高考数学试题分析暨届高三复习建议.docx
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高考数学试题分析暨届高三复习建议
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2004年高考数学试题分析暨2005届高三复习建议
Ⅰ.2004年高考数学试题评析
1.总体情况
2004年天津市首次实行自主命题：
文科数学（必修+选修I），理科数学（必修+选修II），两份试卷整体保持了优化的格局，在稳定中创新，选择题、填空题、解答题的数量及分值与往年相同，符合数学学科的特点。
试卷在对数学基础知识全面考查的同时，又不刻意知识的全面覆盖，突出了对支撑数学学科知识体系的重点知识进行重点考查。
2.主要考查的知识点分布
2004年数学试题知识分布表对照表
3.基本特点
—紧扣考试大纲，按考试大纲的命题原则，考试内容与考试要求命制考题；
—突出以能力立意，注重考查数学思想，促进数学理性思维能力发展的命题指导思想；
—降低了难度要求，体现平稳之中选拔人才的原则；
—加强了基础知识的考查，特别是对重点知识的重点考查；倡导通性通法;
—重视数学知识的多元联系，全面,综合测试基础知识,在知识点的交汇处作为试题设计的起点，借以全面考查考生的全面素质和综合能力；
—涌现了一批研究型，开放型的新题型的试题，这些试题对考查创新意识以及创新思维能力的培养起到了促进作用；
—关注数学特点，把不变性，存在性，充要性，唯一性等融入试题；
—强调应用意识，考查实践能力，对应用题的考查坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则；
—新课程试卷，加大了新增知识的考查力度，注重了新旧知识的结合.
今年的数学试卷中知识涵盖基本合理，有利于高校选拔人才，有利于中学数学教学，数学试卷有如下几个突出特点：
（1）整个数学试卷降低了难度。
与去年相比，今年理科数学试卷降低了难度，首先是12个选择题均较平和，易于下手，得分较去年提高，4个填空题中无太难的题和太繁的计算，得分较去年平均高3.6分，提高了50%，6个解答题由易到难，且每个解答题都是两~三个小问，分散了难点，入手容易，即使不会全作，也能解答一部分。
这样的试卷对大多数考生有利，也能较真实的考查出考生的水平。
（2）试卷突出了高中新教材的特点。
今年数学试卷对数学新教材中所增加的部份如向量、概率、导数等内容继续进行重点考查。
理科试卷中有40分的题，文科试卷中有29分的题是新教材中增加的内容，今年试卷中还按照新课标的要求，降低了对复数部份的考查，只在理科试卷中一个5分的选择题考了复数，有利于将来高中数学新课程标准的贯彻执行。
（3）数学试卷继续注意了“以能力立意”。
以思维为核心，注意通法的考查，淡化了特殊的技巧。
如今年理科数学试卷第18题既考查了考生对一个概率问题的分析解决能力、又考查了考生应用问题的模式构建能力，还考查了考生的阅读理解及分类讨论的能力。
文、理科数学试卷第20题为立体几何题，考查了学生空间想象能力和推理运算能力，解法灵活多样；理科试卷第22题将向量与解析几何有机地结合在一起；考查椭圆的性质、直线与椭圆的关系，将数学知识的考查与数学思想方法的考查结合在一起，多角度、多层次全面考查学生的综合数学素质。
利用函数的导数来研究函数的性质是新教材注入中学数学的又一亮点。
文、理科数学试卷中分别有一个解答题，考查导数的概念和计算及应用导数研究函数单调性、极值的基本方法，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。
今年数学试卷题不足之处是选择题中容易题过多；解答题设问过多；
Ⅱ.2005届高考备考复习建议
一、重视对《考试大纲》的研究，并结合对近年高考题的认真分析，深化对高考题的认识，明确考试要求
（一）《2005年数学考试大纲》的修订情况
考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求。
1．知识要求
知识是指《全日制高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法。
对知识的要求由低到高分为3个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。
（1）了解：
要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用。
（2）理解和掌握：
要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题。
（3）灵活和综合运用：
要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。
2．能力要求
能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。
（1）思维能力：
会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用演绎、归纳和类比进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。
（2）运算能力：
会根据法则、公式进行正确运算、变形和处理数据；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
（3）空间想象能力：
能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
（4）实践能力：
能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。
（5）创新意识：
对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。
3．个性品质要求
个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观。
具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。
要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。
（二）近几年数学高考试题的设计创新
数学科的考试在命题实践中，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，在试题命制和试卷结构中进行了新的创新设计。
注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，增加应用性和能力型的试题，融知识、方法、思想、能力于一体，全面检测考生的数学素养。
注重展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，发挥数学科考试的区分选拔功能和对中学数学教学的积极的导向作用。
1．重新认识数学知识的考查价值
数学知识是命题处理的对象，更是进行其他考查的基础和载体，随着数学教育改革的发展，数学科高考对基础知识进行了重新的认识和定位。
在新课程试卷的命制中强调基础的更新，减少对单纯知识、公式的记忆要求，降低对运算复杂性、技巧性的要求。
如三角函数公式记忆，指数、对数、幂计算的要求，复数的概念和计算等。
知识的作用的重新定位，就是将评价的内容更多地指向有价值的数学任务和数学活动，将纯粹的数学运算被置于问题解决的过程之中。
运用这些知识载体，不但考查学生的数学知识，而且获得理性思维的培育和美感的熏陶。
发挥知识的整体功能。
实行标准化考试的前几年对扩大覆盖中学数学知识点的刻意追求有积极意义，但因为比较注重对单个知识点的考查，不利于真实反映考生掌握知识的整体水平。
现代脑科学研究表明，人脑系统是非加和性的，不能把系统简单地视为其构成部分的迭加，这意味着通过把各知识点和能力点的测试结果迭加起来作为对人的知识和能力整体功能的衡量并不科学。
有的学生对各个知识点的学习都比较完整，但解决问题，特别是解决综合性问题的能力较差，原因在于其知识的整体系统的结构不合理，较低层次的知识点和能力难以组成较高层次的功能系统，各知识点和能力在系统中不能形成耦合和互补的关系，因而一旦解决问题受阻，就无法另辟蹊径。
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系。
要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试题的结构框架。
对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学试题的主体。
注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。
从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考查达到必要的深度。
在具体的情境中，在解决问题的全过程中，考查学生理解概念的水平和运用技能的程度。
对概念、公式、法则的考查更多地关注对知识系统的意义，结合具体的材料对其实际内容的理解和在理解基础上的应用。
能够在几个概念之间比较它们的异同，认识不同概念所对应的不同的解释，能够将概念从文字表述转换成符号的、图形的表述，培养和考查数学交流能力。
2．考查理性思维，揭示数学本质
现代的高校数学教育，其意义不仅仅是学习一种专业的工具，更是一种人的理性的思维品格和思辨能力的培育，是聪明智慧的启迪，是潜在能动性和创造性的开发，其价值远非传统的数学教育观所能相提并论的。
高考数学命题融入教育改革的理念，努力发挥数学科本身的特点，拓宽题材，多样化，宽角度、多视点地考查数学素养；有层次地考查数学理性思维，特别是通过解题过程对思维能力进行深入的考查。
高考数学科提出“以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生数学理性思维的发展。
因此，要加强如何更好地考查数学思想的研究，特别是要研究试题解题过程的思维方法，注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配，使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查。
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。
因此，对于数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。
考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。
3．加强创新意识考查，实现选拔功能
高考对创新意识的考查，主要是要求考生不仅仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖的问题。
数学教育的目的不单单是让学生掌握一些知识，也不是把每个人都培养成数学家，而是把数学作为材料和工具，通过数学的学习和训练，在知识和方法的应用中提高综合能力和基本素质，形成科学的世界观和方法论。
因此，高考对创新意识的考查其意义已超出了数学学习，对提高学习和工作能力，对今后的人生都有重要的意义。
具有创新性质的思维活动在解题中表现为：
（1）能从题目的条件中提取有用的信息，从题目的求解（或求证）中确定所需要的信息；
（2）能在记忆系统里储存的数学信息中提取有关的信息，作为解决本题的依据，推动
（1）中信息的延伸；
（3）将
（1），
（2）中获得的信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻找正反两个方向的知识“衔接点”——一个固有的或确定的数学关系；
（4）将（3）中的思维过程整理，形成一个从条件到结论的行动序列。
高考中对创新意识的考查要求考生能够将能力要素进行有机地组合。
能力要素的有机组合首先是各种能力的综合，但又不是所有能力要素的综合，是解题所需的能力要素的组合。
提取题目的信息和储存的知识信息是认识事物的开始，要将这些信息联系起来，进行加工、组合，主要是通过分析和综合。
分析即了解事物的状态、性质、特点、本身的意义、发生和发展的过程、与其他事物的关系，还包括预测事物的发展趋势，因此是主体对客体客观的反应。
而解决问题则是主体的行为，能动地按照主体的意志改造客观世界，实现主体的意志，达到主客体在新的基础上的统一。
因此它包括观察能力和记忆能力，还包括其他一些能力的综合运用。
虽然数学是一个演绎的知识系统，并且演绎推理是数学学习和研究的重要方法，但从数学的发展来看，“观察、猜测、抽象、概括、证实”是发现问题和解决问题的一个重要途径，是学生应该学习和掌握的，是数学教育不能忽视的一个方面。
数学活动不但强调演绎和化归的思维方式，不仅是一种纯逻辑的过程,而且还要借助于直觉经验和具体模型。
数学的一个更重要的特征，就是不同层次的创造活动的源泉。
在高考中要求考生应用已知的知识和方法，分析一些情况和特点，找出已知和未知的联系，组织若干已有的规则，形成新的高级规则，尝试解决新的问题，这其中蕴含了创造性思维的意义。
命题时应注意创设一些新的情境，考查考生自己探索解题途径、解决问题的能力。
当然这种情境是命题人员根据考试目标和学科特点，将各种知识有机综合后创设的。
对教师和命题人员不是新颖的，但对第一次遇到的考生就是新颖的。
要求考生自己观察分析，创造性地综合应用知识，灵活、敏捷地解决问题。
这些都体现了考生在数学科的素质和能力差别，从而实现数学科考试的选拔功能。
高考对创新意识的考查必须控制在一定的范围和层次上，以避免脱离当前的教学实际。
首先，所设计的试题应是能使用中学数学知识和高中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关问题。
其次，问题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客体的展示，也就是说，考查时所提出的问题，通常已进行过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前，要求考生读懂、看懂。
因此，对阅读、理解数学材料的能力有较高的要求。
4．创设开放情境，强化探究能力考查
以多元化、多途径、开放式的设问背景，能比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，对于激发学生探索精神、求异创新思维等有着积极的意义。
试题面向每一个学生的个性发展，关注学生在活动过程中所产生的丰富多彩的学习体验和个性化的创造性表现，其评价标准具有多元性。
在传统内容的考查中推陈出新，设计出新颖别致的试题，使活动过程与结果均具有开放性。
对能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料。
对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同的情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度，以及进一步学习的潜能。
命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目，反映数、形运动变化的题目，研究型、探索型或开放型的题目。
让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具，梳理解题程序，为考生展现其创新意识和发挥创造能力创设广阔的空间。
5．以社会现实问题为设计框架，关注学生整体发展
实践能力在考试中表现为解答应用问题，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。
命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，要切合我国中学数学教学的实际。
让数学应用问题的难度更加符合考生的水平，引导考生自觉地置身于现实社会的大环境中，关心自己身边的数学问题，促使学生在学习和实践中形成和发展数学应用的意识。
在应用题的命制时，对试卷进行整体性设计。
主题的范围包括学生本人、社会生活和自然世界。
对主题的探究体现个人、社会、自然的内在整合，体现科学、艺术、道德的内在整合。
体现人与自然的协调发展、社会经济发展与环境保护协调的以人为本的社会发展战略。
有助于学生了解社会，关心社会，形成健全的人格。
6．尊重学生个性，坚持多元化评价标准，贯彻发展性评价的理念
修订的《考试大纲》明确提出了对考生个性品质的要求，要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。
数学科高考要求考生具有一定的数学视野和数学观念，在处理实际问题时能够自觉地用数学的观点和方式去思考，知道数学可以应用在什么情境下，能够用数学的语言和方法去表达、处理日常的问题。
数学气质，如从事数学活动时的自信心，发掘数学思想的灵活性，欣赏数学的美学与应用价值，能够兴趣饱满地、有创造力地做数学，在复杂的问题情境中发现隐含的数学关系以及对数学理论和研究的洞察力等。
高考作为选拔性考试，其研究的重点是评价与考生个体的发展的关系。
评价体现以人为本的设计思想，促进个体的思维的发展；评价应关注在强调共性的同时，考虑“个性的全面发展”，尊重学生的兴趣爱好，发挥自己的特长，培养一般的能力和素质，实现个人的需要。
学生在学习过程中有着丰富多彩的学习经验和个性化的创造表现，其评价标准也具有多样性，带有学科倾向的知识与能力，在这种观念下，数学的学科能力不再作为数学课程的主要目标，特别是那些带有太多专业特征的数学解题技巧和数学中特有的思想方法不再是对所有人的要求。
与数学的学科能力相比，更重要的是一般的素质和能力。
高考命题在发挥考试的甄选作用的同时，考虑文理科考生在知识水平、思维方式和思维习惯的差异，根据各自的特点，为文理科考生分别取材，提供新颖、别致的场景和刺激材料，区别对待，体现尊重个性、尊重差异的思想。
（三）新课程增加内容考试要求说明
同旧课程相比，新课程的高考中增加了微积分、概率、向量等新内容，这些内容都是现代数学重要的基础知识，蕴含着丰富的数学思想方法和数学语言，提供了应用广泛的有效的数学工具，是当代数学基础教育的组成部分。
在高考新课程卷中，处理这些新内容的基本取向，首先是试卷尽量覆盖这些新增加的内容；其次，难度控制与中学教改的逐步深化同步，逐步提高要求；第三，命题时注意体现这些新的数学内容在解题中的独特的功能，力图有助于促进课程改革的健康发展。
（1）导数
中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。
增加这部分内容，可以加强对考生的辩证思维的教育，使考生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识；同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式。
有关导数的内容在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深。
考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，在导数的考查过程中力求结合应用问题的考查，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。
文科试卷中题目涉及的知识比较基本，多项式函数的导数，题目的总体难度也不大。
这部分的要求一般有三个层次，第一层次是主要考查导数的概念、求导的公式和求导的法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合试题。
通过将新课程内容和传统内容相结合，可以加强能力考查的力度，加强试题的综合性，同时可以使试题具有比较广泛的实际意义。
它体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材的方法是无法解决的。
同时，新课程增加的新内容的考查形式和要求已经发生变化，导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
这种试题编排的调整和试题创新设计不仅优化试卷结构，同时体现了新课程试卷的要求和特点。
（2）概率与统计
根据中学数学教学大纲的要求，有关概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分，其中必修部分包括：
随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件的概率，独立重复试验等。
在选修部分分为文科、理科两种要求，选修Ⅰ为文科的要求，只含统计的内容，包括：
抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计。
选修Ⅱ为理科的要求，包括：
离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等。
在高考试卷中，概率和统计的内容每年都有所涉及，解答题一般以必修部分的概率内容为主，文理科试题相同。
选修内容以小题考查，体现文理科要求的差异。
几种古典概型的概念及其计算是高中新课程概率部分的必修内容，试题设计比较基本，注重考查灵活应用“相互独立事件的概率乘法”、“互斥事件的概率的加法”或“先求事件的对立事件的概率”等基础知识处理问题，从而考查考生的思维能力和运算能力。
高考在选修部分的命题中，努力体现文理科内容上的不同的要求和不同要求的水平。
文科试卷集中在抽样方法、总体分布的估计、总体期望值和方差的估计。
理科试卷则集中在离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望值和方差等。
简单随机抽样，当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更能充分反映总体的情况，就将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这样的抽样就叫分层抽样，而其中所分成的各部分叫做层。
分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的共同特点是，它们都是等概率抽样，保证了抽样的公平性。
试题考查数理统计中分层抽样的方法在生产和生活中的应用以及简单的计算技能。
考查离散型随机变量的概率分布的基础知识和基本计算。
要求考生能够识别题中提出的随机变量服从什么分布，并应用相关公式，求出其分布列。
概率与统计部分作为新增加的内容，其思考方法和解题的要求与以往的确定性和连续型模型有所不同。
但是，如果把必然事件和不可能事件看作概率为1和概率为0的随机事件的两个极端情况，则又可以统一起来，因此随机事件及其概率就反映了事物间既对立又统一的关系。
所以学习必然事件和随机事件的规律，解决随机问题所要求的数学能力是相同的。
随机试验是概率统计的一个基础性概念，要解决概率统计的问题，就必须认真分析随机试验，了解其样本空间，正确地建立概率模型，确定有关的随机事件或随机变量，分析事件的结构或随机变量的分布，进行推证和计算。
概率和统计中的一些基本概念是解决问题的基础，必须牢固掌握，例如随机试验及样本空间、随机试验的概率、随机事件的相互独立性、随机变量及其分布、随机变量的相互独立性、随机变量的数字特征、总体及样本、统计量及其分布等。
很显然，不能正确地分析随机试验就不能建立正确的概率模型，也就无法进行有关的概率计算；不了解一个随机变量的分布类型，就无法写出它的分布列；不知道数学期望和方差的定义、性质及计算公式，就无法算得它们。
系统而熟练地掌握这些概念和解决问题的方法是十分重要的，在解决古典概型问题时，排列、组合知识和方法在其中发挥中重要的作用。
（3）向量
向量由于具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。
由于平面向量作为一种有向线段本身就是直线上的一段，其向量的坐标可用其起点、终点的坐标表示，因此向量与平面解析几何，特别是其中直线部分保持着天然的联系。
而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，是一种重要的解决问题的手段和方法。
向量的坐标表示是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示以后，即可使向量运算代数化，将数与形紧密地结合起来，很多几何问题的证明可以转化为数量的运算，向量是数学中解决几何问题的有效工具之一。
中学课程中向量分为平面向量和空间向量两部分内容，高考中也是分这两部分内容分别命题的。
一般在平面向量部分利用选择题和填空题进行考查，文理科试题一般相同，有些年
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