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互斥事件有一个发生的概率1
互斥事件有一个发生的概率
人教版高中数学必修系列：
11.2
一、参考例题
［例1］判断下列事件是否是互斥事件.
将一枚硬币连抛2次，设事件A：
“两次出现正面”，事件B：
“只有一次正面”；
对敌机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A：
“两次都击中敌机”,
事件B：
“至少有一次击中敌机”.
分析：
中两事件不可能同时发生;
因为事件B中的结果中含有“两次都击中敌机”，所以事件A、B有可能同时发生.
解：
事件A与B是互斥事件.
事件A与B不是互斥事件.
评述：
关键在于判断事件的结果是否有包容关系.
［例2］在一个袋内装有均匀红球5只，黑球4只，白球2只，绿球1只，今从袋中任意摸取一球，计算：
摸出红球或黑球的概率.
摸出红球或黑球或白球的概率.
分析：
设事件A：
“摸出一球是红球”，事件B：
“摸出一球是黑球”.
因为事件A与B不可能同时发生，所以它们是互斥的.
设事件c：
“摸出一球是白球”，则A、B、c彼此互斥.
解：
设事件A：
“摸出一球是红球”，设事件B：
“摸出一球是黑球”，设事件c：
“摸出一球是白球”.
∵A与B、B与c、c与A两两互斥,
且P=，P=，P=,
∴由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球”的概率为
P=P+P=.
由互斥事件的概率加法公式，可知“摸出红球或黑球或白球”的概率为
P=P+P+P=.
［例3］某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下.
医生人数012345人以上
概率0.10.160.30.40.20.04
求：
派出医生至多2人的概率；
派出医生至少2人的概率.
分析：
设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件c，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名以上医生”为事件F，则有P=0.1，P=0.16，P=0.3，P=0.4，P=0.2，P=0.04.由于事件A、B、c、D、E、F彼此互斥，因此，、中的概率可求.
解：
设事件A：
“不派出医生”，事件B：
“派出1名医生”，事件c：
“派出2名医生”，事件D：
“派出3名医生”，事件E：
“派出4名医生”，事件F：
“派出5名以上医生”.
∵事件A、B、c、D、E、F彼此互斥，且=0.1,P=0.16,P=0.3,P=0.4,
P=0.2,P=0.04,
∴“派出医生至多2人”的概率为
P=P+P+P=0.1+0.16+0.3=0.56,
“派出医生至少2人”的概率为
P=P+P+P+P=0.3+0.4+0.2+0.04=0.94.
［例4］一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽取2件，求其中出现次品的概率.
分析：
由于从这批产品中任意取2件，出现次品可看成是两个互斥事件A：
“出现一个次品”和事件B：
“出现两个次品”中，有一个发生，故根据互斥事件的概率加法公式可求“出现次品”的概率.
解：
设事件A：
“出现一个次品”,
事件B：
“出现两个次品”,
∴事件A与B互斥.
∵“出现次品”是事件A和B中有一个发生,
∴P==,
P=.
∴所求的“出现次品”的概率为
P=P+P=.
评述：
注意对互斥事件概率加法公式的灵活运用.
二、参考练习
选择题
有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名,则恰好是2名男生或2名女生的概率为
A.B.
c.D.
答案：
D
一个口袋内装有大小相同的7个白球，3个黑球，5个红球，从中任取1球是白球或黑球的概率为
A.B.
c.D.
答案：
B
某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般的情况下，出现一等品的概率为95%,出现二等品的概率为3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率为
A.0.50B.0.98
c.0.97D.0.2
答案：
B
从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件，其中为互斥事件的是
①恰有一个奇数和恰有一个偶数②至少有一个是奇数和两个数都是奇数③至少有一个是奇数和两个数都是偶数④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数
A.①B.②④
c.③D.①③
答案：
c
填空题
若事件A与B________，则称事件A与B是互斥的；若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P=________.
答案：
不可能同时发生P+P+…+P
甲、乙两人下棋，两个下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙输的概率是________.
答案：
口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是________.
答案：
0.32
人都以相同概率分配到4个单位中的每一个，则至少有2人被分配到一个单位的概率为________.
答案：
解答题
某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
年降水量［１００，１５０］［１５０，２００］［２００，２５０］［２５０，３００］
概率0.100.250.200.12
求：
①降水量在［２００，３００］范围内的概率；
②降水量在［１００，２５０］范围内的概率.
解：
①P=0.20+0.12=0.32，
∴降水量在［２００，３００］范围内的概率为0.32.
②P=0.10+0.25+0.20=0.55,
∴降水量在［１００，２５０］范围内的概率为0.55.
从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率.
分析：
“2个球颜色相同”这一事件包括“2个球是红球”“2个球是白球”“2个球是黄球”3种结果.
解：
记“取出2个球为红球”为事件A,
“取出2个球为白球”为事件B,
“取出2个球为黄球”为事件c,
则A、B、c彼此互斥,
且P=,
P=,
P=.
“2个球颜色相同”则可记为A+B+c,
∴P=P+P+P=.
有币按面值分类如下：
壹分5枚，贰分3枚，伍分2枚，从中随机抽取3枚，试计算：
①至少有2枚币值相同的概率；
②3枚币值的和为7分的概率.
分析：
①至少有2枚币值相同包括恰好有2枚币值相同和3枚币值全相同2种情况;
②3枚币值的和为7分包括“1枚伍分，2枚壹分”1种情况.
解：
①由题意可设“任取3枚币值各不相同”为事件A，则“至少有2枚币值相同”为事件.
又∵P=,
∴P=1-.
②设“3枚币值和为7分”为事件B,则P=.
评述：
要注意认真分析题意，灵活应用对立事件的概率公式.
●备课资料
一、参考例题
［例1］抛掷一个均匀的正方体玩具，记事件A“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，c为事件“落地时向上的数是3的倍数”，问下列事件是不是互斥事件，是不是对立事件？
A与B;A与c;B与c.
分析：
利用互斥事件与对立事件的概念.
解：
∵事件A与事件B不可能同时发生，而且在试验中必有一个发生,
∴事件A与B是互斥事件，也是对立事件.
∵事件A与c都可能含有同一结果“落地时向上的数为3”，故A与c可能同时发生.
∴A与c不是互斥事件，因而也不是对立事件.
∵事件B与c都可能含有同一结果“落地时向上的数为6”，故B与c可能同时发生.
∴B与c不是互斥事件.故也不是对立事件.
［例2］某射手在一次射击中射中10环、9环、8环的概率分别为0.24、0.28、0.19，计算这一射手在一次射击中，不够8环的概率.
分析：
由于事件“射击击中不够8环”与事件“射击击中8环或8环以上”是相互对立事件，而后者的概率运用互斥事件中有一个发生的概率公式可求，因此利用对立事件的概率公式可求解.
解：
设事件A：
“一次射击击中的不够8环”，事件B：
“一次射击击中8环或8环以上”，
∴事件A与B是互斥事件.
∵事件A与B中必有一个发生,
∴事件A与B又是对立事件.
∴P=1-P.
∴P=0.24+0.28+0.19=0.71.
∴P=1-0.71=0.29.
∴该射手在一次射击中不够8环的概率为0.29.
评述：
注意利用互斥事件中有一个发生的概率公式及对立事件的概率公式.
［例3］有三个人，每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，试求：
三人都分配到同一个房间的概率；
至少有两人分配到同一房间的概率.
分析：
因为每人都以相同概率被分配到四个房间中的每一间，所以三人被分配到四个房间中的一间共有4×4×4=43种等可能性的结果出现，而事件“三人都分配到同一个房间”中含有4个结果，故根据等可能性的概率公式可求.
设事件A“至少有两人分配到同一房间”,
事件B“三人都分配到不同的房间”,
故事件A与B是对立事件.而P=,
因此，利用对立事件的概率关系可求P.
解：
根据等可能事件的概率公式,得三人都分配到同一个房间的概率为
P=.
∴三人都分配到同一房间的概率为.
设事件A“至少有两人分配到同一房间”，事件B“三人都分配到不同的房间”.
∵事件A与B是对立事件，且P=,
∴P=1-.
∴至少有两人分配到同一房间的概率为.
［例4］某电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任意取3个，试求至少有一个二级品的概率.
分析：
设事件A：
“至少有一个二级品”，则事件A是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，因而，可用互斥事件的概率加法公式计算.另外，事件A与事件“没有一个二级品”是对立事件，故利用对立事件的概率公式也可求解，且比较简便.
解法一：
设事件A：
“至少有一个二级品”，它是指事件“有一个二级品”“有两个二级品”“有三个二级品”中有一个发生，由于上述三个事件是互斥的，
∴P=≈0.276.
解法二：
事件A与“没有一个二级品”是对立事件，而事件“没有一个二级品”的概率为,
∴P=1-≈0.276.
∴至少有一个二级品的概率约为0.276.
［例5］某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去校院开会，其中至少有1名女生的概率为多少？
分析：
设事件“至少有1名女生”为A，则事件A可看成是事件“有一名女生”“有两名女生”中有一个发生.而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P可利用互斥事件概率加法公式求得.另外事件A与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率P=.
解法一：
P=.
解法二：
P=1-P=1-=,
∴至少有1名女生的概率是.
二、参考练习
选择题
下列命题中，真命题的个数是
①将一枚硬币抛两次，设事件A：
“两次出现正面”，事件B：
“只有一次出现反面”，则事件A与B是对立事件②若事件A与B为对立事件，则事件A与B为互斥事件③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B为对立事件④若事件A与B为对立事件，则事件A+B为必然事
A.1B.2
c.3D.4
答案：
B
袋中装白球和黑球各3个，从中任取2球，则至多有1黑球的概率是
A.B.
c.D.
答案：
B
填空题
在10件产品中有8件一级品，2件二级品，现从中任选3件，设事件A：
“所取的都是一级品”，则事件表示为________.
答案：
所取的不都是一级品
口袋内有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.3,摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是________.
答案：
0.2
解答题
某班有学生50名，其中班干部5名，现从中选出2名作为学生代表，求：
①选出的2名学生至少有1名是班干部的概率;
②选出的2名学生中没有班干部的概率.
解：
①P=1-.
②P=.
有红、黄、蓝三种颜色的信号旗各1面，按不同次序排列可组成不同的信号，并且可以用1面旗、2面旗或3面旗组成信号，求：
①组成的信号是由1面或2面信号旗组成的概率;
②组成的信号不是由1面信号旗组成的概率.
解：
①P==;
②P=1-.
某班共有学生n个人，若一年以365天计算，列式表示至少有2人在同一天过生日的概率.
解：
记“至少有2人在同一天生日”为事件A，则“没有人在同一天生日”为事件A的对立事件，即.∵P=,
∴P=1-.
某单位的36人的血型分别是：
A型的有12人，B型的有10人，AB型的有8人，o型的有6人，如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有不同的血型的概率是多少？
解：
记“两个人具有不同血型”为事件A，则“两个人血型相同”为事件A的对立事件，即，且“两个人为A型血”“两个人为B型血”“两个人为AB型血”“两个人为o型血”为彼此互斥事件，这些互斥事件只要有一个发生，则发生，而
P=,
∴P=1-P=1-.
一个袋内装有3个红球，n个白球，从中任取2个，已知取出的球至少有一个是白球的概率是，求n的值.
解：
记“至少有一个是白球”为事件A，则“任取2球，全是红球”是事件A的对立事件，即.
又∵P=,
由对立事件的概率公式P+P=1，得P=1-=,
即n2+5n-204=0.
解得n=12.
评述：
对于带有词语“至多”“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式可转化为求其对立事件的概率.
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