沪科版八年级数学上册第15章 轴对称图形与等腰三角形 整合新版.docx

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沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形整合新版

专训一：

等腰三角形中四种常用作辅助线的方法

名师点金：

在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：

作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰（边）三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系．

作“三线”中的“一线”

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：

DE＝DF.

（第1题）

作平行线法

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.

（1）如图①，当点P为AB的中点时，求证：

PD＝QD.

（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？

请说明理由．

（第2题）

截长补短法

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：

BD＋DC＝AB.

（第3题）

加倍折半法

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．

（第4题）

5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：

CD＝2CE.

（第5题）

专训二：

分类讨论思想在等腰三角形中的应用

名师点金：

分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类讨论．通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答．其解题策略为：

先分类，再画图，后计算．

当顶角或底角不确定时，分类讨论

1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为（　　）

A．40°　　B．100°　　C．40°或70°　　D．40°或100°

2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝

BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为（　　）

A．45°　　B．75°　　C．45°或75°　　D．65°

3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．

当底和腰不确定时，分类讨论

4．（2015·荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．8或10　　B．8　　C．10　　D．6或12

5．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．

6．若实数x，y满足|x－4|＋（y－8）2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．

当高的位置关系不确定时，分类讨论

7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．

由腰的垂直平分线引起的分类讨论

8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．

由腰上的中线引起的分类讨论

9．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分．求腰长．

点的位置不确定引起的分类讨论

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

（第10题）

A．7个B．6个C．5个D．4个

11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．

（第11题）

专训三：

三角形中的五种常见证明类型

名师点金：

学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：

证明数量关系，位置关系，线段的倍分关系、和差关系、不等关系等．

证明数量关系

题型1　证明线段相等

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：

DE＝DF.

（第1题）

题型2　证明角相等

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD于F交BC于E.求证：

∠ADB＝∠CDE.

（第2题）

证明位置关系

题型1　证明平行关系

3．已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：

AE∥BC.

（第3题）

题型2　证明垂直关系

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：

DG⊥EF.

（第4题）

证明线段的倍分关系

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.求证：

AH＝2BD.

（第5题）

证明线段的和差关系

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：

AB＋BD＝AC.

（第6题）

证明线段的不等关系

7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC.求证：

AB－AC＞PB－PC.

（第7题）

专训四：

四种常见热门考点

名师点金：

本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等．

轴对称图形与轴对称

1．（2015·重庆）下列图形是轴对称图形的是（　　）

（第2题）

2．（2015·乌鲁木齐）如图，△ABC的面积等于6，边AC＝3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是（　　）

A．3B．4C．5D．6

3．（2015·绥化）点A（－3，2）关于x轴的对称点A′的坐标为________．

4．（2014·宁夏）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，1），B（－4，5），C（－5，2），画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.

（第4题）

线段垂直平分线与角平分线

（第5题）

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是（　　）

A．BD平分∠ABC

B．△BCD的周长等于AB＋BC

（第6题）

C．AD＝BD＝BC

D．点D是线段AC的中点

6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（　　）

A．80°　　B．50°　　C．40°　　D．20°

7．如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝

（AD＋AB）．问：

∠1和∠2有何关系？

　（第7题）

等腰三角形的判定与性质

（第8题）

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：

（1）∠DEF＝∠DFE；

（2）AE＝AF；（3）DA平分∠EDF；（4）AD垂直平分EF.其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．（中考·淄博）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：

AB＝AD.

（第9题）

等边三角形的性质与判定

10．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上一点（不是中点），且AD＝BE＝CF，AE与CD，BF分别交于点G，H，BF与

CD交于点N，则△GHN是

（第10题）

（　　）

A．等边三角形

B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形

D．不等边三角形

（第11题）

11．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，则BC′的长为________．

答案

专训一

（第1题）

1．证明：

如图，连接AD.

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC.

∵EF∥BC，∴AD⊥EF.

∵AE＝AF，

∴AD垂直平分EF.

∴DE＝DF.

2．

（1）证明：

如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠DQC.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝FP，∴FP＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，FP＝CQ，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴PD＝QD.　

（第2题）

（2）解：

线段ED的长度保持不变．理由如下：

如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由

（1）知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝EF.由

（1）知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝

BC，∴线段ED的长度保持不变．

3．证明：

如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.

（第3题）

∵∠ABE＝60°，BE＝AB，

∴△ABE为等边三角形．

∴∠AEB＝60°，AB＝AE.

又∵∠ACD＝60°，

∴∠ACD＝∠AEB.

∵AB＝AC，AB＝AE，

∴AC＝AE.

∴∠ACE＝∠AEC.

∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.

∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.

4．解：

在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB为△AEC的外角，∴∠AEB＝∠EAC＋∠C＝2x，∴∠B＝2x，∴∠BAE＝180°－2x－2x＝180°－4x.∵∠BAC＝120°，∴∠BAE＋∠EAC＝120°，即180°－4x＋x＝120°，解得x＝20°，则∠C＝20°.

（第5题）

5．证明：

如图，延长CE到点F，使EF＝CE，连接FB，则CF＝2CE.∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.在△BEF和△AEC中，

∴△BEF≌△AEC（SAS）．

∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.

又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.

∵CB是△ADC的中线，

∴AB＝BD.又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.

在△CBF与△CBD中，

∴△CBF≌△CBD（SAS）．∴CF＝CD.∴CD＝2CE.

专训二

1．D　2.C　3.32°　4.C　5.23或25　6.20

7．解：

设AB＝AC，BD⊥AC；

（1）高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.

（第7题）

（2）当高与另一腰的夹角为25°时，

如图②，高在△ABC的内部时，

∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，

∴∠C＝∠ABC＝（180°－∠A）÷2＝57.5°；

如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，

∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，

∴∠ABC＝∠C＝（180°－115°）÷2＝32.5°，

故三角形各个内角的度数为：

65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.

点拨：

由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．

8．解：

此题分两种情况：

（1）如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，

∵AB＝AC，∴∠B＝（180°－50°）÷2＝65°.

（第8题）

（2）如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.

∵AB＝AC，∴∠B＝（180°－130°）÷2＝25°.

故∠B的大小为65°或25°.

9．分析：

由于题目中没有指明是“（AB＋AD）－（BC＋CD）”为3cm，还是“（BC＋CD）－（AB＋AD）”为3cm，因此必须分两种情况讨论．

解：

∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，

（1）当（AB＋AD）－（BC＋CD）＝3cm时，有AB－BC＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5＋3＝8（cm）；

（2）当（BC＋CD）－（AB＋AD）＝3cm时，有BC－AB＝3cm，∵BC＝5cm，∴AB＝5－3＝2（cm），

但是当AB＝2cm时，三边长分别为2cm，2cm，5cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8cm.

10．B

11．解：

（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，

（第11题）

∵BE＝BC，∴∠BEC＝（180°－∠ABC）÷2，

∵AD＝AC，∴∠ADC＝（180°－∠DAC）÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，

∴∠DCE＝（180°－∠ABC）÷2－∠BAC÷2＝（180°－∠ABC－∠BAC）÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.

（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，

与

（1）类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.

（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，

∵BE′＝BC，

∴∠BE′C＝（180°－∠CBE′）÷2＝∠ABC÷2，

∵AD＝AC，

∴∠ADC＝（180°－∠DAC）÷2＝∠BAC÷2，

又∵∠DCE′＝180°－（∠BE′C＋∠ADC），

∴∠DCE′＝180°－（∠ABC＋∠BAC）÷2＝180°－（180°－∠ACB）÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.

（4）当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图④，

∵AD′＝AC，∴∠AD′C＝（180°－∠BAC）÷2，

∵BE＝BC，∴∠BEC＝（180°－∠ABC）÷2，

∴∠D′CE＝180°－（∠D′EC＋∠ED′C）＝180°－（∠BEC＋∠AD′C）

＝180°－[（180°－∠ABC）÷2＋（180°－∠BAC）÷2]

＝（∠BAC＋∠ABC）÷2＝（180°－∠ACB）÷2

＝（180°－40°）÷2＝70°.综上所述，∠DCE的度数为20°或110°或70°.

专训三

1．证明：

连接AD.

∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD.

在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（SAS）．∴DE＝DF.

2．证明：

过点C作CG⊥AC交AE的延长线于G，则CG∥AB，∴∠BAF＝∠G.

又∵AF⊥BD，AC⊥CG，

∴∠BAF＋∠ABD＝90°，∠CAG＋∠G＝90°.

∴∠ABD＝∠CAG.

在△ABD和△CAG中，

∴△ABD≌△CAG（ASA）．

∴AD＝CG，∠ADB＝∠G.

又∵D为AC的中点，∴AD＝CD，∴CD＝CG.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠DCE.

又∵AB∥CG，∴∠ABC＝∠GCE.∴∠DCE＝∠GCE.

又∵CE＝CE，

∴△CDE≌△CGE（SAS）．∴∠CDE＝∠G.

∴∠ADB＝∠CDE.

3．证明：

∵△ABC，△PCE均为等边三角形，

∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠PCE＝60°.

∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，

即∠BCP＝∠ACE.

在△CBP和△CAE中，

∴△CBP≌△CAE（SAS）．

∴∠CAE＝∠B＝60°.

∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC.

　（第4题）

4．证明：

如图，连接ED，FD.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

在△BDE和△CFD中，

∴△BDE≌△CFD（SAS）．

∴DE＝DF.

又∵G是EF的中点，

∴DG⊥EF.

5．证明：

∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.

在△BCE和△AHE中，

∴△BCE≌△AHE（ASA）．∴AH＝BC.

又∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD.∴AH＝2BD.

6．证明：

如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E，

∴∠ABC＝2∠E.

又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.

∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.

又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.

∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.

（第6题）

（第7题）

7．证明：

如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAP＝∠CAP.

在△AEP和△ACP中，

∴△AEP≌△ACP（SAS），∴PE＝PC.

在△PBE中，BE＞PB－PE，

即AB－AC＞PB－PC.

专训四

1．A　2.A　3.（－3，－2）

4．解：

如图所示．

（第4题）

5．D　6.D

　（第7题）

7．解：

作CF⊥AN于F（如图），

∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，

∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），∴AF＝AE.∵AE＝

（AD＋AB）＝

（AF－DF＋AE＋BE）＝AE＋

（BE－DF），

∴BE－DF＝0，∴DF＝BE，又

∵CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，

∴△DFC≌△BEC（SAS）．

∴∠5＝∠2.

∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，

即∠1与∠2互补．

8．D

9．证明：

∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.

∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD.

10．A　11.3