0
则方差D（Y）=
9
二、单项选择题
1.设随机变量X的期望EX存在，且EX=a,Ef=b,c为一常数，则D（cX）=（
（a）c（a—b）（b）c（b
2•设两个相互独立的随机变量
是（）
（a）51
a
—a2）（c）c
22
（b—a）（d）c
）
（a—b）
（b）21
X和Y的方差分别为
（c）一3
6和3,则随机变量2X—3Y的方差
（d）36
0其他
EX=5
求X的数学期望与均方差解：
因为是均匀分布，故
DX=25
3.设连续型随机变量
-2（1—x）
X的概率密度为:
0VXV1
f（x）=-
、/-X
求丫件乂及Y2=e
的期望与方差。
解EY=[x32（1—x）dx=0.1,
213
E（¥
）=（x2（1-x）dx=0.036
故DY=0.026,
EW=占2（1-x）dx=0.736,
E（Y；
）=0e'
x2（1—x）dx=0.568
故DY=0.026
4.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。
随机变量X是0-1分布
D（X）=p（1-p）=p-p2
习题4-3协方差与相关系数
一、填空题
1.设X、Y是两个随机变量，已知EX=2,EX=20,EY=3,EY=34,xy=0.5贝UE（3X+2Y）
=,D（3X+2Y）=
E（3X+2Y）=12D（3X+2Y）=364
D（X）=16,D（Y）=25,cov（X,Y）」xy.D（X）D（Y）=0.520=10
D（3X2Y）=9D（X）4D（Y）12cov（X,Y）=364
2.若随机变量X与Y相互独立，则一定有「xy=答案：
「xy=0
1.如果随机变量X与Y满足D（X+Y=D（X-Y）,则下列式子正确的是（）
（a）X与Y相互独立（b）X与Y不相关
（c）DY=0（d）DX-DY=0
2.若随机变量X和Y的协方差Cov（X,Y）>
0,则'
xy满足（）
（a）xyV0（b）xy>
0（c）"
xy》0（d）xy=0
3.对任意随机变量X、Y,有D（X+Y）=（）
（a）D（X）+D（Y）（b）DX+D—2Cov（X,Y）
（c）D（X）+DY+2Cov（X,Y）（d）DX+DY+Co（X、Y）
三、计算题
1.设随机变量（X,Y）只能取（—1,0）,（-1,1）和（0,1）三组数，且取这三组
111
数的概率分别为、-和一，计算X、Y的相关系数，并问X、Y是否不相关？
是否独立？
236
Y^^
P划
1/2
1/3
1/6
Pi.
5/6
CACA
E（X）,E（Y）,E（X2）,E（Y2）:
6262
51
D（X）-,D（YH-
364
E（XY）一3
icov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=
p=Cov（X,Y）=1
DXDY,5
即X,Y相关，所以X、Y不独立
2.设（X、
Y）的联合概率密度为:
1/、
3（xy）
f（x,y）=<
其他求X、Y的期望与方差，协方差与相关系数。
21x
EX=（xy）dxdy=0.56
E（X2）=0y）dxdy:
0.39
DX=0.080
21y
EY=00^（xy）dxdy二1*22
E（Y2）=00^（xr）dxdyN488
DY=0.284
E（XY）二:
；
0（xy）dxdy=1.488
Cov（X、Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=—0.012
3.设随机变量Y服从区间［0,2n］上的均匀分布。
令Xi=sinY,X2=cosY,求x1x2
X12X；
=sin2Ycos2Y=1
.Xi,X2没有线性关系，即Xi,X2不相关
二PxtX2=0
习题4-4大数定律与中心极限定理
1.星期一上午来到某画展陈列室的顾客人数X是一个随机变量，其分布未知。
已知
18（人）,-=2.5（人），试用车贝谢夫不等式估计顾客数X在8到28人之间的概率是
多少？
2.设Xj（i=1,2,…,100）是相互独立的随机变量，且都服从参数兔=0.01的泊
松分布，
100
记Y=為Xi,试用中心极限定理求p（Y_1）.
i1
Xi〜二（0.01）,E（Xj）=D（Xj）二二0.01
近似
即Y〜N（1,1）
P{Y_1}：
1紳亍：
=1-「（0）=0.5
3.已知某品种小麦麦穗粒数的数学期望是20,标准差是15,求在该品种100个麦穗中，麦粒总数在1800到2200粒之间的概率.
E（XJ=20,D（XJ=152
100近似
Y二^Xj〜N（2000,,150）
P{1800Y:
2200}
2200-2000
150
“2000卜牡）+0.816
4.
i吕
每次投篮命中率为0.4,求600次投篮中命中次数大于250次的概率.
Xj~b（1,0.4）,E（XJ=0.4,D（Xj-・-0.24
Xi〜N（240,,144）
i母
P{Y_250}：
1-门
「250-240'
5.2033
丿6
5•—食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价
格是一个随机变量，它取1，1.2，1.5（元）各个值的概率分别为0.3,0.2,0.5。
某天售出300只蛋糕。
1）求这天的收入至少400元的概率；
2）求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。
（1）记第i只蛋糕的价格Xj（i=1,2,…，300）
Xi
1.2
1.5
0.3
0.2
0.5
E（XJ=1.29,D（Xi）=1.713
300
X八XiE（X）=3001.29=378,D（X）=3001.713=513.9
i4
f“不400—387】
二0.2843
P{XK40C}“—①一
<
V513.9丿
（2）Y
1,售出的是1.2元的蛋糕
0,售出的不是1.2元的蛋糕
Y二為Y~b（300,0.2）
300近似
Y-'
Y~N（60,,48）
_rxz.J60—60--
P{Y>
60}“一①—=0.5
\、<
48）
6•某大型商场每天接待顾客10000人，设每位顾客的消费额（元）服从均匀分布
U[100,100°
]，且顾客的消费额是相互独立的。
试求1）该商场的日消费额（元）与平均日消
费额之差的绝对值不超过2万（元）的概率；
2）如果以95%的概率保证该商场的日消费额在400
万元以上，那么光顾该商场的顾客数至少为多少？
（1）Xi~U[100,1000],E（Xi^550,D（Xi^900
550「40000012刑1.645
、900（n丿
故n-7.3410
第四章复习题
1•已知离散型随机变量X的概率函数为:
—1
P（X=Xk）
则E（x）EX2）
EX—-
2•对球直径作测量，设其直径X服从[a,b]上的均匀分布，则球的体积Y的数学期望
E（Y）=。
EY=（a+b）（a2+b2）
24
3.已知X服从均匀分布，密度函数为：
厂——0VXV2n
2兀
f（X）=Y
其他；
贝UE（sinX）=
4.若有D（X）=25,D（Y）=36,，xy=0.4，贝UD（X+Y）=,D（X—Y）=。
85,37
X2X1
1.设随机变量X的期望EX为一非负值，且E
（1）=2,D（——1）=-，则EX=
222
（）。
（a）2（b）1（c）0（d）.8
3.若随机变量X的期望EX存在，则E[E（EX）]=（
（a）0
（b）X
EX
（d）3EX
4.设X为
随机变量，若D（10X）
=10,
则DX=（
（a）—
（b）1
（c）10
（d）100
10
2.设随机变量X的期望EX方差DX及EX都存在，则一定有（）
（a）EX>
0（b）EX>
EX（c）（EX2>
EX2（d）DX>
0
d
5.对任意随机变量X、Y,有E（XY=（）
（a）EX-EY（b）EX-EY+Cov（X,Y）
1.设随机变量X的概率密度为
解因为
E（X）二。
x（ax2bxc）dx=号£
号=0.5
E（X2）x2（ax2bxc）dxb£
=D（X）[E（X）]2=0.15（0.5）2二0.4
10543
解之得
a=12,b=-12,c=3
2•某保险公司设置某一险种，规定每一保单有效期为一年，有效理赔一次，每个保单
收取保费500元，理赔额为10000元，据估计每个保单索赔概率为0.05，设公司共卖出这
种保单800个，求该公司在该险种上获得的期望利润。
一年索赔的保险单数^X1X^X800~b（800,0.05）
公司在该险种上获得的利润L=800500-10000X公司在该险种上获得的平均利润
E（L）=800500-10000E（X）=400000-000008000.05=0（元）
3.一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值为10g,标准差为1g,100个一盒的同型号
螺丝钉重量的期望值和标准差各为多少（假设每个螺丝钉的重量都不受其他螺丝钉重量的影
响）？
X=X1•X2X100
E（X」=100,D（Xj）-1
5.设随机变量X的分布函数为
x
arc（sinx）
v—1
—1<
xv1
>
试确定常数a,b，并求EX及D%
F（x）=
31
lim[abarcsinx]=ab3=1咼1b
f（x）dxdx=b二=
…1*2
常1-x
a=,
2222
证明：
右边工E（X）-2CE（X）C-[E（X）]2CE（X）-C
二E（X）-[E（X）]
=D（X）=左边
7.设随机变量X服从参数入=1的泊松分布，Y~b（4,0.8）,已知D（X+Y））=2.6，计算它们的相关系数?
xyo
D（XY）二D（X）D（Y）2cov（X,Y）
cov（X,Y）二
D（XY）D（X）D（Y）
"
一4°
8°
.2二0.48
&
两随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，计算X与Y的相关系数'
xy,并判断
X与Y是否独立？
Y
x,y的边缘分布律分别为
3/8
2/8
■■■P00=P0.P®
所以X和丫不相互独立
又E（X）=E（Y）=0
1111
E（XY）=（-1）（-1）-（-1）1-1（-1）—110
8888
?
XY
cov（X,Y）
D（X）D（Y）
0于是
cov（X,Y）二E（XY）-E（X）E（Y）=0
X和Y不相关.
9.设（X、Y）的联合概率密度为：
TtK
厂kcos（x+y）0wxw—,——wyw0
f（x,y）=
求X、Y的期望与均方差，协方差与相关系数。
ex=02_.xkcos（xy）dydx=0.785
~2
j_-o
DX=E（X2）-[E（x）]2二J-x2kcos（xy）dydx-0.7852=0.188
0姜
E（Y）=2ykcos（xy）dydx二—0.785
.-20
0£
L
DY=E（Y2）-[E（Y）]2]y2kcos（xy）dydx--0.7852=0.188
=2
、•DX~0.434,、、DY~0.434,
cov（X,Y）二E（XY）_E（X）E（Y）
0二2
=-Q2xykcos（xy）dydx-0.188-0.046
pcov（X,Y）xy〜—0.244
.D（X）D（Y）
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