东北三省四市高三高考第一次模拟考试数学理试题.doc

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2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷数学

（一）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A． B． C． D．

2.若复数为纯虚数，则实数的值为（）

A． B． C． D．

3.中国有个名句“运城帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示）表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位数用横式表示，以此类推，例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）

4.如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（）

A．和6 B．和6

C．和8 D．和8

5.函数的部分图象大致为（）

6.某几何体的三视图如图所示（单位：

），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：

）是（）

A．B． C．D．

7.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种

A．24 B．36 C．48 D．60

8.的内角，，的对边分别为，，，若，，面积的最大值是（）

A． B． C． D．

9.已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（）

A． B． C． D．

10.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（）

A． B． C． D．

11.已知焦点在轴上的双曲线的左右两个焦点分别为和，其右支上存在一点满足，且的面积为3，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

12.若直线（）和曲线（）的图象交于，，（）三点时，曲线在点，点处的切线总是平行，则过点可作曲线的（）条切线

A．0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.设实数，满足约束条件则的最大值为．

14.为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）

15.已知函数满足，当时，的值为．

16.已知腰长为2的等腰直角中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设数列的前项和为，且，正项等比数列的前项和为，且，．

（1）求和的通项公式；

（2）数列中，，且，求的通项．

18.树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：

第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．

（1）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；

（3）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数为随机变量，求的分布列与数学期望．

19.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别是线段，的中点，．

（1）证明：

平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20.在平面直角坐标系中，椭圆：

的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值．

21.已知函数（）．

（1）若为在上的单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）设，当时，若（其中，），求证：

．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：

，曲线：

（）．

（1）求与交点的极坐标；

（2）设点在上，，求动点的极坐标方程．

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对于都有恒成立，求实数的取值范围．

2018年东北三省四市教研联合体高考模拟试卷

（一）数学答案

一、选择题

1-5:

6-10:

11、12：

二、填空题

13.14. 15. 16.

三、解答题

17.解：

（1）∵，∴令，，

，，

经检验不能与（）时合并，

∴

又∵数列为等比数列，，，

∴，∴，

∴，∴．

（2），

∵，，…，，

以上各式相加得，

，

∴，

∴．

18.解：

（1）由，得，

平均数为岁；

设中位数为，则，∴岁．

（2）第1,2组抽取的人数分别为2人，3人．

设第2组中恰好抽取2人的事件为，

则．

（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注环境治理和保护问题的概率为，

的所有可能取值为0，1,2,3，

∴，，，

，

所以的分布列为：

∵，

∴．

19.解：

（1）取中点，连接，，

∵，分别是，中点，∴，，

∵为中点，为矩形，∴，，

∴，，∴四边形为平行四边形，

∴，∵平面，平面，

∴平面．

（2）∵平面，且四边形是正方形，∴，，两两垂直，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面法向量，，，

则即取，

设平面法向量为，，，

则即取，

，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20.解：

（1）∵，∴，

椭圆的方程为，

将代入得，∴，

∴椭圆的方程为．

（2）设的方程为，联立

消去，得，

设点，，

有，，

有，

点到直线的距离为，

点到直线的距离为，

从而四边形的面积（或）

令，，

有，设函数，，所以在上单调递增，

有，故，

所以当，即时，四边形面积的最大值为6．

21.解：

（1）∵的定义域为且单调递增，

∴在上，恒成立，

即：

，

所以设，，

∴，

∴当时，，∴在上为增函数，

∴当时，，∴在上为减函数，

∴，∵，

∴，即．

（2）∵，

∵，，

∴，

∴，

∴设，，则，

∴，∴在上递增，

∴设，，

∴，

∵，

∴，，

∴，在上递增，

∴，

∴，，

令，

∴，即，

又∵，

∴，即，

∵在上递增，

∴，即得证．

22.解：

（1）联立，

∵，，，

∴所求交点的极坐标．

（2）设，且，，

由已知，得

∴，点的极坐标方程为，．

23.解：

（1）当时，

当解得；当，恒成立；

当解得，

此不等式的解集为．

（2）令

当时，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，

所以，

所以，

当时，，所以在上单调递减，

所以，

所以，

综上，．

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