导数(题型完美版).doc
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高中数学选修2-2资料
第一章导数及其应用
第一节导数的定义
知识点一导数的概念
定义：
函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作
要点诠释：
①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。
的意义：
与0之间距离要多近有
多近，即可以小于给定的任意小的正数。
②时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。
即存在一个常数与无限接近。
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率。
知识点二求导数的方法
求导数值的一般步骤：
①求函数的增量：
；
②求平均变化率：
；
③求极限，得导数：
。
也可称为三步法求导数。
【例1】已知函数在处可导，则：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
【例2】求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
【变式1】求下列函数导数：
（1）y＝3x2＋xcosx
（2）y＝
（3）y＝lgx-ex
（4）y=tanx.
【变式2】求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
【例3】求下列函数的导数：
（1）
（2）
（3）
【变式3】求下列函数的导数：
（1）
（2）y＝
（3）.
【例4】已知，则_______.
【例5】（逆用求导公式）
设，是上的可导函数，且，则当时，比较与的大小.
【变式4】是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，比较与的大小.
【变式5】是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，比较与的大小.
第二节导数的几何意义
1．导数的几何意义
函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的_________，即k＝f′（x0）．函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程为_____________________．
2．导数的物理意义
物体的运动方程s＝s（t）在t＝t0处的导数，就是物体在t0时刻的______________．
3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数．因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为：
（1）求出函数y＝f（x）在点x0处的导数f′（x0）；
（2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0＝f′（x0）（x-x0）．
4．求曲线的切线方程需注意两点
（1）当曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线平行于y轴（垂直于x轴此时导数不存在）时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0；
（2）当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
注意：
若在点（x0，f（x0））处切线l的倾斜角为，此时切线垂直于x轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.
5.导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：
k＝f′（x0）；
（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；
（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f（x0）），利用k＝求解．
【例1】已知曲线y＝x3上一点P，求：
（1）点P处的切线的斜率；
（2）点P处的切线方程．
【变式1】已知：
曲线上一点，求：
点处的切线方程。
【例2】求曲线经过点的切线方程.
【变式2】已知：
函数，经过点作函数图象的切线，求：
切线的方程。
【变式3】已知直线l1为曲线y＝x2＋x-2在点（1,0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
（1）求直线l2的方程；
（2）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．
【例3】1.函数f（x）＝的图象在点（1，-2）处的切线方程为（ ）
A．2x-y-4＝0 B．2x＋y＝0
C．x-y-3＝0 D．x＋y＋1＝0
2.曲线y＝e-2x＋1在点（0,2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．
【变式4】1.与直线2x-y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是（ ）
A．2x-y＋3＝0 B．2x-y-3＝0
C．2x-y＋1＝0 D．2x-y-1＝0
2.已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，-1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为（ ）
A．x＋y-1＝0 B．x-y-1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x-y＋1＝0
【例3】已知函数f（x）的导函数f′（x），且满足f（x）＝2xf′
（1）＋lnx，则f′
（1）＝（ ）
A．-eB．-1C．1D．e
【变式5】设曲线y＝ax-ln（x＋1）在点（0,0）处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式6】若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y＋1＝0，则点P的坐标为________．
【例4】若对于曲线f（x）＝-ex-x（e为自然对数的底数）的任意切线l1，总存在曲线g（x）＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．
【例5】已知函数f（x）＝ax3＋3x2-6ax-11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：
y＝kx＋9，且f′（-1）＝0.
（1）求a的值；
（2）是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？
如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【变式7】已知aÎR，函数f（x）=x3−3x2+3ax−3a+3，求曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程.
【变式8】已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值.
第三节导数的应用
利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法
设函数在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，
则。
（2）或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：
或。
题型一求函数的单调区间
【例1】思维辨析
（1）若函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f′（x）>0.（ ）
（2）如果函数f（x）在某个区间内恒有f′（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性．（ ）
（3）f（x）在（a，b）上单调递增与（a，b）是f（x）的单调递增区间是相同的说法．（ ）
【例2】确定函数的单调区间.
【例3】
【变式1】求下列函数的单调区间：
（1）
（2）
【例4】已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。
【变式2】求函数（a∈R）的单调区间。
【变式3】（a＞0且a≠1）。
题型二函数单调性的证明
【例5】当时，求证：
函数是单调递减函数.
【变式4】当时，求证：
函数是单调递减函数.
题型三含参的函数单调性的讨论（高考重要考点）
【例6】，求函数的单调性.
【变式5】求函数的单调性.
【变式6】（2015•西宁校级模拟）已知函数，若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围.
【例7】（2015•宿州三模）已知，g（x）=x3+ax2-x+2．如果函数g（x）的单调递减区间为（，1），求函数g（x）的解析式.
【变式7】已知实数a＞0，函数f（x）＝a（x-2）2＋2lnx.
（1）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围．
【变式8】已知函数,讨论函数的单调性.
题型四函数与导函数的图像
【例8】设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
【例9】已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则其导函数y＝f′（x）的图象可能是（ ）
【变式9】（）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在（-2，1）上f（x）是增函数B．在（1，3）上f（x）是减函数
C．当x＝2时，f（x）取极大值D．当x＝4时，f（x）取极大值
【变式10】设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象有可能是（ ）
1.函数的极值
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作
；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作
.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f（x）在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
2.函数的最值
函数的最大值与最小值定理：
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
3.函数极值与最值的简单应用
（1）不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如，
若能隔离参数，即可化为：
的形式。
若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数的最小值，使。
所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
（2）证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可。
所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
（3）两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、
极小值与0的大小关系即可。
所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
题型一求函数的极值
【例1】思维辨析
（1）导数为零的点不一定是极值点．（ ）
（2）三次函数在R上必有极大值和极小值．（ ）
（3）函数的极大值不一定比极小值大．（ ）
（4）对可导函数f（x），f′（x0）＝0是x0点为极值点的充要条件．（ ）
（5）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（ ）
（6）函数f（x）＝xsinx有无数个极值点．（ ）
【例2】下列函数的极值。
（1）；
（2）
·
【变式1】下列函数的极值。
（1）；
（2）
【例3】讨论函数（）的单调性并求极值．
【变式2】求下列函数的极值：
（1）；
（2）
【例4】设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1-x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数f（x）有极大值f
（2）和极小值f
（1）
B．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f
（1）
C．函数f（x）有极大值f
（2）和极小值f（-2）
D．函数f（x）有极大值f（-2）和极小值f
（2）
【变式3】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例5】（）已知函数f（x）＝＋-lnx-，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【变式4】设f（x）＝a（x-5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线斜率为2.
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【例6】设a∈R，函数f（x）＝x2e1-x-a（x-1）．当a＝1时，求f（x）在内的极大值；
【例7】设函数，则（）
A．为的极大值点B．为的极小值点
C．为的极大值点D.为的极小值点
【例8】若函数f（x）＝x3-3x在（a,6-a2）上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-，1）B．[-，1）
C．[-2,1）D．（-2,1）
【变式5】设函数f（x）＝（x-1）kcosx（k∈N*），则（ ）
A．当k＝2013时，f（x）在x＝1处取得极小值
B．当k＝2013时，f（x）在x＝1处取得极大值
C．当k＝2014时，f（x）在x＝1处取得极小值
D．当k＝2014时，f（x）在x＝1处取得极大值
题型二函数极值的逆向应用
【例1】已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。
求：
（1）x0的值；
（2）a，b，c的值。
【变式1】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【例2】已知函数，当且仅当x=-1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4。
（1）求a、b的值；
（2）求的极大值和极小值。
【变式2】函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值-2，则a，b的值分别为（ ）
A．1，-3B．1,3C．-1,3D．-1，-3
题型三导数法研究函数的最值问题
【例1】求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【变式1】求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值。
【例2】求函数，x∈[0，2]的最值。
【变式2】求函数，x∈[-3，2]的最值。
【例3】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c,曲线y=f（x）在点x=1处的切线为l:
3x-y+1=0，若x=时，y=f（x）有极值.
（1）求a,b,c的值；
（2）求y=f（x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
【变式3】设函数。
（1）当a=1时，求的单调区间；
（2）若中（0，1]上的最大值为，求a的值。
【例4】已知函数f（x）＝ax2＋2，g（x）＝x3＋bx.若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，1]上的最大值．
【变式4】设函数f（x）＝alnx－bx2（x>0），若函数y＝f（x）的图象在x＝1处与直线y＝－相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在上的最大值．
【变式5】（）已知函数f（x）＝x2＋＋1，其中a＞0.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与直线y＝1平行，求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．
题型三利用导数研究函数的零点问题
【例1】已知函数，
（1）若函数在为增函数，求的取值范围；
（2）讨论方程解的个数，并说明理由.
【例2】若问是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？
若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【变式2】已知函数f（x）＝ex，x∈R.
（1）求f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：
曲线y＝f（x）与直线y＝ex有唯一公共点．
【例3】已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2lnx.
（1）讨论函数F（x）＝f（x）－g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）＝g（x）在区间[，e]上有两个不相等的实数解，求a的取值范围．
【变式3】已知函数
（1）求的单调区间；
（2）若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围
题型四导数法证明不等式
【例1】已知函数f（x）＝ex，当x∈[0，1]时，求证：
（1）f（x）≥1＋x；
（2）（1－x）f（x）≤1＋x.
【例2】（）已知f（x）＝lnx－x＋a＋1.
（1）若存在x∈（0，＋∞），使得f（x）≥0成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：
当x>1时，在
（1）的条件下，x2＋ax－a>xlnx＋成立．
【变式1】设函数，证明：
当时，．
【变式2】（2017•江门一模）设函数f（x）=ex-ax，a是常数．
（Ⅰ）若a=1，且曲线y=f（x）的切线l经过坐标原点（0，0），求该切线的方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的零点的个数．
【例3】（2017•清新区校级一模）设函数.
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若f（x）的图象与x轴有三个交点，求实数a的取值范围．
【变式2】（2017•桂林一模）设函数f（x）=ex-x，h（x）=f（x）+x-alnx．
（1）求函数f（x）在区间[-1，1]上的值域；
（2）证明：
当a＞0时，h（x）≥2a-alna．
题型五不等式恒成立问题
【例1】设函数f（x）＝（x＋1）ln（x＋1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．
【变式1】已知函数.
（1）若图象有与x轴平行的切线，求b的取值范围；
（2）若在x=1处取得极值，且x∈[―1，2]时，恒成立，求c的取值范围。
【例2】（2017•广东一模）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）.
（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．
【变式2】（2017•乐山一模）已知f（x）=2ln（x+2）-（x+1）2，g（x）=k（x+1）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当k=2时，求证：
对于∀x＞-1，f（x）＜g（x）恒成立.
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