必修二立体几何11道经典证明题.doc
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C
B
A
D
C1
A1
1.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
（Ｉ）证明：
平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
2.如图5所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.
（1）证明：
平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）证明：
平面.
3.如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：
（1）平面平面；
（2）直线平面．
4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：
EF∥面PAD；
（2）证明：
面PDC⊥面PAD；
（3）求四棱锥P—ABCD的体积．
5.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，
平面，，、、分别为、、的中点，且.
（I）求证：
平面平面；
（II）求三棱锥与四棱锥的体积
之比.
6.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB=,CE=EF=1
（Ⅰ）求证：
AF//平面BDE；
（Ⅱ）求证：
CF⊥平面BDF;
7.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H为BC的中点，
（Ⅰ）求证：
FH∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：
AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；
8.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。
求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面平面.
9.如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.
（1）证明:
//平面;
（2）证明:
平面;
（3）当时,求三棱锥的体积.
10.如图,在四棱锥中,,,,平面底面,,和分别是和的中点,求证:
（1）底面;
（2）平面;（3）平面平面
11.（2013年山东卷）如图,四棱锥中,
,分别为
的中点
（Ⅰ）求证:
;
（Ⅱ）求证:
立体几何经典试题参考答案
C
B
A
D
C1
A1
1.【解析】（Ⅰ）由题设知BC⊥,BC⊥AC，,∴面,又∵面，∴,
由题设知,∴=,即,
又∵,∴⊥面,∵面，
∴面⊥面；
（Ⅱ）设棱锥的体积为，=1，由题意得，==，
由三棱柱的体积=1，
∴=1:
1，∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:
1.
2.
【解析】
（1）证明：
因为平面，
所以。
因为为△中边上的高，
所以。
因为，
所以平面。
（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，
所以。
因为平面，
所以平面。
则，
。
（3）证明：
取中点，连结，。
因为是的中点，
所以。
因为，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以。
因为，
所以。
因为平面，
所以。
因为，
所以平面，
所以平面。
3.【答案】证明：
（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。
又∵平面，∴平面平面。
（2）∵，为的中点，∴。
又∵平面，且平面，∴。
又∵平面，，∴平面。
由
（1）知，平面，∴∥。
又∵平面平面，∴直线平面
4.如图，连接AC，
∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F 1分
又E是PC的中点，
所以，EF∥AP 2分
∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP面PAD，∴AP⊥CD
又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD
又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD
（3）取AD中点为O，连接PO，
因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高
∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体积
5.
【解析】（I）证明：
由已知MA平面ABCD，PD ∥MA，
所以PD∈平面ABCD
又BC∈平面ABCD，
因为四边形ABCD为正方形，
所以PD⊥BC
又PD∩DC=D，
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因为G平分为PC的中点，
所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF∈平面EFG，
所以平面EFG⊥平面PDC.
（Ⅱ）解：
因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1，
则PD=AD=2，ABCD
所以Vp-ABCD=1/3S正方形ABCD，PD=8/3
由于DA⊥面MAB的距离
所以DA即为点P到平面MAB的距离，
三棱锥Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以Vp-MAB：
Ｖp-ABCD=1:
4。
6.证明：
（Ⅰ）设AC于BD交于点G。
因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1
所以四边形AGEF为平行四边形
所以AF∥EG
因为EG平面BDE,AF平面BDE,
所以AF∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG。
因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.
7.
8.
9.【答案】
（1）在等边三角形中,
在折叠后的三棱锥中
也成立,,平面,
平面,平面;
（2）在等边三角形中,是的中点,所以①,.
在三棱锥中,,②
;
（3）由
（1）可知,结合
（2）可得.
10.【答案】（I）因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA垂直于这个平面的交线AD
所以PA垂直底面ABCD.
（II）因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点
所以AB∥DE,且AB=DE
所以ABED为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE平面PAD,AD平面PAD
所以BE∥平面PAD.
（III）因为AB⊥AD,而且ABED为平行四边形
所以BE⊥CD,AD⊥CD,由（I）知PA⊥底面ABCD,
所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E和F分别是CD和PC的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD.
11．略
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