五年级奥数专题03：质数与合数文档格式.docx
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6.如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.
7.某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.
8.有10个数:
21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；
第二组数是_____.
9.有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.
10.主人对客人说：
“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？
”客人想了一下说：
“我还不能确定答案。
”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：
“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。
”主人家的楼号是_____,孩子的年龄是_____.
二、解答题
11．甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。
甲说：
“两个质数之和一定是质数”.乙说：
“两个质数之和一定不是质数”.丙说：
“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?
12.下面有3张卡片3,2,1，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数.
把所得数中的质数写出来.
13.在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
14.在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.
———————————————答案——————————————————————
答案:
1.9，1，2
在一位自然数中,奇数有:
1,3,5,7,9,其中仅有9为合数,故第一个空填9.
在一位自然数中,质数有2、3、5、7，合数有4、6、8、9，所以既不是合数又不是质数的为1.
又在一位自然数中,偶数有2、4、6、8，所以既是偶数又是质数的数为2.
2.202
最小的质数是2,最接近100的质数是101,它们的乘积是2101=202.
3.420
首先注意到41是质数,两个自然数的和与差的积是41,可见它们的差是1,这是两个连续的自然数,大数是21,小数是20,所以这两个自然数的积是2021=420.
4.2、5、43
接近50的质数有43,再将7分拆成质数2与质数5的和.即
2+5+43=50
另外,还有
2+19+29=50
2+11+37=50
[注]填法不是唯一的.如也可以写成
41+2+7=50
5.11,12,13
将1716分解质因数得
1716=2231113
=11（223）13
由此可以看出这三个数是11,12,13.
6.88
先把1992分解质因数,然后把不同质数相加,求出它们的和.
1992=222383
所以1992所有不同的质因数有:
2,3,83.它们的和是
2+3+83=88.
7.210
最小的四个质数是2,3,5,7,所以有四个不同质因数的最小自然数是
2357=210
8.192
先把9216分解质因数,然后再用“试验法”解答
9216=22…233
10个
=9696
欲使这两个自然数的和最小,可使两数相等,所以这两个质因数的和最小为96+96=192.
9.36
如下图所示,要求木条的面积,必须知道正方形木板的边长.把108分解质因数.
108（cm2）
平方分米
3分米
108=22333
=129
由此可见,9加3正好等于12,所以正方形木板边长是12分米.所以,木条面积是
123=36（平方分米）
10.31
这10个质数之和是598,分成两组后,每组五个数之和是5982=299.
在有79这组数中,其他四个质数之和是299-79=220,个位数是0,因此这四个质数的个位数可能有三种情形:
（1）三个1和一个7；
（2）二个3和二个7；
（3）三个3和一个1.
31+41+101=173,220-173=47,可这十个数中没有47,情形
（1）被否定.
17+67=84,220-84=136,个位数为3有23,53,83,只有53+83=136,因此从情形
（2）得到一种分组:
17,53,67,79,83和23,31,41,101,103.
所以,含有101这组数中,从小到大排列第二个数是31.
[注]从题目本身的要求来说,只要找出一种分组就可以了,但从情形（3）还可以得出另一种分组.23+53+83+103=262,262-220=42,我们能否从53,83,103中找出一个数,用比它少42的数来代替呢?
53-42=11,83-42=41,103-42=61.这十个数中没有11和61,只有41.又得到另一种分组:
23,41,53,79,103和17,31,67,83,101.
由此可见,不论哪一种分组,含101这组数中,从小到大排列,第二个数都是31.
11.由于长+宽是362=18
将18表示为两个质数和18=5+13=7+11
所以长方形的面积是513=65或711=77
故长方形的面积至多是77平方单位.
12.先把14,20,21,28,30分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,使两组数乘积相等.
14=7220=225
21=3728=227
30=2357
从上面五个数分解质因数来看,连7在内共有质因数四个7,六个2,二个3,二个5,因此每组数中一定要含三个2,一个3,一个5,二个7.
六个数可分成如下两组（分法是唯一的）:
第一组:
7、28、和30
第二组：
14、21和20
且72830=142120=5880满足要求.
[注]解答此题的关键是审题,抓住题目中的关键性词语：
“使两组数的乘积相等”.实质上是要求两组里所含质因数相同,相同的质因数出现的次数也相同.
13.把1430分解质因数得
1430=251113
根据题目的要求,应在2、5、11及13中选用若干个数，使它们的乘积在100到200之间，于是得三种答案：
（1）2511=110；
（2）2513=130；
（3）1113=143.
所以,有三种分法:
一种是分为13队,每队110人；
二是分为11队，每队130人；
三是分为10队，每队143人.
14.由于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍,即4瓶油（加瓶）共重
（8+9+10+11+12+13）3=21（千克）
而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有2,故有
（1）油重之和为19千克,瓶重之和为2千克,每只瓶重千克,最重的两瓶内的油为13-2=12（千克）.
（2）油重之和为2千克,瓶重之和为19千克,每只瓶重千克,最重的两瓶内的油为13-2=（千克）,这与油重之和为2千克矛盾,不合要求,删去.
答案:
1.99
100,98是偶数,99是3倍数,从而知97是1~100中最大的质数,又最小的质数是2,所以最小的质数与最大的质数的和是99.
2.3,3,5,8
根据这四个数中只有一个是合数,可知其他三个数是质数,将360分解质因数得:
360=222533
所以,这四个数是3,3,5和8.
3.1992
依题意,将232323分解质因数得
232323=2310101
=23371337
从而,全部不同质因数之和
=23+3+7+13+37=83
所以,AB=8383=1992.
4．36岁
根据三个学生的年龄乘积是1620的条件，先把1620分解质因数，然后再根据他们的年龄一个比一个大3岁的条件进行组合.
1620=2233335
=91215
所以,他们年龄的和是9+12+15=36（岁）
5.83,24
先把1992分解质因数,再根据两个数的和是107进行组合
1992=222383
=2483
24+83=107
所以,这两个数分别是83和24.
6.14
根据两数之积能整除4875,把4875分解质因数,再根据两数之和为64进行组合.
4875=355513
=（313）（55）5
=（3925）5
由此推得这两数为39和25.它们的差是39-25=14.
7.15
解法一
因为相同两数相加之和为原数的2倍,相减之差为零,相乘之积为原数乘以原数,相除之商为1.所以原数的2倍加上原数乘以原数应是256-1=255.把255分解质因数得:
255=3517
=35（15+2）
=152+1515
所以,这个数是15.
解法二
依题意,原数的2倍+0+原数原数+1=256,即
原数的2倍+原数原数=256-1
原数的2倍+原数原数=255
把255分解质因数得
=15（15+2）
8.21、22、65、76、153；
34、39、44、45、133.
先把10个数分别分解质因数,然后根据两组中所包含质因数必须相等把这10个数分成两组:
21=3722=211
34=21739=313
44=221145=335
65=51376=2219
133=719153=3317
由此可见,这10个数中质因数共有6个2,6个3,2个5,2个7,2个11,2个13,2个17,2个19.所以,每组数中应包含3个2,3个3,5、7、11、13、17和19各一个.于是,可以这样分组:
第一组数是:
21、22、65、76、153；
第二组数是:
[注]若将分为两组拓广分为三组,则得到一个类似的问题（1990年宁波市江北区小学五年级数学竞赛试题）:
把20,26,33,35,39,42,44,55,91等九个数分成三组,使每组的数的乘积相等.
答案是如下分法即可:
第一组：
20，33，91；
44，35，39；
第三组：
26，42，55.
9．12
设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除.
因为100A+B=90A+（10A+B）,由数的整除性质可知90A能被10A+B整除.这样只要把90A分解组合,就可以推出符合条件的两位数.
90A=2325A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
90A
109
156
185
209
309
409
458
509
609
709
809
909
10,15
18
20
30
40,45
50
60
70
80
90
所以,符合条件的两位数共12个.
10.14；
3岁，3岁，8岁
因为三个孩子年龄的积是72，所以，我们把72分解为三个因数（不一定是质因数）的积，因为小孩的年龄一般是指不超过15岁，所以所有不同的乘积式是
72=1612=189
=2312=249
=266=338
=346
三个因数的和分别为：
19、18、17、15、14、14、13.其中只有两个和是相等的,都等于14.14就是主人家的楼号.如果楼号不是14,客人马上可以作出判断.反之客人无法作出判断,说明楼号正是14.亦即三个孩子年龄的和为14.此时三个孩子的年龄有两种可能:
2岁、6岁、6岁；
或3岁、3岁、8岁.当他看到有两个孩子很小时,就可以断定这三个孩子的年龄分别是3岁、3岁、8岁.主人家的楼号是14号.
11.因为两个质数之和可能是质数如2+3=5,也可能是合数如3+5=8,因此甲和乙的说法是错误的,只有丙说得对.
12.从三张卡片中任抽一张,有三种可能,即一位数有三个,分别为1、2、3，其中只有2、3是质数.
从三张卡片中任抽二张,组成的两位数共六个.但个位数字是2的两位数和个位与十位上数字之和是3的倍数的两位数,都不是质数.所以,两位数的质数只有13,23,31.
因为1+2+3=6,6能被3整除,所以由1、2、3按任意次序排起来所得的三位数，都不是质数.
故满足要求的质数有2、3、13、23、31这五个.
[注]这里采用边列举、边排除的策略求解.在抽二张卡片时,也可将得到六个两位数全部列举出来:
12,13,21,23,31,32.再将三个合数12,21,32排除即可.
13.100以内所有奇数之和是
1+3+5+…+99=2500，
从中减去100以内奇数中7的倍数与11的倍数之和
7（1+3+…+13）+11（1+3+…+9）
=618，
最后再加上一个711=77（因为上面减去了两次77），所以最终答数为
2500-618+77=1959.
[注]上面解题过程中100以内奇数里减去两个不同质数7与11的倍数,再加上一个公倍数711,这里限定在100以内,如果不是100以内,而是1000以内或更大的数时,减去的倍数就更多些而返回加上的公倍数有711的1倍,3倍,…也更多些，这实质上是“包含与排除”的思路.
14.依题意知,每射一箭的环数,只能是下列11个数中的一个
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
而甲、乙5箭总环数的积17640,这说明在甲、乙5箭得到的环数里没有0和10.
而1764=1223377是由5箭的环数乘出来的，于是推知每人有两箭中的环数都是7，从而可知另外3箭的环数是5个数
1，2，2，3，3
经过适当的分组之后相乘而得到的,可能的情形有5种：
（1）1，4，9；
（2）1，6，6；
（3）2，2，9；
（4）2，3，6；
（5）3，3，4．
因此，两人5箭的环数有5种可能：
7，7，1，4，9和是28；
7，7，1，6，6和是27；
7，7，2，2，9和是27；
7，7，2，3，6和是25；
7，7，3，3，4和是24。
∵甲、乙的总环数相差4,甲的总环数少.
∴甲的总环数是24,乙的总环数是28.
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