北师大版九年级数学上册 第一章 特殊的平行四边形 单元测试题有答案Word格式.docx

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12．如图，E是菱形ABCD的对角线BD上一点，过点E作EF⊥BC于点F．若EF＝4，则点E到边AB的距离为　　．

13．在菱形ABCD中，AC＝12cm，若菱形ABCD的面积是96cm2，则AB＝　　．

14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，∠AOB＝60°

，AB＝10，E、F分别为AO、AD的中点，则EF的长是　　．

15．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是　　．

16．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC、BD相交于点O．若BO＝3，则菱形ABCD的面积为　　．

17．已知：

如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝3．延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为　　时，△ABP和△DCE全等．

18．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH的长是　　．

三．解答题（共7小题，共66分）

19．已知：

如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．

20．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别是E，F，并且BE＝DF．

求证；

四边形ABCD是菱形．

21．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE＝2∠BAE，求∠EAC的度数．

22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°

，E为边BC上一点，且EC＝AD，

连结AC．

（1）求证：

四边形AECD是矩形；

（2）若AC平分∠DAB，AB＝5，EC＝2，求AE的长，

23．如图，在边长12的正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在边AD上，且AF＝3DF，连接BE，BF，EF，请判断△BEF的形状，并说明理由．

24．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．

四边形OCED是正方形．

（2）若AC＝

，则点E到边AB的距离为　　．

25．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4

，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFC，连接CG．

矩形DEFG是正方形；

（2）探究：

CE+CG的值是否为定值？

若是，请求出这个定值；

若不是，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：

A、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故原命题错误，不符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，故原命题正确，符合题意；

C、菱形的对角相等，故原命题错误，不符合题意；

D、矩形的四个角都是直角，菱形不一定是，故原命题错误，不符合题意，

故选：

B．

2．解：

∵AC＝AD，BC＝BD，

∴AB垂直平分CD，

A．

3．解：

∵AB＝AD，点O是BD的中点，

∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，

∵∠ABD＝∠CDB，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠ACD，

∴AD＝CD，

∴AB＝CD，

∴四边形ABCD是菱形，

∵AB＝5，BO＝

BD＝4，

∴AO＝3，

∴AC＝2AO＝6，

∴四边形ABCD的面积＝

×

6×

8＝24，

4．解：

∵O为矩形ABCD的对角线AC的中点，

∴AO＝OC，

∵过点O作AC的垂线EF分别交AD、BC于点E、F，

∴AE＝CE，

∵矩形的周长为20，

∴AD+DC＝AB+BC＝10，

∴△CDE的周长为CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝10，

5．解：

A、正确．对角线相等的平行四边形是矩形．

B、正确．∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，

∴AB2+BC2＝62+82＝102，

∴∠ABC＝90°

，

∴平行四边形ABCD为矩形．

C、错误．对角线垂直的平行四边形是菱形，

D、正确，∵∠1＝∠2，

∴AO＝BO，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形．

C．

6．解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵OA＝OD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB＝90°

∵∠OAD＝55°

∴∠OAB＝∠DAB﹣∠OAD＝35°

7．解：

过E作EF⊥AB于F，

由题意得，△BCE是等边三角形，

∴∠EBC＝60°

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABE＝30°

∴EF＝

BE，

设正方形的边长为a，则AB＝BE＝BC＝a，

a，

∴S△ABE＝

AB•EF＝

•a

a＝

a，S正方形ABCD＝a2，

∴△ABE与正方形ABCD的面积比为1：

4，

8．解：

由∠A＝∠B＝∠C＝90°

可判定四边形ABCD为矩形，

因此再添加条件：

一组邻边相等，即可判定四边形ABCD为正方形，

9．解：

过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°

∴∠A+∠BCD＝180°

∵∠FCD+∠BCD＝180°

∴∠A＝∠FCD，

又∠AED＝∠F＝90°

，AD＝DC，

∴△ADE≌△CDF，

∴DE＝DF，

S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，

∴DE＝4．

10．解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD

∵AB的中点是坐标原点，

∴AO＝BO＝3，

∴DO＝

＝3

∴点C坐标（6，3

D．

二．填空题

11．解：

∵AF，BE是矩形的内角平分线．

∴∠ABF＝∠BAF﹣90°

．

故∠1＝∠2＝90°

同理可证四边形GMON四个内角都是90°

，则四边形GMON为矩形．

又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，

∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD＝BC．

∴OD＝OC，△AMD≌△BNC，

∴NC＝DM，

∴NC﹣OC＝DM﹣OD，

即OM＝ON，

∴矩形GMON为正方形，

故答案为：

正方．

12．解：

∵四边形ABCD为菱形，

∴BD平分∠ABC，

∵E为BD上的一点，EF＝4，

∴点E到AB的距离＝EF＝4，

4．

13．解：

如图，

∴AO＝CO＝6cm，BO＝DO，AC⊥BD

∵S菱形ABCD＝

AC×

BD＝96

∴BD＝16cm

∴BO＝DO＝8cm

∴AB＝

＝10cm

10cm

14．解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝OC，DO＝BO，AC＝BD，

∴DO＝CO＝AO＝BO，

∵∠AOB＝60°

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝10，

∴AO＝OB＝DO＝10，

∵E、F分别为AO、AD的中点，

DO＝

＝5，

5．

15．解：

∴∠CAE＝45°

＝∠ACB．

∵AE＝AC，

∴∠ACE＝（180°

﹣45°

）÷

2＝67.5°

∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°

＝22.5°

故答案为22.5°

16．解：

∵菱形ABCD的周长是20，

∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝3，

∴AO＝

＝4

∴AC＝8，BD＝6

∴菱形ABCD的面积＝

BD＝24，

24

17．解：

因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°

，BP＝CE＝1，根据SAS证得△ABP≌△DCE，

由题意得：

BP＝2t＝1，

所以t＝0.5，

因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°

，AP＝CE＝1，根据SAS证得△BAP≌△DCE，

AP＝8﹣2t＝1，

解得t＝3.5．

所以，当t的值为0.5或3.5秒时．△ABP和△DCE全等．

0.5秒或3.5秒．

18．解：

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

∴∠ACD＝45°

，∠FCG＝45°

，AC＝

BC＝

，CF＝

CE＝3

∴∠ACF＝45°

+45°

＝90°

在Rt△ACF中，由勾股定理得：

AF＝

＝

＝2

∵H是AF的中点，

∴CH＝

三．解答题

19．解：

∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，

∴AD＝BD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝BA，

∴AB＝AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠DAB＝60°

；

∵BD＝4，

∴DO＝2，AD＝4，

∴AC＝4

＝4，

∴菱形ABCD的周长为4×

4＝16；

菱形ABCD的面积为：

BD•AC＝

4×

4

＝8

20．证明：

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥DC

∴∠AEB＝∠AFD＝90°

又∵BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（AAS）

∴DA＝AB，

∴平行四边形ABCD是菱形．

21．解：

∴AC＝BD，AO＝OC，OD＝OB，∠BAD＝90°

∴OA＝OB，

∵∠BAD＝90°

，∠DAE＝2∠BAE，

∴∠BAE＝30°

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝90°

∴∠ABO＝90°

﹣30°

＝60°

∵OA＝OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠BAO＝60°

∴∠EAC＝∠BAO﹣∠BAE＝60°

＝30°

22．解：

（1）证明：

∵AD∥BC，EC＝AD，

∴四边形AECD是平行四边形．

又∵∠D＝90°

∴四边形AECD是矩形．

（2）∵AC平分∠DAB．

∴∠BAC＝∠DAC．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB．

∴∠BAC＝∠ACB．

∴BA＝BC＝5．

∵EC＝2，

∴BE＝3．

∴在Rt△ABE中，AE＝

＝4．

23．解：

△BEF是直角三角形，理由如下：

∴∠A＝∠C＝∠D＝90°

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE＝

CD＝6．

∵AF＝3DF，

∴DF＝

AD＝3．

∴AF＝3DF＝9．

在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF2＝AB2+AF2＝144+81＝225，

在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE2＝CB2+CE2＝144+36＝180，

在Rt△DEF中，由勾股定理可得EF2＝DF2+DE2＝9+36＝45，

∵BE2+EF2＝180+45＝225，BF2＝225，

∴BE2+EF2＝BF2．

∴△BEF是直角三角形．

24．

（1）证明：

∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形OCED是平行四边形，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，OD＝OC，

∴∠COD＝90°

∴四边形OCED是正方形．

（2）解：

如图，连接EO并延长，交AB于G，交CD于H，

由

（1）知：

四边形OCED是正方形，

∴CD⊥OE，

∴EG⊥AB，

∵AC＝

∴AB＝BC＝1＝GH，

Rt△DCE中，∵DE＝CE，EH⊥CD，

∴DH＝CH，

∴EH＝

CD＝0.5，

∴EG＝1+0.5＝1.5，

∴点E到边AB的距离为1.5；

1.5．

25．解：

（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，

∵正方形ABCD，

∴∠BCD＝90°

，∠ECN＝45°

∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°

，且NE＝NC，

∴四边形EMCN为正方形，

∵四边形DEFG是矩形，

∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°

∴∠DEN＝∠MEF，

又∠DNE＝∠FME＝90°

在△DEN和△FEM中，

∴△DEN≌△FEM（ASA），

∴ED＝EF，

∴矩形DEFG为正方形，

（2）CE+CG的值为定值，理由如下：

∵矩形DEFG为正方形，

∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°

∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°

∴∠ADE＝∠CDG，

在△ADE和△CDG中，

∴△ADE≌△CDG（SAS），

∴AE＝CG，

∴AC＝AE+CE＝

AB＝

＝8，

∴CE+CG＝8是定值．