正比例函数的概念Word文件下载.docx
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①正比例：
两种相关联的量，一种量转变，另一种量也随着转变，若是这两种量相对应的两个数的比值（也确实是商）必然，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：
若是用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（必然）正比例关系能够用以下关系式表示：
②正比例关系两种相关联的量的转变规律：
关于比值为正数的,即y=kx（k>
0）,现在的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：
汽车每小时行驶的速度必然，所行的路程和所用的时刻是不是成正比例？
以上各类商都是必然的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：
在判定两种相关联的量是不是成正比例时应注意这两种相关联的量，尽管也是一种量，随着另一种的转变而转变，但它们相对应的两个数的比值不必然，它们就不能成正比例．例如：
一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。
反比例函数的概念
一样地，若是两个变量x、y之间的关系能够表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
因为y=k/x是一个分式，因此自变量X的取值范围是X≠0。
而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹
。
[编辑本段]反比例函数表达式
y＝k／x其中X是自变量，Y是X的函数
y=k/x=k·
1/x
xy=k
y=k·
x^-1
y=k\x（k为常数（k≠0），x不等于0）
反比例函数的自变量的取值范围
①k≠0;
②一样情形下,自变量x的取值范围是x≠0的一切实数;
③函数y的取值范围也是一切非零实数.
[编辑本段]反比例函数图象
反比例函数的图象属于双曲线,
曲线愈来愈接近X和Y轴但可不能（K≠0）。
反比例函数性质
1.当k>
0时，图象别离位于象限；
0时，图象别离位于象限。
2.当k>
0时.在同一个象限内，y随x的增大而；
0时，在同一个象限，y随x的增大而。
k>
0时，函数在x<
0上为函数、在x>
0上同为函数；
k<
0上同为函数。
概念域为x≠0；
值域为y≠0。
3.因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，因此反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q别离作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2那么S1＝S2=|K|
5.反比例函数的图象既是对称图形，又是对称图形，它有两条对称轴y=x
y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
6.假设设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。
7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，那么b²
+4k·
m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的渐近线：
x轴与y轴。
反比例函数的应用
【例1】反比例函数的图象上有一点P（m,n）其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．
【例2】直线与位于第二象限的双曲线相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足别离为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
（1）直线与双曲线的解析式；
（2）点A、A1的坐标.
一次函数
【说明】函数的大体概念：
一样地，在一个转变进程中，有两个变量X和Y，而且关于x每一个确信的值，y都有唯一确信的值与其对应，那么咱们就说X是自变量，y是x的函数。
表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情形。
可表示为y=kx
[编辑本段]大体概念
变量：
转变的量
常量：
不变的量
自变量x和X的一次函数y有如下关系：
y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）
当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。
若是有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。
x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数。
专门的，当b=0时，y是x的函数。
即：
y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像通过。
概念域：
自变量的取值范围，自变量的取值应使函数成心义；
要与实际相符合。
函数性质
的转变值与对应的x的转变值成正比例，比值为k
即：
y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为（0,b）.
3为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ（角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°
）
形、取、象、交、减。
4.当b=0时（即y=kx），一次函数图像变成函数，是特殊的一次函数.
5.函数图像性质：
当k相同，且b不相等，图像；
当k不同，且b相等，图像；
当k互为负倒数时，两直线垂直；
当k，b都相同时，两条直线重合。
图像性质
1．作法与图形：
通过如下3个步骤
（1）列表
（2）描点；
[一样取两个点,依照“两点确信一条直线”的道理]；
（3）连线，能够作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需明白2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x轴和y轴的交点别离是-k分之b与0，0与b）
2．性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都知足等式：
y=kx+b（k≠0）。
（2）一次函数与y轴交点的坐标老是（0，b），与x轴老是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。
3．函数不是数，它是指某一转变进程中两个变量之间的关系。
4．k，b与函数图像所在象限：
y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：
当k＞0时，直线必通过象限，y随x的增大而；
当k＜0时，直线必通过象限，y随x的增大而。
y=kx+b时：
当k>
0,b>
0,这时此函数的图象通过象限。
0,b<
当k<
当b＞0时，直线必通过象限；
当b＜0时，直线必通过象限。
专门地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过象限，可不能通过象限。
当k＜0时，直线只通过象限，可不能通过象限。
4、特殊位置关系
当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等
当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）
解析式类型
①[一样式]
②[斜截式]
（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
③[点斜式]
（k为直线斜率,（x1,y1）为该直线所过的一个点）
④）[两点式]
（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）
⑤[截距式]
（a、b别离为直线在x、y轴上的截距）
解析式表达局限性：
①所需条件较多（3个）；
②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；
④参数较多，计算过于烦琐；
⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：
x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，那么该直线的斜率k=tg（a）
经常使用公式
1.求函数图像的k值：
2.求与x轴平行线段的中点：
3.求与y轴平行线段的中点：
4.求任意线段的长：
√（x1-x2）^2+（y1-y2）^2（注：
根号下（x1-x2）与（y1-y2）的平方和）
5.求两个一次函数式图像交点坐标：
解两函数式
两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2令y1=y2得k1x+b1=k2x+b2将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1y2=k2x+b2两式任一式取得y=y0那么（x0,y0）即为y1=k1x+b1与y2=k2x+b2交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标：
[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式：
（X-x1）/（x1-x2）=（Y-y1）/（y1-y2）
（其中分母为0，那么分子为0）
xy
++在第一象限
+-在第四象限
-+在第二象限
--在第三象限
8.假设两条直线y1=k1x+b1‖y2=k2x+b2，那么k1=k2，b1≠b2
9.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，那么k1×
k2=-1
=k（x-n）+b确实是向平移n个单位
y=k（x+n）+b确实是向平移n个单位
口诀：
右减左加（关于y=kx+b来讲，只改变k）
y=kx+b+n确实是向平移n个单位
y=kx+b-n确实是向平移n个单位
上加下减（关于y=kx+b来讲，只改变b）
生活中的应用
1.那时刻t必然，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f必然，水池中水量g是抽水时刻t的一次函数。
设水池中原有水量S。
g=S-ft。
3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一按时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）
数学问题
一、确信字母系数的取值范围
例1已知正比例函数，那么当k<
0时，y随x的增大而减小。
二、比较x值或y值的大小
例2.已知点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数y=3x+4的图象上的两个点，且y1>
y2，那么x1与x2的大小关系是（）
A.x1>
x2B.x1<
x2C.x1=x2D.无法确信
三、判定函数图象的位置
例3.一次函数y=kx+b知足kb>
0，且y随x的增大而减小，那么此函数的图象不通过（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
典型例题
例1.一个弹簧，不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例.若是挂上3kg物体后，弹簧总长是，求弹簧总长是y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式.若是弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.
例2某学校需刻录一些电脑光盘，假设到电脑公司刻录，每张需8元，假设学校自刻，除租用刻录机120元外，每张还需本钱4元，问这些光盘是到电脑公司刻录，仍是学校自己刻费用较省？
例3若是一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9.求此函数的的解析式。
二次函数
一样地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一样式：
1：
y=ax^2;
+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
那么称y为x的二次函
数。
极点坐标
2：
极点式：
y=a（x-h）^2+k或y=a（x+m）^2+k（两个式子实质一样,
但初中讲义上都是第一个式子）
3：
交点式（与x轴）：
y=a（x-x1）（x-x2）
重要概念：
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>
0时，开口方向向上，a<
0时，开口方向向下。
IaI还能够决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
二次函数表达式的右边一样为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数
x1,x2=[-b±
根号下（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）
求根的方式还有十字相乘法和配方法
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，
能够看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
若是所画图形准确无误，那么二次函数将是由一样式平移取得的。
注意：
草图要有
1本身图像，隔壁注名函数。
2画出对称轴，并注明X=什么
3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，极点坐标。
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的极点P。
专门地，当b=0时，抛物线的对称轴是轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个极点P，坐标为
当-b/2a=0时，P在y轴上；
当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的
当a＞0时，抛物线向上开口；
当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，那么抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a一起决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴侧；
因为假设对称轴在左侧那么对称轴小于0，也确实是-
b/2a<
0,因此b/2a要大于0，因此a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴侧。
因为对称轴在右边那么对称轴要大于0，也确实是-
b/2a>
0,
因此b/2a要小于0，因此a、b要异号
可简单经历为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时
（即ab＜
0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有个交点。
Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴。
当a>
0时，函数在x=-b/2a处取得最值f（-b/2a）=4ac-b²
/4a；
在{x|x<
-b/2a}上是减函数，在
{x|x>
-b/2a}上是增函数；
抛物线的开口向上；
函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c（a≠0）
7.特殊值的形式
①当x=1时y=a+b+c
②当x=-1时y=a-b+c
③当x=2时y=4a+2b+c
④当x=-2时y=4a-2b+c
8.概念域：
R
值域：
（对应解析式，且只讨论a大于0的情形，a小于0的情形请读者自行推断）①[（4ac-b^2）/4a，
正无穷）；
②[t，正无穷）
奇偶性：
偶函数
周期性：
无
二次函数与一元二次方程
专门地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2+bx+c=0
现在，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1．二次函数y=ax^2;
，y=a（x-h）^2;
，y=a（x-h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的极点坐标及对称轴如下表：
解析式
极点坐标
对称轴
y=ax^2;
（0，K）x=0
y=ax^2+K（h，0）
x=0
y=a（x-h）^2;
（0，0）
x=h
y=a（x-h）^2+k（h，k）
x=h
y=ax^2+bx+c
（-b/2a，4ac-b^2/4a）
x=-b/2a
当h>
0时，y=a（x-h）^2;
的图象可由抛物线y=ax^2;
向平行移动个单位取得，
当h<
0时，那么向平行移动个单位取得．
0,k>
0时，将抛物线y=ax^2;
向平行移动个单位，再向移动
个单位，就能够够取得y=a（x-h）^2+k的图象；
0,k<
向平行移动个单位，再向移动个单位可取得y=a（x-h）^2-k的图象；
0时，将抛物线向平行移动个单位，再向移动个单位可取得y=a（x+h）²
+k的图象；
0时，将抛物线向平行移动个单位，再向移动个单位可取得y=a（x-h）²
在向上或向下.向左或向右平移抛物线时，能够简记为“上加下减，左加右减”。
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一样式化为y=a（x-h）^2;
+k的形式，可确信其极点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象：
当a>
0时，开口向上，当a<
0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，极点坐标是（-b/2a，[4ac-b^2;
]/4a）．
3．抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），假设a>
0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；
当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．假设a<
0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；
当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴必然相交，交点坐标为；
（2）当△=b^2-4ac>
0，图象与x轴交于两点A（x?
，0）和B（x?
，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x?
-x?
|=√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离能够由|2×
（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<
0．图象与x轴没有交点．当a>
0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>
0；
当a<
0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<
0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：
若是a>
0（a<
0），那么当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b^2）/4a．
极点的横坐标，是取得最值时的自变量值，极点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象通过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一样形式：
y=ax^2+bx+c（a≠0）．
（2）当题给条件为已知图象的极点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为极点式：
y=a（x-h）^2+k（a≠0）．
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
y=a（x-x?
）（x-x?
）（a≠0）．
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