概率论和数理统计试题及答案.docx
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概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案
一、填空题：
11
1、设A与B相互独立,P（A）=,P（B）=,贝UP（B-A）=.
32
111
解:
P（B_A）二P（B）[1_P（A）]
（1）:
233
2、设X~U[1,3]（均匀分布），则E（X2）=,D（2X）二.
E（5X_2）=,
解:
E（X）二2;D（X）=1/3
E（X2）=D（X）E（X）2=13/3
D（2X4D（X=）4/3
E（5X-2）=5EX）210
4、设X~B（200,0.1）
2
Y~P（3）,Z~N（3,2），且X,Y,Z相互独立，则
E（2X-3Y-Z5）=,D（2X-3Y-Z5）二
E（
2X
D（2X-3Y-Z5）=4D（X）9D（Y）D（Z）=72274=103
2
5、设总体X~N（j匚）,Xi,X2,X3为来自X的样本，二0.5/•0.1X2-ax3是未知参数丄的无偏估计，则a=。
解：
因为是无偏估计所以
E（?
）=E（0.X+0.x1—ax=）0E5x什）E.2X-（aJEjx（）
=（0.50.-1E）X（=）（0.5-01"口二）
（0.50•中=）1
a~-0.4
6、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样
22
本均值，样本容量分别为ni,n2。
若「，二2已知，则检验假设：
H"!
:
叫八2
的检验统计量为
解:
（X-Y）
22
巴+竺
:
nin2
7、设随机变量X服从正态分布N（」,1）,关于」的二者必居其一的假设为
H0=0;Hi^=1,且假设的拒绝域取为W:
x-c（0:
:
c<1）,其中x是容量为n的样本均
值，则以W为拒绝域的检验法犯第II类错误的概率一：
=。
解：
因为&-」）/（；「；n）服从于标准正态分布
p（n）=p（|x/（^/掃|vc/®/妬）u=0）
二P（—c.n:
:
x:
：
c、、n）
=2©A）-1
、单项选择题（每小题3分，共15分）
b、aUbUc
1、设A、B、C是三个事件，则下列事件中必与A互斥的是
A、ABC
C、ABC
1,x_1
2、设随机变量X的分布函数F（x）=«x3,0cx<1
AbUAC
则E（X）二
0,x乞0
解：
f（x）=dF（X）
E（x）xf（x）dx
-oO
11
2x3dxx4
02
X-1
y<0
4、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g，标准差为5g，应用独立同分布
的中心极限定理，则一盒（100个）螺丝钉的质量超过5100g的概率p"【C】
D、•:
J
（2）
A、1一门
（1）B、•:
J
（1）C、1一门
（2）
n
解：
P（送X>5100）
i4
5、设X1,X2,…，X9是正态总体N（0,2）的样本，则在下列各式中，正确的是
解：
选C
p=P{2：
：
X:
:
20}是
6、设E（X）=11,D（X）=9，用雪比晓夫不等式估计概率
【】
八、1/小、8^孑8
A、pB、pC、pD、p_—
9999
98
解：
P{2：
X：
20}=P（X-11：
9）_12
99
选C
7、设X~N（0,1）,Y~2（5）,且X与Y相互独立，则下列分布错误的是【
率为
A、P（AH0）B、P（A|H0）C、P（AH0）d、P（AH0）
解：
选D
1、设随机变量X的分布列为：
X
-1
1
2
p
0.3
0.5
0.2
三、解答题
解：
选D8、设H。
表示假设H。
真，H0表示假设H。
假，拒绝域为A，则犯第二类错误的概
3、设电源电压X~N（220,252），且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别
240伏。
（2）P{「：
：
XP}；（3）E（-X）
_”1
F（址）=J*f（x）dx=*k（2x—x2）dx=k（x2—§x3）
23
14
3
p（123213
（2^x）d^-X（x__x）
E（-X）=：
（-x）f（x）dx二
-co
22
0（2x—x2）dx「1
5、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度
2
Axy,0:
:
y.x,0：
：
x:
:
f（x,y）=
0,其他
1
所以-Ax4
3
2
fy（x）「：
3xy
0二1
即：
A=3
2
dy03xydy
32
yx
:
:
212
fx（y）二.：
.3xydx二y3xydx二
213
y=2y
f（x,y尸fxyX（）不独立
221/2322
弋Jy3xy2dxdy=J。
刁丫仏2廿dy
11
3r2231413o
弋.0y（-2y+l）dy=；（-；y+-y）o
20223
11311
（）-
2322429664
6、有一大批糖果•现从中随机抽取6袋，称得重量（以克计）如下:
214，210，213，216，212，213
设袋装糖果的重量分布为正态的.
（1）若已知二2=1，求总体均值J的置信度为0.95的置信区间；
（2）若匚2未知，求总体均值J的置信度为0.95的置信区间•
解：
x=213s1'X-2彳3）2
^5-1y
1
（X一Z0.02^'/'、6,X■Zo.025、6）
=（213-1.961八6,2131.961/.6）
=（212.2,213.8）
2
（X—£.02（55）S6才t0.025：
5^^/6）
-（2130.98276,2130.982/6）
=（212.198,213.816）
2
7、设总体X~N（J；「）的样本的一组观察值为：
10,8,12,10。
（1）求方差；「的置信度为0.95的置信区间；
（2）能否据此样本认为该总体的数学期望为11O=0.05）?
（1）因为」未知，取统计量
2
~2（n-1））
（n-1）S2
2
a
n=4,：
=1-0.95=0.05，查表:
以及
"-1）=
1"2
爲5（3）=0.216,,
■（n-1）=
~2
2
0.025⑶=9.348,
（n-1）S28
：
（n-1）「9.348：
°86,
2
（n-1）S2
:
：
（n-1）
2
0.21637.。
4
（0.86,37.04）
（2）检验假设:
检验统计量（二未知,
X—P
米用t-■检验）：
t.~t（n-d）
s/（n
显著性水平为〉=0.05的拒绝域为:
丄t：
.（nT）=t0.025（3）
查表：
t0.025（3）=3.1824，于
=1.22473.1824
s/\n
故接受H0,即认为=11。
&某地地震台根据对地应力（电感）测量资料计算出最大压应力值x（公斤/厘米2）,发现其与地震震级y（M）有关系。
试由下列观察数据:
x:
1.22344.8
y:
2.833.23.74.3
求y对x的经验回归方程。
解:
二=0.966
可以假设线性回归方程为y=1x•〉
0.4009;：
=2.19
由最小二乘法可得
Y=0.4009X+2.19
9.将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率
为0.02，而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2:
1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？
【解】设A=｛原发信息是A｝，则=｛原发信息是B｝
C=｛收到信息是A｝，则=｛收到信息是B｝
由贝叶斯公式，得
P（AC）二
P（A）P（C|A）
P（A）P（C|A）P（A）P（CA）
-0.99492
0.01
2/30.98
2/30.981/3
10.
（1）设随机变量X的分布律为
’k
P{x=ky，
其中k=0，1，2，…，入〉0为常数，试确定常数a.
（2）设随机变量X的分布律为
P{X=k}=a/N，k=1，2，…，N，
试确定常数a.
【解】
（1）由分布律的性质知
k
1八P（X
k卫
=k）=aa|_e'
yk!
a
⑵由分布律的性质知
NN
a
1='P（X=k）a
k=1k=4N
11.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在
这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算
J
■=np=20000.001=2
ep5
得P（X=5）0.0018
5!
12.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可
从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1）
保险公司亏本的概率；
（2）
保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.
【解】以
“年”为单位来考虑.
（1）
在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.
设1年中死亡人数为X,则X~b（2500,0.002），则所求概率为
P（2000X•30000）=P（X15）=1-P（X叮4）
由于n很大，p很小，Qnp=5，故用泊松近似，有
0.986305
k卫k!
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）=P（30000-2000X-20000）=P（X乞5）
k=ek!
:
0.615961
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%
13.已知随机变量X的密度函数为
f（x）=Ae〒x|,-m求：
（1）A值；
（2）P{0
【解】
（1）
由__f（x）dx=1得
—CO
A」
2
p（0:
：
X：
：
1）
111
0edx=?
（1-e）
当x<0时,
当xX）时,
F（x）=一exdx=」ex
皿22
x1
F（x）-e4x|dx=
2
彳1-
=1e
2
01,-exdx亠i一：
：
2'02
e^dx
1xc
e,x：
：
：
0
I2
F（x）=21
1-—e*x_0
2
X2
0Axydydx=1
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