正比例函数的概念.docx

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正比例函数的概念

初中函数知识点总温习

姓名

正比例函数的概念

 一样地，两个变量x，y之间的关系式能够表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

 正比例函数属于一次函数，但一次函数却不必然是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，假设b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，那么为正比例函数。

正比例函数的关系式表示为：

y=kx（k为比例系数）

 当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。

函数值y随着自变量x的增大而增大．

 当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。

自变量x的值增大时，y的值那么慢慢减小．

正比例函数的性质

 1.概念域：

R（实数集）

 2.值域：

R（实数集）

 3.奇偶性：

奇函数

 4.单调性：

当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于象限，y随x的增大而减小（单调递减）。

 5.周期性：

不是周期函数。

 6.对称轴：

直线，无对称轴。

正比例函数解析式的求法

 设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式取得k，即可求出正比例函数的解析式。

 另外，假设求正比例函数与其它函数的交点坐标，那么将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

正比例函数的图像

 正比例函数的图像是通过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

正比例函数图像的作法

 1.在x许诺的范围内取一个值，依照解析式求出y值

 2.依照第一步求的x、y的值描出点

 3.做过第二步描出的点和原点的直线

正比例函数的应用

 正比例函数在线性计划问题中表现的力量也是无穷的。

 比如斜率问题就取决于K值，当K越大，那么该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然

 还有，y=kx是y=k/x的图像的对称轴。

 ①正比例：

两种相关联的量，一种量转变，另一种量也随着转变，若是这两种量相对应的两个数的比值（也确实是商）必然，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：

若是用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（必然）正比例关系能够用以下关系式表示：

 ②正比例关系两种相关联的量的转变规律：

关于比值为正数的,即y=kx（k>0）,现在的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：

汽车每小时行驶的速度必然，所行的路程和所用的时刻是不是成正比例？

 以上各类商都是必然的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：

在判定两种相关联的量是不是成正比例时应注意这两种相关联的量，尽管也是一种量，随着另一种的转变而转变，但它们相对应的两个数的比值不必然，它们就不能成正比例．例如：

一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。

反比例函数的概念

 一样地，若是两个变量x、y之间的关系能够表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

 因为y=k/x是一个分式，因此自变量X的取值范围是X≠0。

而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。

[编辑本段]反比例函数表达式

 y＝k／x其中X是自变量，Y是X的函数

 y=k/x=k·1/x

 xy=k

 y=k·x^-1

 y=k\x（k为常数（k≠0），x不等于0）

反比例函数的自变量的取值范围

 ①k≠0;②一样情形下,自变量x的取值范围是x≠0的一切实数;③函数y的取值范围也是一切非零实数.

[编辑本段]反比例函数图象

 反比例函数的图象属于双曲线,

 曲线愈来愈接近X和Y轴但可不能（K≠0）。

反比例函数性质

 1.当k>0时，图象别离位于象限；当k<0时，图象别离位于象限。

 2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而。

 k>0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数；k<0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数。

 概念域为x≠0；值域为y≠0。

 3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，因此反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

 4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q别离作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2那么S1＝S2=|K|

 5.反比例函数的图象既是对称图形，又是对称图形，它有两条对称轴y=x

y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

 6.假设设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，那么b²+4k·m≥（不小于）0。

 8.反比例函数y=k/x的渐近线：

x轴与y轴。

反比例函数的应用

 【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．

 【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足别离为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：

（1）直线与双曲线的解析式；

（2）点A、A1的坐标.

一次函数

  【说明】函数的大体概念：

一样地，在一个转变进程中，有两个变量X和Y，而且关于x每一个确信的值，y都有唯一确信的值与其对应，那么咱们就说X是自变量，y是x的函数。

表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情形。

可表示为y=kx

[编辑本段]大体概念

 变量：

转变的量

 常量：

不变的量

 自变量x和X的一次函数y有如下关系：

 y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）

 当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。

若是有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。

 x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。

 专门的，当b=0时，y是x的函数。

即：

y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像通过。

 概念域：

自变量的取值范围，自变量的取值应使函数成心义；要与实际相符合。

函数性质

的转变值与对应的x的转变值成正比例，比值为k

 即：

y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）

 2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为（0,b）.

 3为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ（角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°）

 形、取、象、交、减。

 4.当b=0时（即y=kx），一次函数图像变成函数，是特殊的一次函数.

 5.函数图像性质：

当k相同，且b不相等，图像；当k不同，且b相等，图像；当k互为负倒数时，两直线垂直；当k，b都相同时，两条直线重合。

图像性质

1．作法与图形：

通过如下3个步骤

（1）列表

（2）描点；[一样取两个点,依照“两点确信一条直线”的道理]；

 （3）连线，能够作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需明白2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点别离是-k分之b与0，0与b）

 2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都知足等式：

y=kx+b（k≠0）。

（2）一次函数与y轴交点的坐标老是（0，b），与x轴老是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

 3．函数不是数，它是指某一转变进程中两个变量之间的关系。

 4．k，b与函数图像所在象限：

 y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：

 当k＞0时，直线必通过象限，y随x的增大而；

 当k＜0时，直线必通过象限，y随x的增大而。

 y=kx+b时：

 当k>0,b>0,这时此函数的图象通过象限。

 当k>0,b<0,这时此函数的图象通过象限。

 当k<0,b>0,这时此函数的图象通过象限。

 当k<0,b<0,这时此函数的图象通过象限。

 当b＞0时，直线必通过象限；

 当b＜0时，直线必通过象限。

 专门地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

 这时，当k＞0时，直线只通过象限，可不能通过象限。

当k＜0时，直线只通过象限，可不能通过象限。

 4、特殊位置关系

 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

解析式类型

①[一样式] 

 ②[斜截式] 

 （k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0） 

 ③[点斜式] 

 （k为直线斜率,（x1,y1）为该直线所过的一个点） 

 ④）[两点式] 

 （（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点） 

 ⑤[截距式] 

 （a、b别离为直线在x、y轴上的截距） 

 解析式表达局限性：

 ①所需条件较多（3个）； 

 ②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）； 

 ④参数较多，计算过于烦琐； 

 ⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

 倾斜角：

x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，那么该直线的斜率k=tg（a）

经常使用公式

 1.求函数图像的k值：

 2.求与x轴平行线段的中点：

 3.求与y轴平行线段的中点：

 4.求任意线段的长：

√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：

根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和） 

 5.求两个一次函数式图像交点坐标：

解两函数式 

 两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式取得y=y0那么（x0,y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标

 6.求任意2点所连线段的中点坐标：

[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]

 7.求任意2点的连线的一次函数解析式：

（X-x1）/（x1-x2）=（Y-y1）/（y1-y2）

（其中分母为0，那么分子为0） 

 xy

 ++在第一象限

 +-在第四象限

 -+在第二象限

 --在第三象限

 8.假设两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2

 9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×k2=-1

 =k（x-n）+b确实是向平移n个单位

 y=k（x+n）+b确实是向平移n个单位

 口诀：

右减左加（关于y=kx+b来讲，只改变k）

 y=kx+b+n确实是向平移n个单位

 y=kx+b-n确实是向平移n个单位

 口诀：

上加下减（关于y=kx+b来讲，只改变b）

生活中的应用

1.那时刻t必然，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

 2.当水池抽水速度f必然，水池中水量g是抽水时刻t的一次函数。

设水池中原有水量S。

g=S-ft。

 3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一按时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）

数学问题

一、确信字母系数的取值范围

 例1已知正比例函数，那么当k<0时，y随x的增大而减小。

二、比较x值或y值的大小

 例2.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>y2，那么x1与x2的大小关系是（）

 A.x1>x2B.x1

三、判定函数图象的位置

 例3.一次函数y=kx+b知足kb>0，且y随x的增大而减小，那么此函数的图象不通过（）

 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

 典型例题

例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.若是挂上3kg物体后，弹簧总长是，求弹簧总长是y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.若是弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.

 例2某学校需刻录一些电脑光盘，假设到电脑公司刻录，每张需8元，假设学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需本钱4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，仍是学校自己刻费用较省？

例3若是一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。

二次函数

一样地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

 一样式：

1：

y=ax^2;+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），    那么称y为x的二次函

 数。

极点坐标

 2：

极点式：

y=a（x-h）^2+k或y=a（x+m）^2+k（两个式子实质一样,

 但初中讲义上都是第一个式子）

 3：

交点式（与x轴）：

y=a（x-x1）（x-x2）

 重要概念：

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。

）

 二次函数表达式的右边一样为二次三项式。

 x是自变量，y是x的二次函数

 x1,x2=[-b±根号下（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式） 

 求根的方式还有十字相乘法和配方法

二次函数的图像

 在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

 能够看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

 若是所画图形准确无误，那么二次函数将是由一样式平移取得的。

 注意：

草图要有       1本身图像，隔壁注名函数。

 2画出对称轴，并注明X=什么

 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，极点坐标。

抛物线的性质

 1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线

 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的极点P。

 专门地，当b=0时，抛物线的对称轴是轴（即直线x=0）

 2.抛物线有一个极点P，坐标为

 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

 3.二次项系数a决定抛物线的

 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

 |a|越大，那么抛物线的开口越小。

 4.一次项系数b和二次项系数a一起决定对称轴的位置。

 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴侧；因为假设对称轴在左侧那么对称轴小于0，也确实是-         b/2a<0,因此b/2a要大于0，因此a、b要同号

 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴侧。

因为对称轴在右边那么对称轴要大于0，也确实是-         b/2a>0,   因此b/2a要小于0，因此a、b要异号

 可简单经历为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时

 （即ab＜ 0），对称轴在y轴右。

 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

 抛物线与y轴交于（0，c）

 6.抛物线与x轴交点个数

 Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有个交点。

 Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴。

 当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最值f（-b/2a）=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在

 {x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

 当b=0时，抛物线的对称轴是轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）

 7.特殊值的形式

 ①当x=1时y=a+b+c

 ②当x=-1时y=a-b+c

 ③当x=2时y=4a+2b+c

 ④当x=-2时y=4a-2b+c

 8.概念域：

R 

 值域：

（对应解析式，且只讨论a大于0的情形，a小于0的情形请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，

 正无穷）；②[t，正无穷） 

 奇偶性：

偶函数 

 周期性：

无 

二次函数与一元二次方程

 专门地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

 即ax^2+bx+c=0

 现在，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

 1．二次函数y=ax^2;，y=a（x-h）^2;，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的极点坐标及对称轴如下表：

 解析式 极点坐标 对称轴 

y=ax^2;（0，K）x=0 

y=ax^2+K（h，0） x=0

y=a（x-h）^2; （0，0） x=h 

y=a（x-h）^2+k（h，k） x=h 

 y=ax^2+bx+c      （-b/2a，4ac-b^2/4a） x=-b/2a 

当h>0时，y=a（x-h）^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向平行移动个单位取得，

 当h<0时，那么向平行移动个单位取得．

 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2;向平行移动个单位，再向移动

个单位，就能够够取得y=a（x-h）^2+k的图象；

 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2;向平行移动个单位，再向移动个单位可取得y=a（x-h）^2-k的图象；

 当h<0,k>0时，将抛物线向平行移动个单位，再向移动个单位可取得y=a（x+h）²+k的图象；

 当h<0,k<0时，将抛物线向平行移动个单位，再向移动个单位可取得y=a（x-h）²+k的图象；在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，能够简记为“上加下减，左加右减”。

 因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一样式化为y=a（x-h）^2;+k的形式，可确信其极点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 

 2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：

当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，极点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2;]/4a）． 

 3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），假设a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．假设a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小． 

 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

（1）图象与y轴必然相交，交点坐标为； 

（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x?

，0）和B（x?

，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0  

 （a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?

-x?

|=√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离能够由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）

 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 

 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 

 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：

若是a>0（a<0），那么当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a． 

 极点的横坐标，是取得最值时的自变量值，极点的纵坐标，是最值的取值． 

 6．用待定系数法求二次函数的解析式 

（1）当题给条件为已知图象通过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一样形式：

 y=ax^2+bx+c（a≠0）． 

（2）当题给条件为已知图象的极点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为极点式：

y=a（x-h）^2+k（a≠0）． 

 （3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：

y=a（x-x?

）（x-x?

）（a≠0）．