《轴对称图形》章末重难点题型汇编Word格式.docx

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只有第1个不是轴对称图形．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

【考点2角平分线的应用】

【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等

牢记：

（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；

（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

【例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°

，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（　　）

A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm

【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC＝BC＝AE，然后求出△DBE的周长＝AB，代入数据即可得解．

∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°

，

∴DE＝CD，

又∵AC＝BC，AC＝AE，

∴AC＝BC＝AE，

∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，

∵AB＝6cm，

∴△DBE的周长＝6cm．

【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出△DBE的周长＝AB是解题的关键．

【变式2-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（　　）

A．6B．8C．4D．10

【分析】作DF⊥AC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．

作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF＝DE＝4，

×

AB×

DE+

AC×

DF＝28，即

4+

6×

4＝28，

解得，AB＝8，

【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

【变式2-2】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　）

A．3B．4C．5D．6

【分析】过D作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DG＝DE＝2，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．

过D作DG⊥AC于G，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴DG＝DE＝2，

∵AB＝6，AC＝4，

∴S△ABC＝

AC•BF＝S△ABD+S△ACD＝

AB•DE+

AC•DG，

∴

4•BF＝

2+

4×

2，

∴BF＝5，

【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．

【变式2-3】如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　）

A．3B．4C．6D．5

【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到

7+

AC＝24，然后解一次方程即可．

作DF⊥AC于F，如图，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF＝4，

∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，

AC＝24，

∴AC＝5，

【点睛】本题考查了角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．

【考点3线段垂直平分线性质的应用】

【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：

一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

【例3】如图：

在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（　　）

A．3cmB．12cmC．9cmD．6cm

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．

∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，

∴DA＝DB，EA＝EC，

∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝6cm，

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

【变式3-1】

（2019春•南华县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（　　）

A．7B．8C．9D．10

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而得出答案．

∵AB的垂直平分线交BC于点D，

∴AD＝BD，

∵BC＝4，AC＝3，

∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，

∴△ACD的周长为：

4+3＝7．

【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出AD＝BD是解题关键．

【变式3-2】如图，在△ABC中，点E在边AC上，DE是AB的垂直平分线，△ABC的周长为19，△BCE的周长为12，则线段AB的长为（　　）

A．9B．8C．7D．6

【分析】由DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，又由△BCE的周长为12，可得AC+BC＝12，继而求得答案．

∵DE为AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∵△BCE的周长为12，

∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝12cm，

∵△ABC的周长为19，

∴AB+AC+BC＝19，

∴AB＝19﹣12＝7，

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

【变式3-3】如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC＝100°

那么∠PAQ等于（　　）

A．50°

B．40°

C．30°

D．20°

【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝180°

﹣100°

＝80°

，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，根据等腰三角形的性质计算即可．

∵∠BAC＝100°

∴∠B+∠C＝180°

∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，

∴PA＝PB，QA＝QC，

∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，

∴∠PAQ＝180°

﹣（∠PAB+∠QAC）＝180°

﹣（∠B+∠C）＝20°

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

【考点4等腰三角形的性质】

【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：

1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

【例4】已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°

，则此等腰三角形的顶角是（　　）

B．130°

C．50°

或140°

D．50°

或130°

【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．

当为锐角时，如图：

∵∠ADE＝40°

，∠AED＝90°

∴∠A＝50°

当为钝角时，如图：

∠ADE＝40°

，∠DAE＝50°

∴顶角∠BAC＝180°

﹣50°

＝130°

．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．

【变式4-1】如图，已知AB＝AC＝BD，则∠1与∠2的关系是（　　）

A．3∠1﹣∠2＝180°

B．2∠1+∠2＝180°

C．∠1+3∠2＝180°

D．∠1＝2∠2

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠C之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系．

∵AB＝AC＝BD，

∴∠B＝∠C＝180°

﹣2∠1，

∴∠1﹣∠2＝180°

∴3∠1﹣∠2＝180°

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和定理以及三角形外角的性质；

熟练掌握等腰三角形的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键，本题难度适中．

【变式4-2】如图，若AB＝AC，下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（　　）

A．

（1）

（2）（3）B．

（1）（3）（4）C．

（2）（3）（4）D．

（1）

（2）（4）

【分析】根据等腰三角形的判定对①②③④个选项逐一分析，只有②不能被一条直线分成两个小等腰三角形

①中作∠B的角平分线即可；

③过A点作BC的垂线即可；

④中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；

只有②选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．

【点睛】考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；

进行尝试操作是解答本题的关键．

【变式4-3】如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°

，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；

在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；

…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（　　）

A．175°

B．170°

C．10°

D．5°

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠A6的度数．

∵在△ABA1中，∠B＝20°

，AB＝A1B，

∴∠BA1A＝

∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，

∴∠CA2A1＝

＝

＝40°

；

A

同理可得∠DA3A2＝20°

，∠EA4A3＝10°

∴∠An＝

以点A4为顶点的底角为∠A5．

∵∠A5＝

＝5°

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．

【考点5轴对称性质的应用】

【方法点拨】掌握轴对称的性质：

1.成轴对称的两个图形全等。

2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。

3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。

【例5】如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为　　．

【分析】利用轴对称图形的性质得出PE＝EP1，PD＝DP2，进而利用DE＝4cm，得出P1D的长，即可得出P1P2的长．

∵点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，

∴PE＝EP1，PD＝DP2，

∵PE＝2.5cm，PD＝3cm，DE＝4cm，

∴P2D＝3cm，EP1＝2.5cm，

即DP1＝DE﹣EP1＝4﹣2.5＝1.5（cm），

则线段P1P2的长为：

P1D+DP2＝1.5+3＝4.5（cm）．

故答案为4.5．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，得出PE＝EP1，PD＝DP2是解题关键．

【变式5-1】如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，点D关于AB，AC对称的点分别为E、F，连接EF分别交AB、AC于M、N，分别连接DM、DN，已知△DMN的周长是6cm，那么EF＝　　．

【分析】根据轴对称的性质知，EM＝DM，FN＝DN，所以由△DMN的周长公式得到△DMN的周长＝EF．

由轴对称的性质知，EM＝DM，FN＝DN，

∴EF＝EM+MN+FN＝DM+MN+DN＝△DMN的周长＝6cm．

∴△DMN的周长＝EF＝6cm．

故答案是：

6cm．

【点睛】考查了轴对称的性质，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

【变式5-2】如图，在∠AOB的内部有一点P，点M、N分别是点P关于OA，OB的对称点，MN分别交OA，OB于C，D点，若△PCD的周长为30cm，则线段MN的长为　　cm．

【分析】利用对称性得到CM＝PC，DN＝PD，把求MN的长转化成△PCD的周长，问题得解．

∵点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，

∴MC＝PC，ND＝PD，

∴MN＝CM+CD+ND＝PC+CD+PD＝30cm．

【点睛】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．

【变式5-3】如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为　　．

【分析】由轴对称的性质可知：

PM＝MQ，PN＝RN，先求得QN的长度，然后根据QR＝QN+NR即可求得QR的长度．

由轴对称的性质可知：

PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，

QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．

故答案为：

4.5cm．

【点睛】本题主要考查的是轴对称的性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．

【考点6设计轴对称图案】

【方法点拨】设计轴对称图案往往以正方形、菱形、等边三角形和网格纸（或格点纸）为基础，因为这些图形本身就是轴对称图形，利用轴对称的有关性质容易设计出它们的对称点或对称部分。

设计轴对称图案时，要先确定出有几条对称轴，然后根据对称轴的不同，合理地设计出整体的轴对称图案。

具体设计时，我们通常先以一条对称轴为基线，根据构思或需要，再添加其他的对称轴，进一步设计美观、完善的图案。

（1）要设计的图案是由哪些基本图形组成的；

（2）是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，要先确定它的对称轴；

（3）设计轴对称的美术图案时，除图形对称外，有时颜色也要“对称”。

【例6】如图是网格中由五个小正方形组成的图形，根据下列要求画图（涂上阴影）

（1）图①中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且有两条对称轴；

（2）图②中，添加一块小正方形，使之成为轴对称图形，且只有一条对称轴（画出一个即可）

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的定义分析得出答案；

（2）直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．

（1）如图①所示：

即为所求；

（2）如图②所示：

即为所求．

【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．

【变式6-1】如图，下列4×

4网格图都是由16个相间小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，在空白小正方形中，选取2个涂上阴影，使6个阴影小正方形组成个轴对称图形，请设计出四种方案．

【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案．

如图所示：

【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．

【变式6-2】如图，在2×

2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与△ABC成轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，所以可以称找出不同的对称轴，再思考如何画对称图形．

【答案】画对任意三种即可．

【点睛】此题考查的是利用轴对称设计图案，基本作法：

①先确定图形的关键点；

②利用轴对称性质作出关键点的对称点；

③按原图形中的方式顺次连接对称点

【变式6-3】方格纸中每个小方格都的边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．

（1）在图1中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；

（2）在图2中画一个格点正方形，使其面积等于10；

（3）直接写出图3中△FGH的面积是　　．

（1）找出点A关于BC的对称点即可；

（2）先构造以1和3为直角边的直角三角形，然后以三角形的斜边为边构造正方形即可；

（3）构造如图所示的矩形，根据△GFH的面积＝矩形面积减去三角形直角三角形的面积求解即可．

（1）如图1所示：

（2）如图2所示：

（3）如图3所示：

△FGH的面积＝矩形ABHC的面积﹣△AFG的面积﹣△BGH的面积﹣△FCH的面积

＝5×

6﹣

﹣

＝9

9．

【点睛】本题主要考查的是勾股定理、轴对称图形的性质，将三角形GEH的面积转化为一个矩形与三个直角三角形的面积的差是解题的关键．

【考点7等腰三角形的判定】

【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

简称“等角对等边”

（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；

（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。

【例7】如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：

△DGE是等腰三角形．

【分析】根据已知条件，容易得出△ADE，△ABC都是等腰三角形，则G为等腰△ABC底边BC的中点，为此连接AG，由等腰三角形的轴对称性质，得出结果

连接AG，

∵DE∥BC，

∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2．

又∵∠1＝∠2，

∴∠ABC＝∠ACB．

又∵G为BC中点，

∴AG⊥BC．

∴AG⊥DE且平分DE，

∴DG＝GE．

∴△DGE是等腰三角形．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和平行线的知识点，解题要充分利用已知条件，联系所学结论，灵活选用解法．

【变式7-1】如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：

△BED是等腰三角形．

【分析】依据角平分线即可得到∠EBD＝∠DBC，依据平行线的性质即可得到∠EDB＝∠DBC，进而得出∠EBD＝∠EDB，由此可得△BED是等腰三角形．

【答案】证明∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠EBD＝∠DBC．

∴∠EDB＝∠DBC．

∴∠EBD＝∠EDB，

∴ED＝EB，

∴△BED是等腰三角形．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

【变式7-2】已知：

如图，O为△ABC的∠BAC的角平分线上一点，∠1＝∠2，求证：

△ABC是等腰三角形．

【分析】要证明三角形是等腰三角形，只需证明∠ABC＝∠ACB即可，只要∠5＝∠6，只要三角形全等即可，作出辅助线可证明三角形全等，于是答案可得．

【答案】证明：

作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

∵AO平分∠BAC，

∴OE＝OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

∵∠1＝∠2，

∴OB＝OC．

∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．

∴∠5＝∠6．

∴∠1+∠5＝∠2+∠6．

即∠ABC＝∠ACB．

∴AB＝AC．

∴△ABC是等腰三角形．

【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定及性质；

作出辅助线构建全等的三角形是正确解答本题的关键．

【变式7-3】已知：

如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．

求证：

【分析】由OB＝OC，即可求得∠OBC＝∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°

，即可证得△ABC是等腰三角形．

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°

∵∠BEC+∠BCE+∠ABC＝∠CDB+∠DBC+∠ACB＝180°

∴180°

﹣∠BEC﹣∠BCE＝180°

﹣∠CDB﹣∠CBD，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形；

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，以及角平分线的判定等知识．此题难度不大，注意等角对等边与三线合一定理的应用．

【考点8“三线合一”性质的应用】

【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

【例8】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°

，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：

AG⊥EF．

【分析】只要证明AF＝AE，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题；

∵BE平分∠ABC

∴∠ABE＝∠CBE∠AEF＝90°

﹣∠ABE

又∵∠AFE＝∠DFB＝90°

﹣∠CBE

∴∠AFE＝∠AEF，

∴△AFE为等腰三角形