中位线.docx

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中位线

中位线

一、知识要点

1.三角形中位线

（1）定义：

连结三角形两边中点的线段叫三角形中位线

（2）定理：

三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半

（3）定理的作用：

可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长

（4）三角形中位线的证明：

三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线，证明方法很多，课本上用的是同一法，下面举出几种简单的方法：

①如图4.11-1，延长DE到F，使EF＝DE，连CF，（或过C点作CF∥AB交DE的延长线于F，得□BDFC，再证△ADE≌△CEF.

图4.11-1                            图4.11-2

②如图4.11-2，延长DE到F，使EF＝DE，连结CF、AF、DC，可得□DCFA和□DBCF.

2.梯形中位线

（1）定义：

连结梯形两腰中点的线段

（2）中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半

（3）梯形中位线定理的作用：

证明三条（或两条）直线平行，计算梯形的两底或中位线，证明线段之间的倍分（或相等关系）.

4.梯形中位线证明：

①如图4.11-3，连结AF并延长交BC的延长线于H，先证△ADF≌△HCF，得DF＝FC，得EF为EF为△ABH的中位线，∴EF∥BC∥AD，EF＝

（BC+CH）＝

（BC+AD）

图4.11-3                            图4.11-4

②如图4.11-4，过点F作GH∥AB交BC于H，交AD和延长线于G可得△DGF≌△CHF、□ABHG、□AEFG、□EBHF、AG＝EF＝BH.

二、典型例题

例1 

（1）若等腰梯形的周长为80cm，中位线长与腰长相等，则它的中位线长等于       cm.

（2）如图4.11-5，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O，过点O作AB的平行线交CB于点E.若OE＝3cm，则AD＝           cm.

解：

（1）∵周长＝两底长的和+两腰长的和，而中位线长＝腰长，

∴两腰长的和＝2×中位线的长

又∵中位线长＝

×两底长的和

∴两底长的和＝2×中位线的长

∴2中位线+2中位线＝周长

4×中位线的长＝80（cm）

中位线的长＝20（cm）

（2）∵□ABCD，AC、BD交于O，

∴DO＝OB（平行四边形对角线互相平分）

又∵OE∥AB，

∴BE＝EC（过三角形一边中点而平行于另一边的直线平分第三边）

这样OE＝

AB（三角形中位线定理）

∵BC＝AD（平行四边形对边相等）

∴OE＝

AD

从而AD＝2OE＝2×3＝6（cm）

例2 如图4.11-6，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AD＝2cm，中位线长为5cm，高AE＝3

cm，求这个梯形的腰长.

分析 要求腰长AB，必须设法把题给的已知数据集中到Rt△ABE中来.由中位线长为5cm，可知两底长的和为10cm.∵AD＝2（cm），∴BC＝8（cm），∴BE＝FC＝

＝3（cm），在△Rt△ABE，AE＝3

cm，BE＝3cm，故可求得AB的长.

解：

作DF⊥BC，交BC于F

∵AD∥BC，AB＝DC，∴∠B＝∠C

又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE≌△DCF

∴BE＝CF

∵中位线＝5cm

∴AD+BC＝5×2＝10（cm）

由AD的长为2cm，得BC＝10-2＝8（cm）

∴BE＝

＝3（cm）

在Rt△ABE中，AE＝3

cm，BE＝3cm，故由勾股定理得

AB＝

＝

 ＝

＝6（cm）

答：

这个梯形的腰长是6cm

 例3 如图4.11-7，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，∠FDA＝∠B.

（1）求证：

AF＝DE；

（2）若AC＝6，BC＝10，求四边形AEDF的周长.

分析 本题是考查知识点较多的综合题，它不但考查应用三角形中位线定理的能力，而且还考查应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。

（1）要证AF＝DE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DE∥AC.又题给条件∠FDA＝∠B，而在Rt△ABC中，因AE是斜边上的中线，故AE＝EB.从而∠EAB＝∠B.于是∠EAB＝∠FDA.故得到AE∥DF.所以四边形为平行四边形.故AF＝DE得证.

（2）要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE和DE，AE＝

BC＝5，DE＝

AC＝3.

证明：

（1）∵D、E分别为AB、BC的中点，

∴DE∥AC即DE∥AF

∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BE＝EC

∴EA＝EB＝

BC，∠EAB＝∠B

又∵∠FDA＝∠B，

∴∠EAB＝∠FDA

∴EA∥DF，AEDF为平行四边形

∴AF＝DE

（2）∵AC＝6，BC＝10，

∴DE＝

AC＝3，AE＝

BC＝5

∴四边形AEDF的周长＝2（AE+DE）＝2（3+5）＝16

例4 如图4.11-14，从□ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN引垂线AA′、BB′、CC′、DD′，垂足分别为A′B′，C′D′.求证：

AA′+CC′＝BB′+DD′

分析 怎样将结论中的线段联系起来，由平行四边形和梯形的有关知识，连结对角线AC、BD可得中点O，自然想到作出两梯形AA′D′D的中位线OO′，这样中位线OO′就将结论中的线段联系到了一起.

证明：

连结对角线AC、BD，它们相交于点O，作OO′⊥MN，垂足为O′，在□ABCD中

AO＝OC（平行四边形对角线互相平分）

∵AA′⊥MN，CC′⊥MN，OO′⊥MN       ∴AA′∥CC′∥OO′

∴A′O′＝O′C′（经过一腰中点且平行于底的直线，必平分另一腰）

∵2OO′＝AA′+CC′（梯形中位线定理）

同理2OO′＝BB′+DD′

∴AA′+CC′＝BB′+DD′

练习

一、填空题

1.如图4.11-15，EF是△ABC的中位线，EF＝3，则BC＝           .

图4.11-15           图4.11-16

2.已知梯形的中位线长为9，一条底边长是12，那么另一条底边长是           .

3.如图4.11-16，把长为8cm的长方形对折，按图中的虚线剪出一个梯形并打开，则打开后的梯形中位线长为               cm.

4.已知梯形的下底长为4cm，中位线长为3cm，则上底长为           cm.

5.三角形各边分别是3cm、5cm、6cm，则连结各边中点所围成的三角形的周长是           .

6.已知梯形的中位线长16cm，梯形的一条对角线把中位线分成两条线段，这两条线段的差是4cm,则梯形上底长是           cm.

7.如图4.11-17，△ABC中，AD、BE是中线且交于G，那么

＝           .

图4.11-17                             图4.11-18

8.如图4.11-18，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是           .

9.如果中位线长是5，那么梯形的上底和下底的和是           .

10.如图4.11-19，梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，G为BC上任一点，如果S△GEF＝2

cm2，那么梯形的面积是           cm2.

 二、选择题

1.梯形的上底长4cm，下底长6cm，则梯形的中位线长为（   ）

A.12cm         B.5cm          C.10cm         D.20cm

2.如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形周长为（   ）

A.9            B.6            C.3            D.

3.在四边形ABCD中，对角线AC＝BD，那么顺次连结四边形ABCD各边的中点所得的四边形一定是（   ）

A.平行四边形           B.矩形         C.正方形               D.菱形

4.A′、B′、C′、D′顺次为四边形ABCD各边的中点，下面条件使四边形A′B′C′D′为正方形的条件是（   ）

A.四边形ABCD是矩形                B.四边形ABCD是菱形

C.四边形ABCD是等腰梯形            D.四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC＝BD

5.已知三角形三边长分别为a、b、c，它的三条中位线组成一个新的三角形，这个新三角形的三条中位线又组成一个小三角形，这个小三角形的三条中位线又组成一个新小三角形，则最小的三角形的周长是（   ）

A.

（a+b+c）       B.

（a+b+c）          C.

（a+b+c）           D.

（a+b+c）

6.如果梯形的一底为6，中位线为8，则另一底为（   ）

A.4                B.7            C.10               D.14

7.如图4.11-20，梯形ABCD中，AD∥BC，如果中位线EF的长为4cm，且BC＝3AD，则梯形下底的长为（   ）

A.8cm              B.6cm          C.4cm          D.2cm

8.如图4.11-21，△ABC中，如果AB＝30cm，BC＝24cm，AC＝27cm，AE＝EF＝FB，EG∥DF∥BC，FM∥EN∥AC，则图中阴影部分的三个三角形周长之和为（   ）

A.70cm              B.75cm            C.80cm             D.81mc

三、解答题

1.如图4.11-22，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，S△ADO∶S△BOC＝1∶9，求S△DOC∶S△BOC.

2.如图4.11-23，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝60°、∠1＝∠2，且梯形的周长30cm，求这个梯形的面积.

3.如图4.11-24，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝CD，E为梯形内D一点，且EB＝EC，求证：

EA＝ED.

4.如图4.11-25在△ABC中，∠A+∠B＝2∠ACB，BC＝8，D为AB的中点，且CD＝

，求AC的长.

 5.如图4.11-26，在△ABC中，∠B＝２∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点，求证：

DM＝

AB.

四、如图4.11-27，△ABC的∠B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求△ABC三边之长.

五、如图4.11-28，在四边形ABCD中，∠A＝60°，AD+BC＝AB＝DC＝1，求四边形ABCD的面积S.

六、如图4.11-29，梯形ABCD，AD∥BC，AB∥DE，AE∥BD，AD延长线交CE于F.①求证：

EF＝FC；②若△CED＝

S梯形ABCD时，求AD与BC的关系.