指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解Word格式文档下载.docx
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8的平方根一216的4次方根一416=「2）
3若n是偶数，且a：
0则n.a没意义，即负数没有偶次方根；
40n=0n1,nN0=0；
5式子na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。
•nan二a.
4.a的n次方根的性质
一般地，若n是奇数，则nan二a；
a一0
0
r若n是偶数，则召an=a=丿
厂a
5.例题分析：
例1.求下列各式的值：
（1）3-83
（2）-102
例2•已知acb£
0,n>
1,nwN»
化简：
+?
（a+b）n.
（二）分数指数幕
12
^a^=a^a3（a>
0）
10
1.分数指数幕：
5=a^aTa0
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幕的形式
n.
如果幕的运算性质
（2）aan对分数指数幕也适用
f2、
32妙
（5>
45’
2
例如:
若a>
0，贝U
a3
=a~a2,
a7
*4扁,
•••*a2=a3
k）
'
、、、）
4
4孑=a5.
即当根式的被开方数不能被根指数整除时
规定：
（1）正数的正分数指数幕的意义是
（2）正数的负分数指数幕的意义是
，根式也可以写成分数指数幕的形式
a0,m,nN,n1；
a0,m,nN,n1.
2.分数指数幕的运算性质：
整数指数幕的运算性质对于分数指数幕也同样适用
即
（1）ara$=ar*（a>
0,r,s€Q）（2Xar）=ar[a>
0,r,审Q
rrr
3ababa0b0,Q
（1）有理数指数幕的运算性质对无理数指数幕同样适用；
（2）0的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕没意义。
3.例题分析：
例1.用分数指数幕的形式表示下列各式ao:
a2‘Ta，a3Va2，\[aJa.
例2•计算下列各式的值（式中字母都是正数）
/21、
/11、
/15、
（1）
2a3b2
-6a2b3
-
<
a6b6
）
丿
/13\8
（2）m4n"
8
例3.计算下列各式：
（1）35-.,125“4、5
（2）
（二）综合应用
例1.化简：
5xd5x5x1.
1111
例2•化简:
（x2-y2）"
（xN-丫巧.
例3.已知xxJ^3,求下列各式的值
1133
（1）x2x2；
（2）x2x2
二、指数函数
1•指数函数定义
般地，函数y=ax（a0且a=1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是
x
二a在底数a1及0：
a：
1这两种情况下的图象和性质
2.指数函数y
例1.求下列函数的定义域、值域：
（1）y=8更
当a1时，证明函数
ax1
是奇函数。
例3.设a是实数，f（x）=ax（x：
=R）,2+1
（1）试证明：
对于任意a,f（x）在R为增函数；
（2）试确定a的值，使f（x）为奇函数。
三、对数的性质
1.对数定义：
一般地，如果a（a0且a=1）的b次幕等于N,就是ab=n,那么数
b叫做a为底N的对数，记作logaN=：
b,a叫做对数的底数，N叫做真数。
即ab=N,logaN=b
a
指数式ab=N
底数
幕
指数
对数式logaN=b
对数的底数
真数
对数
1.；
在指数式中幕N>
0,•••在对数式中，真数N>
0.（负数与零没有对数）
2.-对任意a0且a=1,都有a-1•••Ioga1=:
0,同样：
logaa=1.
3.如果把ab=N中的b写成logaN,则有aIogaN=N（对数恒等式）.
3.介绍两种特殊的对数：
1常用对数：
以10作底log10N写成lgN
2自然对数：
以e作底为无理数，e=2.71828……,logeN写成Ine.
例2.
（1）计算：
log927,
32
（2）求x的值：
①log3x；
②log22〔3x•2x-1=1.
（3）求底数：
①logx3=
②Iogx2二7
4.对数的运算性质
那么
loga
（MNloga
M
logaN
loga
M,
logaM
-log
aN；
Mn=nloga
M（n
R）.
例3.计算：
如果a>
0,a=1,
M>
0,N>
0,
（1）Ig14-21g7lg7-Ig18；
3
lg243
Ig9
5.换底公式：
logaN=logmN（a>
o,a=1；
m0,m=1）logma
证明：
设logaN=x,则ax=N,
两边取以m为底的对数得：
logma=logmNxlogma=logmN,
从而得：
x=沁
logma
logaN二皿
logma
两个较为常用的推论
（1）logablogb^；
（2）logamb^nlogab（a、b0且均不为1）
m
（1）logablogba二■lgb■lga=1;
lgalgb
logambn
咛響Jlogab.lgamlgam
（1）51"
%23;
（2）log43logg2log2432.
例5.已知logi89=a,18=5,求log3645（用a,b表示）
111
例6.设3^4^6z=t1,求证：
1一11
zx2y
四、对数函数
1.对数函数的定义：
函数y=logax（a-0且a=1）叫做对数函数。
2.对数函数的性质：
（1）定义域、值域：
对数函数y=logax（a-0且a=1）的定义域为（0,=）,值域为
（2）图象：
由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数
函数图象作关于y二x的对称图形，即可获得。
同样：
也分a1与0：
a”：
1两种情况归纳，以y=log2x（图1）与y=log1x（图2）
为例。
（3）对数函数性质列表
图象
a>
0cac1
TX一1y=logaX
■
yJ
1.$
X=1
哽■'
丁
性
质
（1）定义域：
（0,咼）
（2）值域：
R
（3）过点（1,0），即当x=1时，y=0
（4）在（0,+a）上是增函数
（4）在（0,菖）上是减函数
例1.求下列函数的定义域
（1）yTogaX2；
例2.比较下列各组数中两个值的大小
（1）log23.4,log28.5；
（3）loga5.1,loga5.9.
例3.比较下列比较下列各组数中两个值的大小
（2）Iog3二,log20.8；
09
（3）1.1.,logi.i0.9,log0.70.8；
例4.已知logm4：
logn4,比较m,n的大小。
得0:
:
log4m
解：
•••叽4:
logn4,
当m1,n1时,
11
<
log4mlog4n
log4n
「•log4n：
log4m,/.mn1.
当0:
m:
1,
0n：
1时，得0,
/•log4n：
log4m,「O：
n：
m：
1.
当0：
1,n1时，得log4m<
0,0：
log4n,
•••0：
m1,n1,「Om1n.
综上所述,m,n的大小关系为m•n•1或0：
n:
m1或0：
1：
n.
例5.求下列函数的值域
（（3）yToga（x-4x7）（a0且a=1）
例6.判断函数f（x）=log2C-x2•1-x）的奇偶性。
例7.求函数y=2logi（x-3x2）的单调区间。
指数函数和对数函数单元测试
选择题
i•如果log5•i,那么a、b间的关系是
【】
A0：
a:
b1B1■abCO:
ba1D1：
ba
2.已知0*a1,b"
一1，则函数y二ax•b的图象必定不经过【】
A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限
3.与函数y=x有相同图象的一个函数是【】
/2logax
ay=\xby二a（a0，且a=o）
_2,x
cy=x/xdy=logaa（ao，且a=o）
4.函数y=|log2x|的图象是
5•已知函数y=：
loga（2—ax）在（-1,1）上是x的减函数，则a的取值范围是
A（0,2）B（1,2）C（1,2]D[2,：
）
6.已知函数f（x）=logi（2-log2X）的值域是（一：
0）,则它的定义域是【】
A{x|x：
2}B{x|0：
x：
2}C{x|0：
4}D{x|2：
4}
7•已知函数f（x）=log°
.5（x-ax+3a）在区间[2,畑）是减函数，贝U实数a的取值范围
A
E-
F=
BE二F
C
EF
DE二F
11.
已知
logib
log3a:
logic，则
A.
2b
2a
2cB.2a
2b2c
C.2c
2b2aD.2
12.
函
数f（
+l
的g定（义
义域为F,则【
】
c
（
A.（
1:
3,）
b（3,1）c.
e1,
33）
是【】
A（-：
，4]
B[4,：
）C
（-4,4]
D[-4,4]
3x1
8.设3=7，贝y
A.-2<
x<
—1
B.—3<
—2
C.—1<
D.0<
9.函数f（x）二lg（x
■3x2）的定义域为
e,函数g（x）
=lg（x-1）Tg（x-2）的定
填空题
13.计算：
（1）」-4（-2）"
（》°
-9立=.
14.y=Jiogi（3x_2）的定义域是。
15.方程|og3（2x—〔）=1的解x=
16.若函数f（x）=ax（a：
＞0,且a^1）的的图像过点（—1,2），则a=
三解答题
17.求下列函数的定义域和值域
2x1
（1）f（X）=log'
4x-x2）
（2）f（x）=3x—1
18.求下列函数的单调区间
f（x）二log3
（1）f（x）=
（2）2
19.已知函数f（x）二loga（a—1）（0：
1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性。
20.已知x2•X2=3,
33
x2x_22
求1的值.
xx3
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