高考总复习知识点四川数学理科Word文档下载推荐.docx
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q
p∧q
p∨q
綈p
真
假
2.全称量词与存在量词
（1）常见的全称量词：
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
（2）常见的存在量词：
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
（3）全称量词用符号“∀”表示；
存在量词用符号“∃”表示．
3．全称命题与特称命题
（1）含有全称量词的命题叫全称命题．
（2）含有存在量词的命题叫特称命题．
4．命题的否定
（1）全称命题的否定是特称命题；
特称命题的否定是全称命题．
（2）p或q的否定为：
非p且非q；
p且q的否定为：
非p或非q.
1．一个区别 逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”是有区别的，前者包括“或此、或彼、或兼”三种情形，后者仅表示“或此、或彼”两种情形．有的含有“且”“或”“非”联结词的命题，从字面上看不一定有“且”“或”“非”等字样，这就需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“并且”、“綉”的含义为“且”；
“或者”、“≤”的含义为“或”；
“不是”、“∉”的含义为“非”．
2．两个防范 一是混淆命题的否定与否命题的概念导致失误，綈p指的是命题的否定，只需否定结论．如（5）、（6）；
二是否定时，有关的否定词否定不当，如（6）.
3．逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
4．正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；
“命题的否定”即“綈p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真．
第二章函数及其导数
第1讲 函数的概念及其表示
知识梳理
1．函数的基本概念
（1）函数的定义
一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）与之对应；
那么就称：
f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f（x），x∈A.
（2）函数的定义域、值域
在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
（3）函数的三要素是：
定义域、值域和对应关系．
（4）表示函数的常用方法有：
解析法、列表法和图象法．
（5）分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
2．函数定义域的求法
类型
x满足的条件
，n∈N*
f（x）≥0
与[f（x）]0
f（x）≠0
（x）
f（x）＞0
四则运算组成的函数
各个函数定义域的交集
实际问题
使实际问题有意义
3．函数值域的求法
方法
示例
示例答案
配方法
y＝x2＋x－2
y∈
性质法
y＝
y∈（0，＋∞）
单调性法
y＝x＋
y∈[2，＋∞）
换元法
y＝2x＋x＋1
分离常数法
y∈（－∞，1）∪
（1，＋∞）
第2讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
（1）单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数
续表
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
（2）单调区间的定义
若函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y＝f（x）的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
（1）对于任意x∈I，都有f（x）≤M；
（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M.
（3）对于任意x∈I，都有f（x）≥M；
（4）存在x0∈I，使得f（x0）＝M.
结论
M为最大值
M为最小值
规律方法
（1）对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：
①可以利用定义（基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论）求解；
②可导函数则可以利用导数解之．
（2）复合函数y＝f[g（x）]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f（u）与u＝g（x）若具有相同的单调性，则y＝f[g（x）]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g（x）]必为减函数．
规律方法求函数最值的常用方法：
（1）单调性法：
先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
（2）图象法：
先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（3）基本不等式法：
先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（4）导数法：
先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
（5）换元法：
对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
第3讲 函数的奇偶性与周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性
图象特点
偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）是奇函数
关于原点对称
2.奇（偶）函数的性质
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）．
（2）在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．
（3）若函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则f（0）＝0.
3．周期性
（1）周期函数：
对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．
（2）最小正周期：
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
[感悟·
提升]
1．两个防范 一是判断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数一定是非奇非偶函数；
二是若函数f（x）是奇函数，则f（0）不一定存在；
若函数f（x）的定义域包含0，则必有f（0）＝0．
2．三个结论 一是若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称；
若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b,0）中心对称；
二是若对任意x∈D都有f（x＋a）＝－f（x），则f（x）是以2a为周期的函数；
若对任意x∈D都有f（x＋a）＝±
（f（x）≠0），则f（x）也是以2a为周期的函数；
三是若函数f（x）既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′（x）既是周期函数又是偶函数，因为y＝f（x）是周期函数，设其周期为T，则有f（x＋T）＝f（x），两边求导，得f′（x＋T）（x＋T）′＝f′（x），即f′（x＋T）＝f′（x），所以导函数是周期函数，又因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），两边求导，得f′（－x）（－x）′＝－f′（－x）＝－f′（x），即－f′（－x）＝－f′（x），所以f′（－x）＝f′（x），所以导函数是偶函数.
4．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
（1）定义域关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要非充分条件；
（2）f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x）是定义域上的恒等式．
5．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：
f（－x）＝±
f（x）⇔f（－x）±
f（x）＝0⇔＝±
1（f（x）≠0）．
6．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
第4讲 幂函数与二次函数
1．幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
（2）常见的5种幂函数的图象
（3）常见的5种幂函数的性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
[0，＋∞）
{∈R，且x≠0}
值域
[0，＋∞）
{∈R，且y≠0}
奇
偶
非奇非偶
单调性
增
（－∞，0]减，[0，＋∞）增
（－∞，0）减，（0，＋∞）减
定点
（0,0），（1,1）
（1,1）
2.二次函数
（1）二次函数的定义
形如f（x）＝2＋＋c（a≠0）的函数叫做二次函数．
（2）二次函数的三种常见解析式
①一般式：
f（x）＝2＋＋c（a≠0）；
②顶点式：
f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），（m，n）为顶点坐标；
③两根式：
f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）其中x1，x2分别是f（x）＝0的两实根．
（3）二次函数的图象和性质
二次函数y＝2＋＋c（a，b，c是常数，a≠0）
a>
a<
对称轴
x＝－
顶点
坐标
b＝0⇔y＝2＋＋c（a≠0）是偶函数
递增
区间
递减
最值
当x＝－时，y有最小值＝
当x＝－时，y有最大值＝
第5讲 指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果＝a，那么x叫做a的n次方根
n＞1且n∈N*
当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数
零的n次方根是零
当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数
±
负数没有偶次方根
（2）两个重要公式
①＝n为偶数．②（）n＝a.
2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①零指数幂：
a0＝1（a≠0）．②负整数指数幂：
a－p＝（a≠0，p∈N*）；
③正分数指数幂：
＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
④负分数指数幂：
a－＝
⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质
①＝＋s（a＞0，r，s∈Q）；
②（）s＝（a＞0，r，s∈Q）；
③（）r＝（a＞0，b＞0，r∈Q）．
3．指数函数的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
（0，＋∞）
过定点（0,1）
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在（－∞，＋∞）上是增函数
在（－∞，＋∞）上是减函数
第6讲 对数与对数函数
1．对数的概念
如果＝N（a>
0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质与运算法则
（1）对数的性质
几个恒等式（M，N，a，b都是正数，且a，b≠1）
①
＝N；
②＝N；
③＝；
④
＝
；
⑤＝，推广·
·
＝.
（2）对数的运算法则（a>
0，且a≠1，M>
0，N>
0）
①（M·
N）＝＋；
②＝－；
③＝（n∈R）；
④＝.
3．对数函数的图象与性质
（1）定义域：
（2）值域：
R
（3）过点（1,0），即x＝1时，y＝0
（4）当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＜0
（5）当x＞1时，y＜0
当0＜x＜1时，y＞0
（6）在（0，＋∞）上是增函数
（7）在（0，＋∞）上是减函数
第7讲 函数的图象
1．函数的图象及作法
2．图象变换
（1）平移变换
（2）对称变换
①y＝f（x）y＝－f（x）；
②y＝f（x）y＝f（－x）；
③y＝f（x）y＝－f（－x）；
④y＝（a＞0且a≠1）y＝（a＞0且a≠1）．
（3）翻折变换
①y＝f（x）y＝（x）|.②y＝f（x）y＝f（）．
（4）伸缩变换
①y＝f（x）y＝（x）（a＞0）
②y＝f（x）y＝f（）（a＞0）
注“f（x＋1）＝f（x－1）”与“f（x＋1）＝f（1－x）”的区别，前者告诉周期为2，后者告诉图象关于直线x＝1对称，
第8讲 函数与方程
1．函数的零点
（1）函数的零点的概念
对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．
（2）函数的零点与方程的根的关系
方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．
（3）零点存在性定理
如果函数y＝f（x）满足：
①在闭区间[a，b]上连续；
②f（a）·
f（b）＜0；
则函数y＝f（x）在（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·
f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
第9讲 函数的应用
1．函数模型及其性质比较
（1）几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝＋b（a，b为常数，a≠0）
二次函数模型
f（x）＝2＋＋c（a，b，c为常数，a≠0）
与指数函数相关模型
f（x）＝＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0）
与对数函数相关模型
与幂函数相关模型
f（x）＝＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0）
（2）三种函数模型性质比较
性质
y＝（a＞1）
y＝（n＞0）
在（0，＋∞）上的单调性
单调增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
2.“f（x）＝x＋”型函数模型
形如f（x）＝x＋（a＞0）的函数模型称为“对勾”函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用基本不等式、导数、函数单调性求解最值.
第10讲 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
（1）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数
①定义：
称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率
为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或
.
②几何意义：
函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率（瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数）．相应地，切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）．
（2）称函数f′（x）＝
为f（x）的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f（x）＝xα（α∈Q*）
f′（x）＝αxα－1
f（x）＝x
f′（x）＝
f′（x）＝－
f（x）＝
f′（x）＝（a>
3.导数的运算法则
（1）[f（x）±
g（x）]′＝f′（x）±
g′（x）．
（2）[f（x）·
g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）．
（3）′＝（g（x）≠0）．
4．复合函数的导数
设u＝v（x）在点x处可导，y＝f（u）在点u处可导，则复合函数f[v（x）]在点x处可导，且f′（x）＝f′（u）·
v′（x）．
规律方法
（1）导数f′（x0）的几何意义就是函数y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．第
（1）题要能从“切线平行于x轴”提炼出切线的斜率为0，进而构建方程，这是求解的关键，考查了分析问题和解决问题的能力．
（2）在求切线方程时，应先判断已知点Q（a，b）是否为切点，若已知点Q（a，b）不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．
第11讲 导数在研究函数中的应用
1．函数的导数与单调性的关系
函数y＝f（x）在某个区间内可导，则
（1）若f′（x）>
0，则f（x）在这个区间内单调递增．
（2）若f′（x）<
0，则f（x）在这个区间内单调递减．
（3）若f′（x）＝0，则f（x）在这个区间内是常数函数．
2．函数的极值与导数
极大值
函数y＝f（x）在点x0处连续且f′（x0）＝0，若在点x0附近左侧f′（x）>
0，右侧f′（x）<
0，则x0为函数的极大值点，f（x0）叫函数的极大值
极小值
函数y＝f（x）在点x0处连续且f′（x0）＝0，若在点x0附近左侧f′（x）<
0，右侧f′（x）>
0，则x0为函数的极小值点，f（x0）叫函数的极小值
3.函数的最值与导数
（1）函数f（x）在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
（2）求y＝f（x）在[a，b]上的最大（小）值的步骤
①求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值．
②将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
第三篇 三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广
（1）定义：
角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）分类
（3）终边相同的角：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·
360°
，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作.
（2）公式：
角α的弧度数公式
|α|＝（弧长用l表示）
角度与弧度的换算
①1°
＝ ②1＝°
弧长公式
弧长l＝|α
扇形面积公式
S＝＝|α2
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么
y叫做α的正弦，记作α
x叫做α的余弦，记作α
叫做α的正切，记作α
各象限符号
Ⅰ
＋
Ⅱ
－
Ⅲ
Ⅳ
口诀
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
三角函数线
有向线段为正弦线
有向线段为余弦线
有向线段为正切线
1．一个区别 “小于90°
的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：
小于90°
的角的范围：
，锐角的范围：
，第一象限角的范围：
（k∈Z）．所以说小于90°
的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立．如
（1）、
（2）．
2．三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如（3）；
二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；
三是如果角α的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解.
第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：
2α＋2α＝1.
（2）商数关系：
＝α.
2．三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α
（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
＋α
α
α
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
3.特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
角α的弧度数
π
1
－1
第3讲 三角函数的图象与性质
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
（下表中k∈Z）.
y＝x
[－1,1]
周期性
2π
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
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