数学思维训练教材六年级上册Word格式.doc
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这两个分数的分子都比分母小2。
我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。
因为比A比1少，B比1少，而﹤，所以A﹥B。
方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。
随堂练习三：
试比较下列两个分数的大小。
和
例4：
比较和，那个分数大？
分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。
仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。
想一想，这是为什么？
的倒数是，的倒数是，因为﹥，所以﹤。
方法点评从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。
随堂练习四：
试比较和的大小。
例5：
试比较下面两个分数的大小。
分析与解观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。
但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个分数的分子与分母都加上同一个数：
1000，就正好等于第二个分数。
方法点评当a﹥b时，﹥,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，得到的新分数比原分数小，所以﹥。
同理，一个真分数的分子和分母都加上同一个数，得到的分数比原分数大。
随堂练习五：
比较与的大小
拓展训练
1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。
2、比较下面两个分数的大小。
3、比较和的大小。
4、比较与的大小。
5、比较与的大小。
第2讲速算与巧算
专题简析：
学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。
因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。
本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。
计算下面各题。
（1）9
（2）2003
分析与解同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：
可以把
（1）分成一个9的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；
把例
（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。
（1）9
（2）2003
=（63+）9=（20032003）（2003）
=639+9=1（20032003+2003）
=7+=1
==
方法点评：
有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。
计算：
（1）55
（2）167
（1+）（1+）—（1+）（）
分析与解这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。
设=A1+=B，原来的算式可以转化成：
（1+A）B-BA
=B+AB-AB
=B
所以本题的结果为：
1+=
用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。
（1+）×
（+）-（1++）×
（）
计算
分析与解这组分数的特点是：
分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个……且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5…这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）×
项数÷
2=数列的和。
原式=1+2+3+4+…+49+50
=（1+50）×
50÷
2
=1275
在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。
+
（1）（）÷
（2）
分析与解
（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：
==145×
（）,=5×
（）.所以，
原式=（）÷
（）=145×
（）÷
5×
（）=145÷
5=29
（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。
因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。
因为2002=2002×
1
20022002=2002×
10001
200220022002=2002×
1000110001
所以2002+20022002+200220022002=2002×
（1+10001+100010001）
同理2003+20032003+200320032003=2003×
原式==
计算
分析与解这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。
下面我们来分析一下：
=1-，=，….=
=1-++…+
=1-
=
这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。
但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。
当a﹤b时,=（）×
计算
1.、计算（1+）×
（+）-（1++）×
（）
2、计算（）-（）
3、计算
4、计算
5、计算（1+）×
（1-）×
…×
（1-）
第3讲比的意义和应用
比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。
在这一讲，我们一起研究这方面的知识。
两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是1︰2,另一只杯子中盐与比是1︰5。
若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？
分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占，水占；
第二只杯子中的盐占，水占。
两只杯子中的盐水混合后，盐为+=，水为+=。
所以，混合液中的盐与水的比为：
（+）︰（+）
=︰
=1︰3。
答：
混合后，盐与水的比为1︰3。
求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。
六年
（1）班男、女人数的比是5︰4，六年
（2）班男、女人数的比是2︰1，两班人数相等。
求六年
（1）班男男生与六年
（2）班男生的人数比。
如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，占正方形面积的，三角形中阴影部分的面积占三角形面积的，占正方形面积的。
圆，正方形、三角形面积的最简整数比是多少?
分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:
12×
÷
=16；
三角形的面积为：
12×
=15。
所以这三个图形的面积比就是：
（12×
）︰12︰（12×
）=16︰12︰15
方法点评在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。
如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的，相当于小长方形面积的。
这两个长方形的面积比是多少？
有大小两个长方形，大长方形的长比小长方形的长多，而小长方形的宽比大长方形的宽多。
求这两个长方形的面积比。
分析与解大长方形的长比小长方形的长多，可以把小长方形的长看做4份，大长方形的长就是1+4=5份；
小长方形的宽比大长方形的宽多。
可以理解成八大长方形的宽看做10份，小长方形的宽是1+10=11份。
所以，这两个长方形的面积比为：
（5×
10）︰（4×
11）
=55︰44
=25︰22
大小两个长方形的面积比为25︰22。
有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多。
求两个正方形的周长比。
六年
（1）班男人数的与女生人数的相等，已知男生比女生多5人，这个班男、女生各有多少人？
分析与解根据男人数的与女生人数的相等，可以列出数量关系：
男生人数×
=女生人数×
。
假设男人数的与女生人数的都是1，则男生人数为1=；
女生人数为1=。
所以，男、女生人数的比为：
（1）︰
（1）
=6︰5
每一份的人数就是：
5÷
（6-5）=5（人）
男生人数就是：
6=30（人）
女生人数就是：
5=25（人）
男生有30人，女生有25人。
拔一根绳子按5︰3截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2米。
这根绳子原来全长多少米？
小丽读一本书，已读的页数和未读的页数的比是1︰5，若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3︰5。
这本书共有多少页？
分析与解根据“已读的页数和未读的页数的比1︰5”可知，把未读的页数看做1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份，已读的页数占总页数的。
若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3︰5.即把这时已读的页数看做3份，未读的页数看做5份，总页数就是3+5=8份，这时已读的页数占总数的。
45页占总页数的-=，这本书共有的页数是：
45÷
（-）
=45÷
=216（页）
答：
这本书共有216页。
一条路，已修的米数和未修的米数比为2︰3，后来又修了2000米，这时已修的米数与未修的米数比为3︰2。
这条路全长多少米？
1、两个西服厂，一个月内生产的西服数量比是6︰5，两个厂西服价格比是11︰10.求两个厂这个月生产西服总产值的比。
2、如图，求图中阴影部分与圆环的面积比。
3、把100克纯酒精装在一个玻璃瓶里，正好装满。
用去20克后，加满蒸流水；
又用去20克后，再加满蒸馏水。
求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。
4、一个长方形长与宽的为7︰3，如果把长减少12厘米，宽增加16厘米，正好变成一个正方形。
这个长方形的面积是多少平方厘米？
5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为10︰1，当水面下降20厘米后，露出水面那部分的长度之比为5︰2。
求木桩原来露出的部分是多少厘米？
第4讲按比例分配
有一块长方形的土地，测得周长为60米，.长与宽的比是3︰2.求这块地的面积。
分析与解求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为60米，那么，长与宽的和就是：
60÷
2=30（m）；
它的长就是：
30×
=18（米）；
它的宽就是：
=12（米。
）至此，长方形的面积很容易求出。
2=30（m）
=18（米）
18×
12=216（平方米）
这块长方形土地的面积是216平方米。
此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。
长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为5︰4︰2.这个长方体的体积是多少立方厘米？
西园村挖一条水渠，全长420米，第一、二两队所挖米数比是3︰4，第二、三两队所挖米数比是6︰7。
三个队各挖了多少米？
分析与解我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。
因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。
这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。
第一队︰第二队︰第三队
3︰4=（3×
3）︰（4×
3）=9︰12
6︰7=（6×
2）︰（7×
2）=12︰14
这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为9︰12︰14，下面只需将420米按比例分配就行了。
9+12+14=35
420×
=108（米）
=144（米）
=168（米）
第一队挖了108米，第二队挖了144米，第三队挖了168米。
这道题的解题关键是：
应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。
人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为5︰4，第二批与第三批的人数比为3︰2.已知六年级共有学生210人，第二批有多少人？
工厂把10000元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是3︰2，第三车间比第二车间多200元。
三个车间各得多少元？
分析与解根据题意，把第一车间所得奖金看做3份，第二车间所得奖金数是2份，第三车间所得将金属应为2份多200元。
从10000元奖金中先拿出200元给第三车间，那么剩下的9800元中，三个车间应得奖金的比是322，再按比例进行分配。
最后第三车间的奖金加上先分得的200元就行了。
3+2+2=7
10000-200=9800（元）
9800×
=4200（元）
=2800（元）
2800+200=3000（元）
第一车间分得4200元，第二车间分得2800元，第三车间分得3000元。
甲、乙、丙三堆煤共450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为5︰4，丙堆煤的重量是乙堆煤的1.5倍。
三堆煤各重多少吨?
A、B两桶油共重90千克，若把A桶中油的倒入B桶，则两桶油的重量比是1︰2.A、B两桶油原来各多少千克？
分析与解把A桶油的倒入B桶，两桶油的总重量没有变，还是90千克。
因此可以按比例分配求出现在A桶油的重量：
90×
=30（千克）。
A桶倒出后是30千克，即30千克占A桶油原有油的，这样可以倒推A桶原有油的重量。
则就可求出B桶油的重量。
=30（千克）
30÷
=40（千克）
90－40=50（千克）
A桶原有油40千克，B桶原有油50千克。
方法点评解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出A桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。
两个书架一共放书360本，如果从第一个书架取出放入第二个书架，则第一个书架上的书与第二个书架上的书的本数比是9︰11.两个书架上原来各有多少本书？
水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。
出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为4︰5︰6.已知上周这三种水果售出数量比是3︰2︰4，又知苹果共卖得2160元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？
分析与解根据这三种水果的单价比为4︰5︰6.，以及数量比为3︰2︰4，可以先计算出这三种水果的总价比（4×
3）︰（5×
2）︰（6×
4）=12︰10︰24=6︰5︰12由此可知，苹果的总价占售出水果总价的。
因此售出水果的总价很容易求出。
（4×
4）=6︰5︰12
2160÷
=8280（元）
这个批发部上周售出水果的总价为8280元。
方法点评解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。
甲乙两个三角形，他们的底边之比为2︰3，高之比为3︰5.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30平方厘米，求这两个三角形的面积。
1、一个长方体，长、宽、高的比是4︰3︰7.已知这个长方体的底面周长为56厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
2、甲数和乙数的比是23，乙数和丙数的比是45，甲数和丙数的比是多少？
3、大、小两筐苹果共60千克，把大筐苹果重量的放入小筐后，大、小两筐苹果的重量比为2︰3。
大、小两筐原来各装多少千克苹果？
4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为4︰9︰5.两天后，三种水果工卖出780千克，这时苹果还余50千克，梨还余20千克，橘子余下的是卖出的。
原来三种水果各有多少千克？
5、学校田径队和游泳队共有32个男生、18个女生。
已知田径队中男生人数与女生人数的比为5︰3，游泳队中男生人数与女生人数的比是2︰1，那么，田径队中女生有多少人？
6、商店购进奶糖和酥糖这两种糖果所用钱数之比是2︰1，已知奶糖每千克6元，酥糖每千克2元。
如果把这两中堂混在一起成为什锦糖，那么，什锦糖的成本为每千克多少元？
第五讲分数第应用题
（一）
一池水，第一天放出60吨，第二天放出65吨，剩下的水比原来这池水的少5吨。
原来水池有多少吨？
分析与解这道题把原来这池水的吨数看作单位“1”，但具体数量与分率之间的关系却不容易看出，关键是剩下的水不是正好占单位“1”的。
我们可以假设第二天少放出5吨水，那么剩下的水就正好占单位“1”的，两天共用去（60+65-5）吨的水，的对应分率就是（1－）。
（60+65-5）÷
（1－）
=120÷
=160（吨）
原来水池有水160吨。
一批稻谷放在两个粮库中，甲库所存稻谷的数量是乙库的，后来向甲库运进45吨，向乙库运进36吨，这时两库稻谷重量相等。
甲库原有稻谷多少吨？
五年级的图书窗内有文艺书、科技书、故事书共96本。
已知科技书是故事书的，是文艺术的，三种图书各有多少本？
分析与解这道题出现了两个不同的单位“1”，因而，我们需要将他转化成同一个单位“1”。
把故事书看作单位“1”，科技书的对应分率就是，文艺书的对应分率是÷
=
故事书的本数：
96÷
（1++÷
）
=96÷
=36（本）
科技书的本数：
36×
=12（本）文艺书的本数：
12÷
=48（本）
故事书有36本，科技书有12本，文艺书有48本
方法二：
这道题也可以把科技书的本数看作单位“1”，故事书的对应分率就是1÷
=3文艺书的对应分率就是1÷
=4
（1+1÷
+1÷
8
=12（本）……科技书的本数
=36（本）……故事书的本数12÷
=48（本）……文艺书的本数
（略）
在分数应用题中，如果遇到单位“1”不同时，就要注意将各分率进行转化，将这些分率转化成同一个单位“1”的几分之几或几倍，然后再去寻找分率与具体数量之间的对应关系。
某校四、五、六年级共有学生580人，四年级的学生人数是五年级的，五年级的人数是六年级的。
三个年级各有多少人？
1、小明和小虎都是小集邮迷，他们两人共有邮票285张，现在小明拿出自已邮票的，现在小虎拿出15张，送到少年宫参加邮票展，两人剩下的邮票张数正好相等。
两人原来有多少张邮票？
2、某厂男职工比全厂职工总数的还多60人，女职工的人数是男职工的。
这个厂公有制共多少人？
3、东方小学六年级有23人、五年级有18人参加数学竞赛，结果五、六年级的获奖人数相等，五年级未获奖人数比六年级少。
两个年级共有多少人获奖？
4、甲乙丙三人合作一批机器零件，甲做零件的歌数是乙丙的，乙做零件的个数是甲丙的，丙做了450个，这批零件有多少个？
5、国庆节前，两位工人给某个城市装彩灯，他们工作了5天后，还剩下需装彩灯
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