∴函数y＝tan的单调递增区间是
（k∈Z）．
题型三 正切函数图象性质的应用
例3
（1）函数y＝tan（2x＋）的最小正周期是（ ）
A．πB．2πC.D.
答案 C
解析 最小正周期为T＝＝.
（2）画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解 由y＝|tanx|得，
y＝
其图象如图：
由图象可知，函数y＝|tanx|是偶函数．
函数y＝|tanx|的周期T＝π，
函数y＝|tanx|的单调递增区间[kπ，kπ＋）（k∈Z），
单调递减区间为（kπ－，kπ）（k∈Z）．
跟踪训练3
（1）下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是（0，）上的增函数的是（ ）
A．y＝tanx B．y＝cosx
C．y＝tan D．y＝|sinx|
答案 A
解析 由于y＝tanx与y＝tan是奇函数，但是只有y＝tanx的周期为π，y＝cosx与y＝|sinx|是偶函数．
（2）画出f（x）＝tan|x|的图象，并根据其图象判断其单调区间，周期性，奇偶性．
解 f（x）＝tan|x|化为
f（x）＝
根据y＝tanx的图象，作出f（x）＝tan|x|的图象，如图所示，
由图象知，f（x）不是周期函数，是偶函数，单调增区间为[0，），（kπ＋，kπ＋π）（k∈N）；单调减区间为（－，0]，（kπ－π，kπ－）（k＝0，－1，－2，…）．
与三角函数相关的函数零点问题
例4 当x∈（－π，π）时，确定方程tanx－sinx＝0的根的个数．
分析 tanx－sinx＝0的根即为tanx＝sinx的根，也就是y＝tanx与y＝sinx交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．
解 在同一平面直角坐标系内画出y＝tanx与y＝sinx在（－，）上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．
1．下列说法正确的是（ ）
A．正切函数在整个定义域内是增函数
B．正切函数在整个定义域内是减函数
C．函数y＝3tan的图象关于y轴对称
D．若x是第一象限角，则y＝tanx是增函数
2．函数f（x）＝tan（x＋）的单调递增区间为（ ）
A．（kπ－，kπ＋），k∈ZB．（kπ，（k＋1）π），k∈Z
C．（kπ－，kπ＋），k∈ZD．（kπ－，kπ＋），k∈Z
3．在下列函数中同时满足：
①在上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（ ）
A．y＝tanx B．y＝cosx
C．y＝tan D．y＝－tanx
4．方程tan＝在区间[0,2π）上的解的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．函数y＝3tan的对称中心的坐标是．
一、选择题
1．函数y＝tan，x∈R且x≠π＋kπ，k∈Z的一个对称中心是（ ）
A．（0,0） B.
C. D．（π，0）
2．函数f（x）＝lg（tanx＋）为（ ）
A．奇函数B．既是奇函数又是偶函数
C．偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是（ ）
4．函数f（x）＝tanωx（ω>0）的图象的相邻两支曲线截直线y＝所得线段长为，则f的值是（ ）
A．0B．1C．－1D.
5．函数y＝lg（1＋tanx）的定义域是（ ）
A．（kπ－，kπ＋）（k∈Z）B．（kπ－，kπ＋）（k∈Z）
C．（kπ－，kπ＋）（k∈Z）D．（kπ－，kπ＋）（k∈Z）
6．函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是（ ）
二、填空题
7．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是．
8．函数y＝3tan（ωx＋）的最小正周期是，则ω＝.
9．求函数y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈的值域为．
10．已知函数y＝tanωx在（－，）是减函数，则ω的取值范围是．
三、解答题
11．判断函数f（x）＝lg的奇偶性．
12．求函数y＝tan（－）的定义域、周期、单调区间和对称中心．
13．
（1）求函数y＝3tan（－2x）的单调区间；
（2）比较tan1，tan2，tan3的大小．
当堂检测答案
1．答案 C
解析 由正切函数性质可知A、B、D均不正确，
又y＝3tan＝3tan|x|为偶函数，
故其图象关于y轴对称，故选C.
2．答案 C
3．答案 C
4．答案 B
解析 由tan＝解得2x＋＝＋kπ（k∈Z），∴x＝（k∈Z），又x∈[0,2π），∴x＝0，，π，.故选B.
5．答案 （k∈Z）
解析 由x＋＝（k∈Z），得x＝－（k∈Z）．
∴对称中心坐标为（k∈Z）．
课时精练答案
一、选择题
1．答案 C
2．答案 A
解析 ∵>|tanx|≥－tanx，
∴其定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}关于原点对称，
又f（－x）＋f（x）＝lg（－tanx＋）＋lg（tanx＋）＝lg1＝0，
∴f（x）为奇函数，故选A.
3．答案 A
4．答案 A
解析 由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f（x）＝tan4x，f＝tanπ＝0.
5．答案 C
解析 由题意得1＋tanx>0，即tanx>－1，
由正切函数的图象得kπ－6．答案 D
解析 当当x＝π时，y＝0；当πtanx>sinx，y＝2sinx．故选D.
二、填空题
7．答案 （2kπ－，2kπ）（k∈Z）和（2kπ＋π，2kπ＋）（k∈Z）
解析 由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时为单调递增的区间为（2kπ－，2kπ）（k∈Z）和（2kπ＋π，2kπ＋）（k∈Z）．
8．答案 ±2
解析 T＝＝，∴ω＝±2.
9．答案 [－4,4]
解析 ∵－≤x≤，
∴－1≤tanx≤1.
令tanx＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－（t－2）2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
10．答案 [－1,0）
解析 ∵y＝tanωx在（－，）内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
三、解答题
11．解 由>0得tanx>1或tanx<－1.
∴函数定义域为（kπ－，kπ－）∪（kπ＋，kπ＋）（k∈Z）关于原点对称．
f（－x）＋f（x）＝lg＋lg
＝lg（·）＝lg1＝0.
∴f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数．
12．解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋π，k∈Z}．
②T＝＝2π.∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为（2kπ－，2kπ＋π），k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是（kπ＋π，0），k∈Z.
13．解
（1）y＝3tan（－2x）
＝－3tan（2x－），
由－＋kπ<2x－得－＋∴y＝3tan（－2x）的单调减区间为（－＋，＋）（k∈Z）．
（2）tan2＝－tan（π－2）
＝tan（2－π）
tan3＝－tan（π－3）
＝tan（3－π）
∵－<2－π<3－π<1<，
∴tan（2－π）∴tan2
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