重庆名校高中 数学正态分布专题训练Word格式.docx

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题点　正态分布的实际应用

答案　D

解析　由X～N（0,1）知，P（－1＜X≤1）＝0.6826，

∴P（0≤X≤1）＝

×

0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.

∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为

＝

，∴x＝10000×

0.3413＝3413，故选D.

5．设X～N（μ1，σ

），Y～N（μ2，σ

），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（　　）

A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）

C．对任意正数t，P（X≤t）>

P（Y≤t）D．对任意正数t，P（X≥t）>

P（Y≥t）

6．如果正态总体的数据落在（－3，－1）内的概率和落在（3,5）内的概率相等，那么这个正态总体的均值是（　　）

A．0B．1C．2D．3

7．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X～N（110,52），据此估计，大约应有57人的分数在区间（　　）

A．（90,110]B．（95,125]

C．（100,120]D．（105,115]

8．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N（98,100）．已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（　　）

A．1500名B．1700名

C．4500名D．8000名

二、填空题

9．已知随机变量X服从正态分布N（a,4），且P（X≤1）＝0.5，则实数a的值为．

10．设随机变量X～N（4，σ2），且P（4<

X<

8）＝0.3，则P（X<

0）＝.

11．某正态分布密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为

，则总体落入区间（0,2]内的概率为．

三、解答题

12．已知随机变量X～N（μ，σ2），且其正态曲线在（－∞，80）上是增函数，在（80，＋∞）上为减函数，且P（72<

X≤88）＝0.6826.

（1）求参数μ，σ的值；

（2）求P（64＜X≤72）．

13．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X（分钟）服从正态分布N（5,1）；

第二条路线较长不拥挤，X服从正态分布N（6,0.16）．若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？

若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？

四、探究与拓展

14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X（kg）服从正态分布N（μ，22），

且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况，则这1000名男生中属于正常情况的人数约为．

15．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图．

（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数

和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数

，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P（187.8<

Z≤212.2）；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2]的产品件数，利用①的结果，求E（X）．

（附：

≈12.2）

重庆名校高中数学正态分布专题训练答案

考点　正态分布的概念及性质

题点　求正态分布的均值或方差

答案　B

解析　由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.

题点　正态分布下的概率计算

答案　A

解析　∵随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），∴μ＝2，

∵P（ξ≤4）＝0.84，

∴P（ξ≥4）＝1－0.84＝0.16，

∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥4）＝0.16.

解析　由正态分布的概率公式，知P（－3<

ξ≤3）＝0.6826，P（－6<

ξ≤6）＝0.9544，

故P（3<

ξ≤6）＝

＝0.1359＝13.59%，故选B.

A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）

B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）

P（Y≤t）

D．对任意正数t，P（X≥t）>

考点　正态分布密度函数的概念

题点　正态曲线

答案　C

解析　由题图可知μ1<

0<

μ2，σ1<

σ2，

∴P（Y≥μ2）<

P（Y≥μ1），故A错；

P（X≤σ2）>

P（X≤σ1），故B错；

当t为任意正数时，由题图可知P（X≤t）>

P（Y≤t），

而P（X≤t）＝1－P（X≥t），P（Y≤t）＝1－P（Y≥t），

∴P（X≥t）<

P（Y≥t），故C正确，D错．

解析　正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，区间（－3，－1）和（3,5）的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义就是均值，而区间（－3，－1）和（3,5）关于x＝1对称，所以正态总体的均值是1.

解析　∵X～N（110,52），∴μ＝110，σ＝5.

因此考试成绩在区间（105,115]，（100,120]，（95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×

0.6826≈41,60×

0.9544≈57,60×

0.9974≈60.

解析　因为理科生的数学成绩X服从正态分布N（98,100），所以P（X≥108）＝

[1－P（88<

X≤108）]＝

[1－P（μ－σ<

X≤μ＋σ）]＝

（1－0.6826）＝0.1587，所以0.1587×

9450≈1500，故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名．

答案　1

解析　∵X服从正态分布N（a,4），∴正态曲线关于直线x＝a对称，又P（X≤1）＝0.5，故a＝1.

答案　0.2

解析　概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.

答案　0.4772

解析　正态分布密度函数是f（x）＝

，x∈（－∞，＋∞），若它是偶函数，则μ＝0，

∵f（x）的最大值为f（μ）＝

，∴σ＝1，

∴P（0<

X≤2）＝

P（－2<

P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）＝

0.9544＝0.4772.

解　

（1）由于正态曲线在（－∞，80）上是增函数，

在（80，＋∞）上是减函数，

所以正态曲线关于直线x＝80对称，即参数μ＝80.

又P（72<

结合P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.6826，可知σ＝8.

（2）因为P（μ－2σ<

X≤μ＋2σ）

＝P（64<

X≤96）

＝0.9544.

又因为P（X≤64）＝P（X>

96），

所以P（X≤64）＝

（1－0.9544）

0.0456＝0.0228.

所以P（X>

64）＝0.9772.

又P（X≤72）＝

[1－P（72<

X≤88）]

（1－0.6826）＝0.1587，

72）＝0.8413，

P（64<

X≤72）

＝P（X>

64）－P（X>

72）

＝0.1359.

解　还有7分钟时：

若选第一条路线，即X～N（5,1），能及时到达的概率

P1＝P（X≤7）

＝P（X≤5）＋P（5<

X≤7）

＋

X≤μ＋2σ）．

若选第二条路线，即X～N（6,0.16），能及时到达的概率

P2＝P（X≤7）

＝P（X≤6）＋P（6<

P（μ－2.5σ<

X≤μ＋2.5σ）．

因为P1<

P2，所以应选第二条路线．

同理，还有6.5分钟时，应选第一条路线．

答案　683

解析　依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P（58.5<

X≤62.5）＝P（μ－σ<

X≤μ＋σ）＝0.6826，从而属于正常情况的人数为1000×

0.6826≈683.

题点　正态分布的综合应用

解　

（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数

和样本方差s2分别为

＝170×

0.02＋180×

0.09＋190×

0.22＋200×

0.33＋210×

0.24＋220×

0.08＋230×

0.02＝200，

s2＝（－30）2×

0.02＋（－20）2×

0.09＋（－10）2×

0.22＋0×

0.33＋102×

0.24＋202×

0.08＋302×

0.02＝150.

（2）①由

（1）知，Z～N（200,150），

从而P（187.8<

Z≤212.2）＝P（200－12.2<

Z≤200＋12.2）＝0.6826.

②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2]的概率为0.6826，依题意知X～B（100,0.6826），

所以E（X）＝100×

0.6826＝68.26.