数学中考考点梳理新.docx

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数学中考考点梳理新

数学中考考点梳理姓名

一、有理数

1．有理数的意义

有理数分类

2、用数轴上的点表示有理数及有理数的相反数和绝对值

数轴的三要素为、和.数轴上的点与对应.

3、有理数大小的比较

4、求有理数的相反数与绝对值

（1）若实数a、b互为相反数，则a+b=.数轴上表示互为相反数的两个点在的的两边，且到的距离相等.

（2）若实数a、b互为倒数，则ab=.例如：

已知a与

互为倒数，则满足条件的实数a可以是.

（3）绝对值

，根据这个定义可知绝对值等于本身的数是，绝对值等于它的相反数的数是.绝对值的几何意义是.

例如：

x是实数，则

的最小值是.

的最小值

是.

5、乘方的意义：

（1）求n个相同因数a的积的运算叫做.乘方的结果叫做.在an中，a叫做，n叫做.

（2）幂运算性质

①aman=；②（am）n=；③（ab）m=；④am÷an=.

例如：

根据定义计算

的结果是.又比如：

若

且

，

，则

的值为.又如根据乘方运算的定义可求161004×（－0.25）2009=.

6、有理数加、减、乘、除、乘方运算及混合运算

混合运算的运算顺序

二、实数

1、平方根、算术平方根、立方根和二次根式的概念

二次根式的定义

2．数的乘方与开方，开方与乘方互为逆运算

（1）正数有两个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根.例如：

5a+1和a-19是实数m的平方根，则m的值为.m的平方根是5a+1和a-19，则m的值为.

若a是非负数，则

表示a的；

表示a的；

表示a的.据此定义，平方根等于本身的数有，算术平方根等于本身的数有.

根据定义

=，

=，

=.这里的a的取值范围是.注意

=.a的取值范围是.

的双重非负性是指①；②.例如要使式子

有意义，字母x的取值必须满足．又如：

若实数

满足

，则

的值是．再如：

若实数

满足关系式y=

，那么xy=．

（2）若b3=a，则b叫做a的，记作.

3、无理数与实数的概念

（1）实数的定义

有理数包括整数和.实数分为有理数和.用小数的观点看无理数是小数.实数0.1010010001…、

、

、

、π、3.14159、tan60°、

、

中，有理数有，无理数有.

（2）实数的大小比较：

正数大于，负数小于零，正数大于一切；两个正数比较大小，绝对值大的数较，两个负数比较大小，绝对值大的数反而较.

（3）数轴上，左边的点表示的数总比右边的点表示的数.

（4）设a、b是任意两实数.则a－b＞0

ab；a－b=0

ab；a－b＜0

ab.

例如：

点（m，y1）和点（m＋1，y2）都在抛物线y=x2－4x＋5上，你能用这种求差比较法来比较y1和y2的大小吗？

试试看吧.

4、实数与数轴上的点一一对应

5对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断

请举例说明

6、用有理数估计一个无理数的大致范围

请举例说明

7、近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例如对π取近似数得3.142，就说精确到了千分位.值得注意的是近似数精确到哪一位，要把这个近似数后的单位考虑在内.例如近似数2.93万，它精确到了百位，而非百分位.

从左边第一个不是的数字起，到为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.例如0.00001020的有效数字为1、0、2、0，共4个.

8、二次根式的加、减、乘、除、运算法则

加减乘除

9．实数的运算

（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用.

（2）在实数范围内进行运算的顺序是：

先算、再算，最后算加减，运算中有括号的，先算，同一级运算从到右依次进行.

例如：

在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数，再用“＋、－、×、÷”中的3种符合将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结果是一个正整数。

三、代数式

1、用字母表示数的意义

2、用代数式表示简单问题的数量关系

3、解释一些简单代数式的实际背景或几何意义

举例说明：

4、求代数式的值:

化简求值的步骤

5、整数指数幂的意义和基本性质

幂的运算法则

6、用科学记数法表示数：

科学记数法定义

7、整式和分式的概念

（1）单项式是指，

单项式的次数是指；叫做多项式，多项式的次数是指.

例如：

下列算式是一次式的是（）.

A．8B．4s+3tC．

abD．

（2）同类项：

所有字母，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

（3）合并同类项：

只把系数，所含字母及字母的指数不变.

整式的概念

8、简单的整式加减运算及乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式相乘）

（1）整式的加减运算实际上就是.

（2）整式的乘法：

①单项式乘以单项式；

②单项式乘以多项式；

③多项式乘以多项式.

例如：

在整式运算中，任意两个一次二项式相乘后，将同类项合并得到的项数可以是.

又如：

两个三次多项式相加，和是（）.

A．六次多项式B．三次多项式

C．不超过三次的多项式D．不超过三次的整式

再如：

若M、N分别是关于x的2次多项式与3次多项式，则MN（）.

A．一定是5次多项式B．一定是6次多项式

C．一定是2次或3次多项式D．无法确定

9、平方差、完全平方公式的推导及运用

（1）用图形的面积表示平方差、完全平方公式

（2）乘法公式

①平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

②完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2

（a+b+c）2=.

例如：

已知方程x2－6x＋q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x＋q=2可以配方成

.又如：

若整式4x2+1加上一个单项式q的和是完全平方式，请你写出所有足条件的单项式q.

10、因式分解（提公因式和公式法，公式不超过两次）

（1）定义：

，就叫做把这个多项式因式分解.

（2）方法：

①提取公因式法：

ma+mb+mc=.②公式法：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

a2±2ab+b2=（a±b）2.

（3）一般步骤：

“一提”、“二套”、“三分组”.分解因式要分解到各因式都为止.

（4）要注意因式分解与整式乘法的互逆关系，计算的结果不要写成因式分解的结果，因式分解不要不彻底.

例如：

因式分解

的结果是.

因式分解：

（2x＋1）2－x2=.

已知关于x的二次三项式x2+ax-12可以在整数范围内因式分解，则a=.

已知x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）,要使二次三项式x2-5x+p在整数范围内可以因式分解，那么整数p可取的值可以有（）.

A．2个B．4个C．6个D．无数多个

11、分式的通分和约分

分式的概念和性质

（1）分子分母都是，且分母中含有的代数式叫做分式.

（2）当时，分式无意义；当时，分式的值为零.例如：

当

时,分式

的值为零.

（3）分式的基本性质：

分式的分子与分母都乘以或除以，分式的值不变.

例如：

给定下面一列分式：

，（其中

）

（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？

（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式。

12、简单的分式加减乘除运算

（1）通分的关键是确定几个分式的.

（2）最简公分母的确定方法：

①取各分母的系数的最小公倍数作为公分母的系数；②取各公因式的最高次幂作为公分母的因式；③如果分母是多项式，则应该先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母.例如

的最简公分母是.又如：

的最简公分母是.

（3）分式的计算结果要约分到分子分母没有公因式为止.如化简

的结果是.

（4）要注意将分式计算中的通分与解分式方程中的去分母区别开来.

计算：

解方程：

四、方程与方程组

1、根据具体问题中的数量关系列出方程或方程组

（1）方程：

含有叫做方程.

（2）方程的解：

叫做方程的解.例如：

是方程ax－y=3的解，则a的取值是.

2、解一元一次方程和二元一次方程组

（1）一元一次方程：

只含有，且未知数的次数是，这样的方程叫做一元一次方程.

（2）方程组的解是指方程组中各方程的公共解.例如：

已知方程组

的解满足x+y=3，则k的值为.

（3）解方程组的关键是.消元的主要方法有消元、消元等.

（4）有时解决一些方程组中的参数问题时，会用到整体意识.例如：

已知

且-1＜x-y＜0，则k的取值范围是.

3、解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）

（1）中含有未知数的方程叫做分式方程.解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程来解.去分母时最常见的方法就是方程两边同时乘以最简公分母.

（2）增根：

在去分母后所得的整式方程的解有可能使原方程中的分母为零，那么这个解叫做原分式方程的增根.产生增根的原因是方程两边同时乘以最简公分母时相当于两边同时乘以0了，所以任何时候解分式方程都必须检验.例如：

关于

的分式方程

，下列说法正确的是（）

A．方程的解是

B．

时，方程的解是正数

C．

时，方程的解为负数D．无法确定

▲注意增根既是整式方程的根，又使得转化过程中的最简公分母等于零，两个条件缺一不可.例如：

若分式方程

有增根，则它的增根是（）.

（A）0（B）1（C）-1（D）1和-1

由增根求参数的值：

①将原方程转化为整式方程，②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.例如：

若关于x的方程

有增根，则m=.

（3）换元法解方程

例如：

已知实数ｘ满足

，那么

的值是（）.   

A．１或－２B．－１或２C．１D．－２

4用因式分解法、公式法和配方法解简单的数字系数的一元二次方程

（1）一元二次方程：

只含有，且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.

（2）一元二次方程方程根ax2+bx+c=0（a≠0）的判别式为Δ=.当Δ＞0时，方程

有实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程.

（3）求根公式：

当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根x1,2=.例如：

若

是一元二次方程

的根,则判别式

和完全平方式

的关系是（）.

（A）

（B）

（C）

（D）大小关系不能确定

又如：

下列命题：

    ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；

    ②若b>a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；

    ③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；

    ④若b2-4ac>0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3.

    其中正确的（）.

（A）只有①②③.（B）只有①③④.（C）只有①④.　　（D）只有②③④.

5、用观察、画图或计算等方法估计方程的解

举例说明

6、根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理

列方程（组）解应用题

例如：

课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几头（只）？

如果假设鸡有

只，兔有

只，请你列出关于

，

的二元一次方程组，并写出你求解这个方程组的方法。

五、不等式与不等式组

1、不等式的意义

不等式（组）的有关概念：

（1）用“＜”、“＞”、“≤”、“≥”号表示的式子，叫做不等式.

（2）使不等式成立的叫做不等式的解.

（3）使不等式成立的叫做不等式的解集.

（4）不等式组的解集是指.

例如：

已知不等式组

的解集为x＜2，则a的取值范围是

2、不等式的基本性质

①不等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向.

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个，不等号的方向不变.

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个，不等号的方向.

例如：

若

，则

的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．不能确定

又如：

实数

在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）

A．

B．

C．

D．

再如：

下列命题：

①如果

，那么ac2＜bc2；②关于x的不等式（a-1）x＞1-a的解集是x＜-1，则a＜-1；③若

是自然数，则满足条件的正整数x有4个.其中正确的命题是.

3、解一元一次不等式及由两个一元一次不等式组成的不等式组并在数轴上表示解集

4、不等式及不等式组的简单应用

例如：

暑假期间小张一家为体验生活品质，自驾汽车外出旅游，计划每天行驶相同的路程。

如果汽车每天行驶的路程比原计划多19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天的行程比原计划少12公里，那么它行驶同样的路程需要9天多的时间，求这辆汽车原来每天计划的行程范围（单位：

公里）

六、函数

1常量、变量的意义

常量定义：

变量定义

2、举出函数的实例

对以下函数各举出生活中的实例

（1）正比例函数

（2）一次函数

（3）反比例函数

（4）二次函数

3、函数的概念及函数的三种表示方法

（1）理解函数的概念时应注意：

①在某一变化过程中，有两个x和y；

②y的值随x的值；

③对于x的每一个值，y都.

（2）函数的表示方法有、、.

（3）画函数图象的一般步骤：

、、.

例如：

下列图形中的曲线不表示

是

的函数的是（）

又如：

函数

的自变量x的取值范围为（）

A、x≥－2B、x＞－2且x≠2C、x≥0且≠2D、x≥－2且≠2

4、结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析

5、求简单整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量的取值范围

求函数取值范围应注意的问题

6、求函数值

7、用适当的函数法刻画某些实际问题中变量之间的关系

说说如何建立适当的函数关系解决实际问题

8、结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测

9、一次函数、反比例函数和二次函数的意义

一次函数

（1）如果，那么y叫做x的一次函数，当b=0时，一次函数也叫做正比例函数.

（2）正比例函数的图象是过（0，0），两点的.

（3）一次函数的图象是过、两点的一条直线.

（4）直线y=kx+b经过的象限与k、b的符号关系

①若k＞0，b＞0，则直线y=kx+b经过、、象限.

②若k＞0，b＜0，则直线y=kx+b经过、、象限.

③若k＜0，b＞0，则直线y=kx+b经过、、象限.

④若k＜0，b＜0，则直线y=kx+b经过、、象限.

例如：

如果函数

和

的图象交于点

，那么点

应该位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（5）根据待定系数法可知，只要有两个确定的点的坐标，就可以求出这两点确定的直线.如果要求出一条直线旋转变换以后的直线的解析式，只要找到两个旋转后的点就可以了.

例如：

直线y=－2x+8绕点（－1，0）顺时针旋转90°得到的直线解析式为.在直线的平移变换过程中，直线斜率k不变，所以只要找到一个变换后的点的坐标就可以求出变换后的直线的解析式了.例如：

已知点C为直线y=x上在第一象限内的一点，直线y=2x+1交y轴于点A交x轴于点B，将直线AB沿射线OC方向平移

个单位，求平移后的直线解析式为.

（6）函数叫做反比例函数.

注意：

反比例函数的本质是两个变量在变化过程中保持它们的不变.

例如：

已知某反比例函数的图象经过点

，则它一定也经过点（）

A．

B．

C．

D．

10、根据已知条件确定一次函数和反比例函数的表达式，通过对实际问题情境的分析确定二次函数表达式

说说求这三类函数解析式的方法

11、画一次函数、反比例函数的图像，用描点法画二次函数的图像

画一次函数方法

画反比例函数的图像方法

用描点法画二次函数的图像

12、理解一次函数和反比例函数的性质、通过图像认识二次函数的性质

（1）一次函数的性质：

（2）反比例函数

的性质：

①反比例函数的图象叫做.

②当k＞0时，双曲线的两个分支分别落在象限，并且在，y都随x的增大而.

③当k＜0时，双曲线的两个分支分别落在象限，并且在，y都随x的增大而.

④K的几何意义

例如：

已知反比例函数

，下列结论中，不正确的是（）

A．图象必经过点

B．

随

的增大而减少

C．图象在第一、三象限内D．若

，则

又如：

有下列函数：

①y=-3x;②y=x-1;③

;④y=x2+2x+1.其中当x在各自的自变量取值范围内取值时y都随x的增大而增大的函数有.

已知反比例函数

，当x＞0时，y都随x的增大而增大，则关于x的方程ax2-2x+b=0的根的情况是（）

A．有两个正根B．有两个负根C．有一个正根一个负根D．无实数根

▲在解决反比例函数的题目时，注意解析式中k的符号须与图象所处的象限相吻合.

例如：

如图，第四象限的角平分线OM与反比例函数

的图象交于点A，已知OA=

，则该函数的解析式为（）

A．

B．

C．

D．

（3）二次函数的性质，根据公式确定图像的顶点、开口方向、和对称轴（公式不要求记忆）

①形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的函数，当a≠0时是二次函数；当a=，b≠0时是一次函数.

②二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是对称轴平行于（或与之重合）的一条抛物线；对称轴是，顶点坐标是.显然，当a，b同号时，对称轴在y轴的左侧，当a，b异号时，对称轴在y轴的右侧，当且仅当时，抛物线的对称轴为y轴.

例如：

已知二次函数

的大致图象如图所示，那么函数

的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

③当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c的开口，当x=时，函数的最值为，在对称轴的左侧，y岁x的增大而，在对称轴的右侧，y岁x的增大而；当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c的开口，当x=时，函数的最值为，在对称轴的左侧，y岁x的增大而，在对称轴的右侧，y岁x的增大而.

例如：

已知点

，

均在抛物线

上，下列说法中正确的是（）

A．若

，则

B．若

，则

C．若

，则

D．若

，则

又如：

若一次函数y=（m+1）x+m的图象经过第一、三、四象限，则函数y=mx2-mx（）

A．有最大值

B．有最大值

C．有最小值

D．有最小值

④抛物线y=a（x－h）2+k（a≠0）可由的图象平移得到.

⑤当a＞0时，抛物线y=a（x－h）2+k的开口，当x=时，函数的最值为，在对称轴的左侧，y岁x的增大而，在对称轴的右侧，y岁x的增大而；当a＜0时，抛物线y=a（x－h）2+k的开口，当x=时，函数的最值为，在对称轴的左侧，y岁x的增大而，在对称轴的右侧，y岁x的增大而.

例如：

抛物线

的顶点为

，已知

的图象经过点

，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为.

又如：

在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）

A．y＝2（x－2）2+2B．y＝2（x+2）2－2

C．y＝2（x－2）2－2D．y＝2（x+2）2+2

⑦二次函数y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）的对称轴是直线x=，函数也在当x=时，取到最大值或最小值.

⑧抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与坐标轴的交点

当△＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点；

当△0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有的实数根，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个交点；

当△0时，一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴没有交点.

⑨A、B是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，则AB两点间的距离是

例如：

抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为.

又如：

已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数

的图像与线段AB只有一个交点，则

的取值范围是.

▲要注意抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点与△的取值无关，在讨论抛物线与坐标轴交点时不要忽律掉，还要注意与y轴的交点可能同与x轴的一个交点重合.

例如：

若b2-4ac>0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是.

▲在解决函数相关的综合题时，要注意运用“点在线上，点的坐标满足线的方程”以及平面坐标系中坐标与线段长度之间的关系来解题.

例如：

二次函数

的图象如图所示，过y轴上一点M（0，2）的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D．

①当点A的横坐标为－2时，求点B的坐标；

②在

（1）的情况下，以AB为直径的圆与x轴是否有交点，若有，求出交点坐标，若不存在，请说明理由；

③当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC·BD的值．

13、运用一次函数图像求二元一次方程组的近似解，利用二次函数图像求一元二次方程的近似解

叙述如何用图像法求二元一次方程组的近似解及一元二次方程的近似解

14、利用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题

建立函数模型解决实际问题的步骤

七、图形的认识

1、认识点、线、面

（1）两点确定一条直线；确定一个平面.两点之间线段最短，

（2）叫做两点间的距离.例如：

平面内有A、B、C三点，其中A与B的距离为5cm，B与C的距离为3cm，则A、C两点间的距离的取值范围是.

2、角的概念与表示，认识度、分、秒，能进行度、分、秒的简单换算

（1）列举角的表示方法

（2）一周角=平角=直角=度.1度=分.，1分=秒

例如：

一幅图案.在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是.

又如：

设一个锐角与这个角的补角的差的绝对值为

，则（）

A.0°<

<90°B.0°<

≤90°

C.0°<

<90°或90°<

<180°D.0°<

<180°

3、角的大小比较或估计、角度的和差计算

4、角平分线与中垂线的性质定理及其逆定理

（1）角平分线上的点到距离相等；

到一个角两边距离相等的点在.

（2）线段中垂线上的点到距离相等；

到一条线段两个端点距离相等的点在.

（3）到一个三角形三边距离相等的点是这个三角形的的交点，这个点叫做三角形的心，即三角形圆的圆心；到三角形三边所在直线距离相等的点有几个？

到一个三角形三个顶点距