人教版八年级上册第12章《全等三角形》综合专项基础与提高练习.docx

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人教版八年级上册第12章《全等三角形》综合专项基础与提高练习

《全等三角形》综合专项培优练

基础型

（一）：

1．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．

（1）求证：

△ACB≌△BDA；

（2）若∠ABC＝28°，求∠CAO的度数．

2．如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E．F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．

（1）求证：

OC是∠AOB的平分线．

（2）若PF∥OB，且PF＝8，∠AOB＝30°，求PE的长．

3．如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．

4．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线OM上，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．

（1）证明：

PC＝PD．

（2）若OP＝4，求OC+OD的长度．

5．已知：

如图，∠ACB＝∠DCE，AC＝BC，CD＝CE，AD交BC于点F，连结BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE．

（2）延长AD交BE于点H，若∠ACB＝30°，求∠BHF的度数．

6．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．

（1）如图1，∠C＝90°，∠B＝45°，点E在边AB上，AE＝AC，请直接写出图中所有与BE相等的线段．

（2）如图2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：

AB＝AC+CD．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．

（1）求证：

△AEF≌△CEB．

（2）猜想：

AF与CD之间存在怎样的数量关系？

请说明理由．

8．如图，在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．

（1）求证：

BC＝AD．

（2）若AC＝6，BC＝8，求△ACE的周长．

9．如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒，且t≤5．

（1）PC＝　　cm（用含t的代数式表示）．

（2）如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A、B、P为顶点的三角形与以P、Q、C为顶点的三角形全等？

若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC与DE交于点G，∠A＝∠D＝90°，AC＝DF，BE＝CF．

（1）求证：

Rt△ABC≌Rt△DEF；

（2）若∠F＝30°，GE＝2，求CE．

提高型

（一）：

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：

△DAE≌△CFE；

（2）若BE⊥AF，求证：

AB＝BC+AD．

2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE．

（1）求证：

△BCE≌△AHE．

（2）求证：

AH＝2CD．

3．如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．

（1）求证：

BF＝EF；

（2）若AB＝6，DE＝3CE，求CD的长．

4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．

（1）若AC＝BC＝6，求DE的长；

（2）求证：

BE+CD＝BC．

5．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE（对应顶点字母顺序相同），∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE交于F．

（1）不添加辅助线，直接找出图中其他的全等三角形；

（2）求证：

CF＝EF．

6．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E和点F在线段BC上，∠A＝∠D．

（1）求证：

AE＝DF．

（2）若BC＝16，EF＝6，求BE的长．

7．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，点E在BC上，AB，DE相交于点F．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）求证：

∠BEF＝∠CAE．

8．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．

（1）求证：

△ABC≌△EDF．

（2）连结AD、BE，求证：

AD＝EB．

9．如图，△ABC的高为AD．△A'B'C'的高为A'D'，且A'D'＝AD．现有①②③三个条件：

①∠B＝∠B'，∠C＝∠C'；

②∠B＝∠B'，AB＝A'B'；

③BC＝B'C'，AB＝A'B'．

分别添加以上三个条件中的一个，如果能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号，并画图证明；如果不能判定△ABC≌△A'B'C'，写出序号，并画出相应的反例图形．

10．阅读下面材料：

数学课上，老师给出了如下问题：

如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：

AC＝BF．

经过讨论，同学们得到以下两种思路：

思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．

思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．

完成下面问题：

（1）①思路一的辅助线的作法是：

　　；

②思路二的辅助线的作法是：

　　．

（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：

只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．

参考答案

基础型：

1．证明：

（1）∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ACB和△BDA都是直角三角形，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，AD＝BC，AB＝BA，

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）；

（2）在Rt△ACB中，∵∠ABC＝28°，

∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，

由

（1）可知△ACB≌△BDA，

∴∠BAD＝∠ABC＝28°，

∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝62°﹣28°＝34°．

2．解：

（1）证明：

在Rt△PFD和Rt△PGE中，

，

∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），

∴PD＝PE，

∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴OC是∠AOB的平分线．

（2）∵PF∥OB，∠AOB＝30°，

∴∠PFD＝∠AOB＝30°，

在Rt△PDF中，

．

3．解：

（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．

理由如下：

∵AC⊥AB，BD⊥AB，

∴∠A＝∠B＝90°，

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝5，

∴BP＝AC，

在△ACP和△BPQ中

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）；

∴∠C＝∠BPQ，

∵∠C+∠APC＝90°，

∴∠APC+∠BPQ＝90°，

∴∠CPQ＝90°，

∴PC⊥PQ；

（2）①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，可得：

5＝7﹣2t，2t＝xt

解得：

x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：

5＝xt，2t＝7﹣2t

解得：

x＝

，t＝

．

综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或

．

4．证明：

（1）如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°．

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°．

而∠PDO+∠PDF＝180°，

∴∠PCE＝∠PDF

在△PCE和△PDF中

∴△PCE≌△PDF（AAS）

∴PC＝PD；

（2）∵∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，

∴△POE与△POF为等腰直角三角形，

∴OE＝PE＝PF＝OF，

∵OP＝4，

∴OE＝2

，

由

（1）知△PCE≌△PDF

∴CE＝DF

∴OC+OD＝OE+OF＝2OE＝4

．

5．证明：

（1）∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ACD≌△BCE，

∴∠A＝∠B，

∵∠BFH＝∠AFC，

∴∠BHF＝∠ACB，

∵∠ACB＝30°，

∴∠BHF＝30°．

6．解：

（1）与BE相等的线段是DE和DC，

理由：

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，

在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°，

∴∠DEB＝90°，

∵∠B＝45°，

∴∠B＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∴BE＝DE＝DC，

即与BE相等的线段是DE和DC；

（2）在AB上截取AE＝AC，连接DE，

∵AD为△ABC的角平分线，

∴∠CAD＝∠EAD，

在在△AED和△ACD中

∴△AED≌△ACD（SAS），

∴∠C＝∠AED，CD＝ED，

∵∠C＝2∠B，

∴∠AED＝2∠B，

∵∠AED＝∠B+∠EDB，

∴∠B＝∠EDB，

∴ED＝EB，

∴EB＝CD，

∵AB＝AE+EB，

∴AB＝AC+CD．

7．

（1）证明：

∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠AEF＝∠BEC＝∠ADB＝90°，

∴∠EAF+∠B＝∠B+∠BCE＝90°，

即∠EAF＝∠BCE．

在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB（ASA）．

（2）解：

AF＝2CD．

理由：

由

（1）得AF＝BC．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2CD，

∴AF＝2CD．

8．

（1）证明：

∵∠C＝∠D＝90°，

∴△ABC与△ABD都是直角三角形，

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），

∴BC＝AD；

（2）解：

由

（1）知Rt△ABC≌Rt△BAD，

∴∠ABC＝∠BAD，

∴AE＝BE，

∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝6+8＝14．

9．解：

（1）BP＝2t，则PC＝10﹣2t；

故答案为（10﹣2t）；

（2）存在．

分两种情况讨论：

①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ．

因为AB＝6，所以PC＝6．

所以BP﹣10﹣6＝4，即2t＝4．

解得t＝2．

因为CQ＝BP＝4，v×2＝4，所以v＝2．

②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP．

因为PB＝PC，

所以BP＝PC＝

BC＝5，即2t＝5．

解得t＝2.5．

因为CQ＝BA＝6，即v×2.5＝6，解得v＝2.4．

综上所述，当v＝2.4或2时，△ABP与△PQC全等．

10．

（1）∵BE＝BF

∴BE+CE＝CF+CE

即BC＝EF

在Rt△ABC和Rt△DEF中

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）

（2）∵Rt△ABC≌Rt△DEF

∴∠ACE＝∠F

∵∠F＝30°

∴∠ACE＝30°

∴AC∥DF

∴∠CGE＝∠D

∵∠D＝90°

∴∠CGE＝90°

∵在Rt△CGE中，∠ACB＝30°，GE＝2

∴CE＝2GE＝4

提高型：

1．解：

（1）∵AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，

∵点E为CD的中点，

∴ED＝EC，

∴△DAE≌△CFE（AAS）；

（2）∵△DAE≌△CFE，

∴AE＝EF，AD＝CF，

∵BE⊥AF，

∴AB＝BF，

∵BF＝BC+CF，CF＝AD，

∴AB＝BC+AD．

2．证明：

（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD，∠1+∠C＝90°，

∵BE⊥AC，

∴∠2+∠C＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△AEH和△BEC中，

，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

（2）∵△AEH≌△BEC

∴AH＝BC，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∴AH＝2BD．

3．

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，

∵

∴△AFB≌△DFE（AAS），

∴BF＝EF；

（2）解：

∵△AFB≌△DFE，

∴AB＝DE＝6，

∵DE＝3CE，

∴CE＝2．

∴CD＝CE+DE＝2+6＝8．

4．解：

（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC＝AB，

又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，

∴D、E分别是AC、AB的中点

，

∴AD＝AE，

∴△ADE为等边三角形，

∴DE＝AE＝3；

（2）证明：

在BC上截取BH＝BE，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵BF＝BF

∴△EBF≌△HBF（SAS），

∴∠EFB＝∠HFB＝60°．

∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，

∴∠CBD+∠BCE＝60°，

∴∠BFE＝60°，

∴∠CFB＝120°，

∴∠CFH＝60°，

∴∠CFH＝∠CFD＝60°，

∵CF＝CF，

∴△CDF≌△CHF（ASA）．

∴CD＝CH，

∵CH+BH＝BC，

∴BE+CD＝BC．

5．解：

（1）其它的全等三角形有△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF．

（2）证明：

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD，

∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB，

∴∠CAD＝∠EAB，

∴△ACD≌△AEB，

∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE，

又∵∠ADE＝∠ABC，

∴∠CDF＝∠EBF，

又∵∠DFC＝∠BFE，

∴△DCF≌△BEF（AAS），

∴CE＝EF．

6．

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（ASA），

∴AE＝DF．

（2）解：

∵△ABE≌△DCF，

∴BE＝CF，BF＝CE，

∵BF+CE＝BC﹣EF＝16﹣6＝10，

∴2BF＝10，

∴BF＝5，

∴BE＝BF+EF＝5+6＝11．

7．证明：

（1）∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，

即∠DAE＝∠BAC，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）；

（2）∵△ABC≌△ADE，

∴∠B＝∠D，

∵∠BFE＝∠DFA，

∴∠BEF＝∠BAD，

∴∠BEF＝∠CAE．

8．证明：

（1）∵AC⊥BD，EF⊥BD

∴△ABC和△DEF是直角三角形

又∵CD＝BF

∴CD+CF＝BF+CF，

即DF＝BC，

在Rt△DEF和Rt△BAC中

∴Rt△ABC≌Rt△EDF．

（2）∵△ABC≌△EDF，

∴AC＝EF

∵AC⊥BD，EF⊥BD

∴∠ACD＝∠EFB，

在△ACD和△EFB中．

∴△ACD≌△EFB（SAS）

∴AD＝BE．

9．解：

①能判定△ABC≌△A'B'C'，证明如下：

如图1，∵AD＝A'D'，∠B＝∠B'，∠ADB＝∠A'D'B'，

∴△ABD≌△A'B'D'（AAS），

∴AB＝A'B'，

又∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，

∴△ABC≌△A'B'C'（AAS）；

②不能判定△ABC≌△A'B'C'，

对应的反例如图2所示．（只要C'在射线B'D'上，且B'C'≠BC均可）

③不能判定△ABC≌△A'B'C'，

对应的反例如图3所示．

10．解：

（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：

∵AD为△ABC中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，

，

∴△ADC≌△GDB（SAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．

故答案为：

延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；

②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：

∵BG＝BF，

∴∠G＝∠BFG，

∵AE＝EF，

∴∠EAF＝∠EFA，

∵∠EFA＝∠BFG，

∴∠G＝∠EAF，

在△ADC和△GDB中，

，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∴AC＝BF；

故答案为：

作BG＝BF交AD的延长线于点G；

（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：

则∠G＝∠CAD，

∵AD为△ABC中线，

∴BD＝CD，

在△ADC和△GDB中，

，

∴△ADC≌△GDB（AAS），

∴AC＝BG，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠EFA，

∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，

∴∠G＝∠BFG，

∴BG＝BF，

∴AC＝BF．